Tài liệu luyện thi Đại học môn Toán - Đỗ Minh Tuân

−1/2 = −2 .
c) lim
n→+∞
(√
n2 + n+ 1− n) = lim
n→+∞
(n2 + n+ 1− n2)√
n2 + n+ 1 + n
= lim
n→+∞
n+ 1√
n2 + n+ 1 + n
.
= lim
n→+∞
1 +
1
n√
1 +
1
n
+
1
n2
+ 1
=
1
2
d) lim
n→+∞
(√
2n2 + n+ 1− 2n+ 1) = lim
n→+∞
n
√2 + 1
n
+
1
n2
− 2 + 1
n
 = −∞
7.2 Giới hạn hàm số
Ngoài một số các tính chất của giới hạn dãy số, giới hạn hàm số còn có một số giới hạn
cơ bản sau:
7.2.1 Giới hạn cơ bản
+ lim
x→0
sin x
x
= 1.
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 128 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
7.2. Giới hạn hàm số Chương 7. Giới hạn
+ lim
x→0
tan x
x
= 1.
+ lim
x→0
(1 + x)
1
x = e hoặc lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
+ lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
+ lim
x→0
ln (1 + x)
x
= 1.
7.2.2 Phương pháp tính giới hạn
¶ Sử dụng tương đương hàm số:
f (x) ∼ g (x) khi x→ x0 nếu lim
x→x0
f (x)
g (x)
= 1.
Ví dụ: sin x ∼ x khi x→ 0 và sin 2x ∼ 2x khi x→ 0 ?
· Phân tích đa thức thành nhân tử :
Áp dụng với giới hạn dạng
0
0
khi x→ x0 với x0 hữu hạn.
¸ Nhân liên hợp:
Áp dụng với giới hạn chứa căn thức: căn bậc 2 hoặc bậc 3.
¹ Chia cho hạng tử bậc cao nhất :
Áp dụng với giới hạn khi x→∞
7.2.3 Các ví dụ
Ví dụ 7.3: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→(−1)+
3x+ 2
x2 − 1
b) lim
x→1
x3 − 5x+ 4
2x2 − x− 1
c) lim
x→2
√
x+ 2− 3√3x+ 2
4− x2
Giải: a) lim
x→(−1)+
3x+ 2
x2 − 1 = limx→(−1)+
3x+ 2
(x− 1)(x+ 1) =
−1
−2.0+ = −∞ .
b) lim
x→1
x3 − 5x+ 4
2x2 − x− 1 = limx→1
(x− 1)(x2 + x− 4)
(x− 1)(2x+ 1) = limx→1
x2 + x− 4
2x+ 1
= −2
3
.
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 129 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
7.2. Giới hạn hàm số Chương 7. Giới hạn
c) l = lim
x→2
√
x+ 2− 3√3x+ 2
4− x2 = limx→2
√
x+ 2− 3√3x+ 2
(2− x) (2 + x) = limx→2
3
√
3x+ 2−√x+ 2
x− 2 . limx→2
1
x+ 2
lim
x→2
3
√
3x+ 2− 2
x− 2 = limx→2
3x+ 2− 8
(x− 2)
(
3
√
3x+ 2
2
+ 2 3
√
3x+ 2 + 4
)
= lim
x→2
3
3
√
3x+ 2
2
+ 2 3
√
3x+ 2 + 4
=
3
12
=
1
4
lim
x→2
2−√x+ 2
x− 2 = limx→2
4− x− 2
(x− 2) (2 +√x+ 2) = limx→2 −12 +√x+ 2 = −14
⇒ l = 1
4
(
1
4
+
−1
4
)
= 0
Ví dụ 7.4: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→−∞
−x3 + 3x+ 1
2x2 + x+ 1
b) lim
x→−∞
(√
x2 + x+ 1 + x+ 1
)
và lim
x→+∞
(√
x2 + x+ 1 + x+ 1
)
Giải: a) lim
x→−∞
−x3 + 3x+ 1
2x2 + x+ 1
= lim
x→−∞
x3
(
−1 + 3
x2
+
1
x3
)
x2
(
2 +
1
x
+
1
x2
)
= lim
x→−∞
x
(
−1 + 3
x2
+
1
x3
)
(
2 +
1
x
+
1
x2
) = +∞
b) Dạng +∞+ (+∞)
lim
x→+∞
(√
x2 + x+ 1 + x+ 1
)
= lim
x→+∞
(√
x2
(
1 +
1
x
+
1
x2
)
+ x+ 1
)
= lim
x→+∞
(
|x|
√
1 +
1
x
+
1
x2
+ x+ 1
)
= lim
x→+∞
[
x
(√
1 +
1
x
+
1
x2
+ 1 +
1
x
)]
= +∞
Dạng +∞+ (−∞)
lim
x→−∞
(√
x2 + x+ 1 + x+ 1
)
= lim
x→−∞
x2 + x+ 1− (x+ 1)2√
x2 + x+ 1− x− 1
= lim
x→−∞
−x
√
x2.
