Tài liệu luyện thi Tốt nghiệp THPT môn Toán năm học 2009-2010 - Phạm Lê Duy

giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo cuûa hình hoäp chöõ nhaät.
Ta coù O caùch ñeàu A, B, C, D, A’, B’, C’, D’
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi B, DA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC).
a) Xaùc ñònh maët caàu qua boán ñænh A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính baùn kính maët caàu trong a).
HD: a) Ta coù 
 vaø 
	Vaäy A vaø B cuøng nhìn CD döôùi moät goùc vuoâng
	Neân thuoäc maët caàu ñöôøng kính CD
b) Baùn kính maët caàu 
Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø töù giaùc ñeàu coù SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñaùy ABCD. SA = AB = a. 
Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu qua naêm ñieåm S, A, B, C.
Tính dieän tích maët caàu. 
HD: a) - Ta coù A, B, D cuøng nhìn ñoaïn SC döôùi moät goùc vuoâng
	neân naêm ñieåm S, A, B, C, D cuøng naèm treân maët caàu
	ñöôøng kính SC.
	- Baùn maët caàu 
b) Dieän tích cuûa maët caàu 
Daïng 2: Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp, hình laêng truï
 a) Caùch xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp (hình choùp noäi tieáp maët caàu)
*) Ñieàu kieän hình choùp ñaùy coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
	- Döïng truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy
	- Döïng maët phaúng trung tröïc cuûa moät caïnh beân
	- Xaùc ñònh giao ñieåm cuûa truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy vôùi maët phaúng trung tröïc vöøa döïng. 
 b) Caùch xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình laêng truï (hình laêng truï noäi tieáp maët caàu)
*) Ñieàu kieän laêng truï phaûi laø laêng truï ñöùng, ñaùy coù ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
	- Döïng truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ñaùy (ñöôøng thaúng noái taâm hai ñaùy)
	- Trung ñieåm cuûa ñoaïn noái taâm hai ñaùy laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp laêngt truï. 
Baøi taäp aùp duïng
Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc, OA = a, OB = b vaø OC = c. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp töù ñieän OABC.
HD: Xaùc ñònh taâm maët caàu:
- Goïi E laø trung ñieåm cuûa BCE laø taâm ñöôøng ngoaïi tieáp tam giaùc OBC
- Döïng ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi (OBC) taïi E
- Döïng maët phaúng trung tröïc (P) cuûa caïnh OA	
- (P) caét d taïi I. Ta coù IB = IC = IO = IA
 I laø taâm maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC
 Tính baùn kính:
- Ta coù baùn kính 
Tính baùn kính maët caàu ngoaïi tieáp hình 
laêng truï tam giaùc ñeàu coù taát caû caùc caïnh baèng a.
ÑS:
Daïng 3: Söï töông giao giöõa maët caàu vaø maët phaúng, ñöôøng thaúng
a) Cho maët caàu S(O; R) vaø maët phaúng (P). Goïi H laø hình chieáu cuûa O leân (P)
	. H goïi laø tieáp ñieåm; (P) goïi laø tieáp dieän 
. 
 b) Cho maët caàu S(O; R) vaø ñöôøng thaúng d. Goïi H laø hình chieáu cuûa O leân d
 .
. H goïi laø tieáp ñieåm; d goïi laø tieáp tuyeán. 
. d goïi laø caùt tuyeán; AB goïi laø daây cung. 
Baøi taäp aùp duïng 
Cho maët caàu (S) taâm O baùn kính R, ñieåm A naèm treân maët caàu, (P) laø maët phaúng qua A sao cho goùc giöõa OA vaø (P) baèng 300.
Xaùc ñònh vò trí töông ñoái cuûa (P) vaø maët caàu. Tính dieän tích thieát dieän.
Ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc vôùi (P) caét maët caàu taïi B. Tính ñoä daøi ñoaïn AB.
HD:	a) - Gọi H là hình chiếu của O leân (P)
	Ta coù 
	Vaäy (P) caét (S)
	Dieän tích thieát dieän: 
b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB
Ta coù OI vuoâng goùc AB
B. MAËT TRUÏ, MAËT NOÙN
I. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
A. MAËT TRUÏ
1. Maët truï laø hình troøn xoay sinh bôûi ñöôøng thaúng l khi quay quanh ñöôøng thaúng song song vôùi l. 
	- Ñöôøng thaúng laø truïc
	- Khoaûng caùch giöõa vaø l laø baùn kính 
2. Hình truï laø hình troøn xoay sinh bôûi khi quay moät hình chöõ nhaät quanh trục cuûa noù. 
3. Khoái truï laø hình truï cuøng vôùi phaàn beân trong cuûa noù.
4. Caùc coâng thöùc	Coâng thöùc tính dieän tích ;	 
Coâng thöùc tính theå tích 	Chuù yù: V’ = Sxq
B. MAËT NOÙN 
1. Maët noùn laø hình troøn xoay sinh bôûi ñöôøng thaúng l khi quay quanh ñöôøng thaúng caét l nhöng khoâng vuoâng goùc vôùi l. 