√
1 +
1
x
+
1
x2
− x− 1
= lim
x→−∞
−x
|x| .
√
1 +
1
x
+
1
x2
− x− 1
= lim
x→−∞
−x
−x
(√
1 +
1
x
+
1
x2
+ 1 +
1
x
)
= lim
x→−∞
1√
1 +
1
x
+
1
x2
+ 1 +
1
x
=
1
2
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 130 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
7.2. Giới hạn hàm số Chương 7. Giới hạn
Ví dụ 7.5: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→0
sin 2x
x
b) lim
x→0
sin 2x. tan 3x
(e−x − 1) ln (1 + 5x)
c) lim
x→1
[
tan
(π
2
x
)
. (x2 + x− 2)
]
Giải: a) lim
x→0
sin 2x
x
= lim
x→0
sin 2x
2x
.2 = 1.2 = 2
Chú ý : Ở đây ta sử dụng sin 2x ∼ 2x khi x→ 0
b) lim
x→0
sin 2x. tan 3x
(e−x − 1) ln (1 + 5x) = limx→0
sin 2x
2x
.
tan 3x
3x
.
−x
e−x − 1 .
5x
ln (1 + 5x)
.
2x.3x
−x.5x
= 1.1.1.1.
6
−5 = −
6
5
Chú ý : Ở đây ta sử dụng sin 2x ∼ 2x, tan 3x ∼ 3x, e−x ∼ −x, ln(1 + 5x) ∼ 5x khi
x→ 0.
c) Đổi biến x = t+ 1, khi x→ 1 thì t→ 0.
l = lim
x→1
[
tan
(π
2
x
)
. (x2 + x− 2)
]
= lim
t→0
[
tan
(π
2
t+
π
2
)
.
(
(t+ 1)2 + t+ 1− 2)]
= lim
t→0
[− cot t. (t2 + 3t)] = − lim
t→0
[
t
sin t
. (t+ 3) . cos t
]
= −1.3.1 = −3
Ví dụ 7.6: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→0
(1 + 2x)cot 3x
b) lim
x→∞
(
2x+ 1
2x+ 5
)x2−x+2
3x+1
Giải: a) A = (1 + 2x)cot 3x ⇒ lnA = cot 3x. ln (1 + 2x)
lim
x→0
lnA = lim
x→0
[
ln (1 + 2x)
2x
.
3x
sin 3x
. cos 3x.
2x
3x
]
= 1.1.1.
2
3
=
2
3
⇒ lim
x→0
A = e
2
3
b) A =
(
2x+ 1
2x+ 5
)x2−x+2
3x+1
⇒ lnA = x
2 − x+ 2
3x+ 1
. ln
2x+ 1
2x+ 5
=
x2 − x+ 2
3x+ 1
. ln
(
1 +
−4
2x+ 5
)
lim
x→∞
lnA = lim
x→∞
 ln
(
1 +
−4
2x+ 5
)
−4
2x+ 5
.
x2 − x+ 2
3x+ 1
.
−4
2x+ 5

Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 131 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
7.3. Bài tập Chương 7. Giới hạn
= 1. lim
x→∞
−4 (x2 − x+ 2)
(3x+ 1) . (2x+ 5)
= −4 lim
x→∞
x2
(
1− 1
x
+
2
x2
)
x
(
3 +
1
x
)
.x
(
2 +
5
x
)
= −4 lim
x→∞
1− 1
x
+
2
x2(
3 +
1
x
)
.
(
2 +
5
x
) = −4. 1
3.2
= −2
3
⇒ lim
x→0
A = e−
2
3
7.3 Bài tập
Bài 7.1: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3
b) lim
x→0
√
1 + x+ x2 −√1− x+ x2
x2 − x
c) lim
x→7
3
√
x+ 20− 3
4
√
x+ 9− 2
d) lim
x→−2
3
√
1 + x+
√
3 + x
x3 − 2x+ 4
Hướng dẫn. a)
11
7
.
b) −1.
c)
32
27
.
d)
1
12
.
Bài 7.2: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→0
1− cos 5x
1− cos 3x
b) lim
x→pi
2
cos x
π − 2x
c) lim
x→0
√
cos x− 3√cos 3x
1− cos x. cos 2x
d) lim
x→pi
3
sin
(
x− π
3
)
2 cos x− 1
e) lim
x→0
1− cos x√cos 2x
sin2 x
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 132 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
7.3. Bài tập Chương 7. Giới hạn
f) lim
x→0
7x − 6x
5x − 4x
Hướng dẫn. a)
25
9
.
b)
1
2
.
c)
1
2
.
d) − 1√
3
.
e)
3
2
.
f) log 5
3
(
7
6
)
.
Bài 7.3: Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→∞
x3 + 2x2 + 3x+ 4
4x3 + 3x2 + 2x+ 1
b) lim
x→∞
2x3 + 5x2 − x− 1
3x5 − 4x4 + x2 + 3
c) lim
x→−∞
√
x4 + x2 + 1
3
√
x5 + x2 − 1
d) lim
x→+∞
(
3
√
x3 + x2 −√x2 − x)
e) lim
x→+∞
(3x5 − 4x3 + x− 1) và lim
x→−∞
(3x5 − 4x3 + x− 1)
Hướng dẫn. a)
1
4
.
b) 0.
c) −∞.
d)
5
6
.
e) +∞ và −∞.
Bài 7.4: Tính các giới hạn của hàm số sau:
a) lim
x→3+
2x2 − 5x− 4
x2 − 9 và limx→3−
2x2 − 5x− 4
x2 − 9
b) lim
x→2+
(√
x2 − 4
2− x .
x
1− 3x
)
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 133 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
7.3. Bài tập Chương 7. Giới hạn
c) lim
x→−1
[
x− 1
(x+ 1)2
.
2x+ 1
2x− 3
]
d) lim
x→1+
|x2 + x− 2|
|x3 − 2x| − 1
e) lim
x→0+
1−√cos x
1− cos√x
Hướng dẫn. a) −∞ và +∞.
b) +∞.
c) −∞.
d) −3.
e) 0.
Bài 7.5: Tính các giới hạn của hàm số sau:
a) lim
x→0
(1− x) 1x
b) lim
x→∞
(
3x+ 8
3x− 2
)2x+3
c) lim
x→∞
(
x2 + 5x+ 4
x2 − 3x+ 7
)x+2
Hướng dẫn. a) e−1.
b) e
20
3 .
c) e8.
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 134 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
Chương 8. Bất đẳng thức
Chương 8
Bất đẳng thức
8.1 Các bất đẳng thức cơ bản
- Bất đẳng thức là một vấn đề rất khó, chúng khó không phải vì kiến thức nhiều mà
vì ta không biết bắt đầu. Bất đẳng thức nói chung là một dạng bài tập không có thuật
toán trong đề thi đại học. Tài liệu này ra đời nhằm cung cấp cho học sinh một số thuật
toán nhất định để chứng minh bất đằng thức hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Định lý 8.1 (Bất đẳng thức Cauchy). Với các số x1, x2, · · · , xn không âm ta có :
n
√
x1x2 · · · xn ≤
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
⇔ x1 + x2 + · · ·+ xn ≥ n. n√x1x2 · · · xn
Dấu bằng xảy ra khi x1 = x2 = · · · = xn.