	- Ñöôøng thaúng laø truïc
	- Giao ñieåm O cuûa l vaø goïi laø ñænh.
	- Hai laàn goùc hôïp bôûi l vaø goïi laø goùc ôû ñænh.
2. Hình noùn laø hình troøn xoay sinh bôûi khi quay moät tam giaùc caân quanh truïc cuûa noù.
3. Khoái noùn laø hình noøn cuøng vôùi phaàn beân trong cuûa noù.
4. Caùc coâng thöùc	Coâng thöùc tính dieän tích	 ;	 
Coâng thöùc tính theå tích 
II. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP
Daïng 1: Chöùng minh moät ñöôøng thaúng thuoäc maët truï, maët noùn.
	- Moät ñöôøng thaúng thuoäc maët truï neáu noù ñi qua moät ñieåm cuûa maët truï vaø song song vôùi truïc.
	- Moät ñöôøng thaúng thuoäc maët noùn neáu noù ñi qua ñænh cuûa maët noùn vaø taïo vôùi truïc moät goùc khoâng ñoåi vaø baèng nöûa goùc ôû ñænh.
Cho maët phaúng (P), ñieåm A naèm treân maët phaúng (P), 
moät ñieåm B naèm ngoaøi maët phaúng (P) sao cho hình 
chieáu H cuûa B treân (P) khoâng truøng vôùi A, ñieåm M 
chaïy treân (P) sao cho . 
Chöùng minh M naèm treân maët truï troøn xoay coù truïc laø AB.
HD: 
Döïng MK vuoâng goùc vôùi AB
Chöùng minh MK = BH
Daïng 2: Thieát dieän cuûa moät maët phaúng vôùi maët truï
	- Thieát dieän vuoâng goùc vôùi truïc laø moät ñöôøng troøn.
	- Thieát dieän qua truïc hoaëc song song vôùi truïc laø moät hình chöõ nhaät 
Moät hình truï coù baùn kính ñaùy baèng R, truïc OO’ vaø ñöôøng cao R. Hai ñieåm A, B naèm treân hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc hôïp bôûi AB vaø truïc cuûa hình truï baèng 300.
Tính dieän tích thieát dieän qua AB vaø song song vôùi truïc hình truï.
Tính goùc giöõa hai baùn kính ñaùy qua A vaø B.
Döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AB vaøtruïc hình truï.
HD: a. Thieát dieän qua AB song song vôùi truïc laø hình chöõ nhaät ACBD
 SACBD = AD.BD = AD2tan300
b. Goùc giöõa hai baùn kính qua A vaø B baèng vôùi 
c. Goïi K, K’ laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD coù KK’ // OO’
 H laø giao ñieåm cuûa KK’ vôùi AB, I laø trung ñieåm cuûa OO’
 Coù HI laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa AB vaø OO’; IH = OK
Daïng 3: Thieát dieän cuûa moät maët phaúng vôùi maët noùn 
	- Thieát dieän vuoâng goùc vôùi truïc laø moät ñöôøng troøn.
	- Thieát dieän qua ñænh caét hình noùn theo hai ñöôøng sinh laø moät tam giaùc caân coù ñænh laø ñænh cuûa hình noùn.
Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ caïnh a.
Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình truï coù 
ñöôøng troøn cuûa hai ñaùy ngoaïi tieáp caùc hình vuoâng ABCD 
vaø A’B’C’D’.
Chöùng minh taát caû caùc ñænh cuûa hình laäp
phöông naèm treân moät maët caàu. Haõy tính dieän 
tích maët caàu ñoù.
	HD: 	a. Hình truï coù baùn kính ñaùy ; chieàu cao h = a
	b. Goïi O, O’ laàn löôït laø taâm hai ñaùy, I laø trung ñieåm cuûa OO’
	Chöùng minh: I caùch ñeàu caùc ñænh cuûa hình laäp phöông. Baùn kính maët caàu RC = IA
Phần 3. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
TOAÏ ÑOÄ CUÛA VECTÔ – TOAÏ ÑOÄ CUÛA ÑIEÅM
TÍCH COÙ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT 
1. TOAÏ ÑOÄ VECTÔ
1) Định nghĩa : vecto 
2) Tính : Cho các vecto , . Ta có:
a) 	b) 
c) R	e) 	f) 	g) 	h) 
2. TOAÏ ÑOÄ ÑIEÅM
1) Định nghĩa: 
2) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB). Ta có:
a) = (xB - xA; yB -yA; zB -zA)
b) 
c) Tọa độ trung điểm M của AB là 
d) Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k1 là: 
e) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: 
g) Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là: 
3. TÍCH COÙ HÖÔÙNG CUÛA HAI VEC TÔ
1) Vecto tích có hướng của hai vecto là 
2) Tính chất: 	- vuông góc với hai vecto .
	- Hai cùng phương[] = 
3) Diện tích hình bình hành ABCD là S=
	Suy ra diện tích ABC là SABC =
	 4) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ 
* Chuù yù theå tích khoái choùp A’.ABD 
B. Daïng toaùn thöôøng gaëp 
1) Xaùc ñònh toïa ñoä vectô, toïa ñoä ñieåm
	Kieán thöùc vaän duïng:	=
Baøi 1: Cho caùc vectô 
1) Tính toïa ñoä cuûa vectô 	2) Tính toïa ñoä cuûa vectô 	
ÑS: 1) ,	2) 
Baøi 2: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’. Bieát A(2; -1; 3), B(0; 1; -1), C(-1; 2; 0), D’(3; 2; -1). Tính toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi cuûa hình hoäp.
	ÑS: D(1; 0; 4), A’(4; 1; - 2), B’(2; 3; -6), C’(1; 4; -5)
Baøi 3: Cho tam giaùc ABC bieát A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), C(4; 5; -5). 
Xaùc ñònh toaï ñoä cuûa D ñeå ABCD laø hình bình haønh.
Xaùc ñònh toaï ñoä troïng taâm ABC. 
ĐS: 1) D(5; 7; -3) 2) Goïi G laø troïng taâm. ÑS: 
Baøi 4: Cho vectô . Haõy bieåu dieãn vectô theo caùc vectô 
	HD: 	- Giaû söû .	 Vaäy 
2) CAÙC VECTÔ CUØNG PHÖÔNG Cho hai vectô = (x; y; z), = (x’; y’; z’).
 Kieán thöùc vaän duïng:	a) Hai vectô vaø cuøng phöông . 
(Quy öôùc maãu baèng 0 thì töû töông öùng cuõng baèng 0.)
	b) Hai vectô vaø cuøng phöông [] = 
	 	c) Hai vecto và không cùng phương
Baøi 1: Cho caùc ñieåm A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 1; -3).
Chöùng minh A, B, C laø caùc ñænh cuûa moät tam giaùc.
Tìm toaï ñoä ñieåm D ñeå ABCD laø moät hình bình haønh. Tính dieän tích hình bình haønh ABCD.
Tìm toïa ñoä chaân phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc ñænh A
HD:	1) Xeùt caùc vectô : 
	 Coù 
	Vaäy A, B, C khoâng thaúng haøng A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc
	2) D(1; -2; 0); SABCD = 
	3) - Goïi E laø chaân phaân phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc ñænh A
	 - Ta coù
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC. Bieát A(2; 1; -3), B(3; -2; 2), C(4; 0; 1). 
	1) Tìm toaï ñoä chaân ñöôøng cao haï töø ñænh A xuoáng caïnh BC.
	2) Tìm ñieåm M treân maët phaúng Oxy sao cho A, B, M thaúng haøng.
	HD: 	1) Goïi H(x; y; z) laø chaân ñöôøng cao ñænh A, H thuoäc BC
	Ta coù 	ÑS: 
	2) MM(x0; y0; 0). 
	Ta coù A, B, M thaúng haøng .	ÑS: 
Baøi 3: Cho ba ñieåm A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3).
	1) Chöùng minh A, B, C khoâng thaúng haøng. Tính dieän tích tam giaùc ABC
2) Xaùc ñònh toïa ñoä cuûa ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh. Tìm toïa ñoä giao ñieåm hai ñöôøng cheùo cuûa hình hình haønh ABCD.
 ÑS: 	1) . Vaäy caùc vetô khoâng cuøng phöông
	SABC =
	2) D(9; -5; 6). Giao ñieåm hai ñöôøng cheùo laø I(2; - 1; 2)
 3) TÍNH ÑOÀNG PHAÚNG CUÛA VECTÔ, CUÛA ÑIEÅM 
	Kieán thöùc vaän duïng: 	a) Ba vectô 
	b) Ba vectô .
	c) Ba vectô .
Baøi 1: Cho ba vectô . Chöùng toû ba vectô ñoàng phaúng
	HD: Chöùng toû
Baøi 2: Cho A(1; 2; 4), B(2; -1 ; 0), C(-2; 3; -1) vaø M(x; y; z). Tìm ñieàu kieän ñeå A,