Chứng minh. Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp qui nạp theo n.
¶ Với n = 2: Bất đẳng thức trở thành:
√
x1x2 ≤
x1 + x2
2
⇔ (√x1 −√x2)2 ≥ 0
Dấu bằng xảy ra khi x1 = x2.
· Giả sử bất đẳng thức đúng với n ta chứng minh bất đẳng thức đúng với 2n. Giả
sử x1, x2, · · · , x2n ≥ 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy với n số x1, x2, ·, xn ≥ 0 ta
có:
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
≥ n√x1x2 · · · xn
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với n số xn+1, xn+2, · · · , x2n ≥ 0 ta có:
xn+1 + xn+2 + · · ·+ x2n
n
≥ n√xn+1xn+2 · · · x2n
Từ đó ta có:
x1 + x2 + · · ·+ x2n
2n
=
1
2
(
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
+
xn+1 + xn+2 + · · ·+ x2n
n
)
≥ 1
2
(
n
√
x1x2 · · · xn + n√xn+1xn+2 · · · x2n
)
Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 135 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
T
h.
s
Đ
ỗ
M
in
h
T
uâ
n
8.1. Các bất đẳng thức cơ bản Chương 8. Bất đẳng thức
≥√ n√x1x2 · · · xn. n√xn+1xn+2 · · · x2n = 2n√x1x2 · · · x2n
(Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số n
√
x1x2 · · · xn, n√xn+1xn+2 · · · x2n)
¸ Chứng minh tính lùi, tức chứng minh bất đẳng thức đúng với n thì đúng với n−1.
Thật vậy giả sử bất đẳng thức đúng với n, lấy n− 1 số x1, x2, · · · , xn−1.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với n số x1, x2, · · · , xn−1, t =
x1 + x2 + · · ·+ xn−1
n− 1
ta có:
x1 + x2 + · · ·+ xn−1 + t
n
≥ n√x1.x2. · · · .xn−1.t
⇔ (n− 1) t+ t
n
≥ n√x1.x2. · · · .xn−1.t⇔ t ≥ n√x1.x2. · · · .xn−1.t
⇔ tn ≥ x1.x2. · · · .xn−1.t⇔ tn−1 ≥ x1.x2. · · · .xn−1
⇔ t ≥ n−1√x1.x2. · · · .xn−1 ⇔
x1 + x2 + · · ·+ xn−1
n− 1 ≥
n−1
√
x1.x2. · · · .xn−1
Vậy bất đẳng thức đúng với n− 1.
¹ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, theo bước 2 thì bất đẳng thức đúng với
n = 2k. Áp dụng liên tiếp kết quả của bước 3 ta có bất đẳng thức đúng với
n = 2k − 1 do đó đúng với n = 2k − 2, ... , cuối cùng bất đẳng thức đúng với
n = k + 1.
Từ kết quả của bước 1, 4 và theo nguyên lý qui nạp ta được bất đẳng thức đúng với mọi
số tự nhiên n ≥ 2.
Phương pháp chứng minh ở trên gọi là phương pháp chứng minh qui nạp lùi. Phương
pháp chứng minh thú vị này là của nhà toán học người Pháp Cauchy. Tuy nhiên ông
không phải là người phát minh ra bất đẳng thức này. Tên của bất đẳng thức này theo
các tài liệu nước ngoài là AM −GM (Arithmetic Means - Geometric Means):
Trong thực tế ta thường áp dụng bất đẳng thức với n = 2, n = 3.
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có:
√
ab ≤ a+ b
2
⇔ ab ≤
(
a+ b
2
)2
⇔ a+ b ≥ 2
√
ab
Với mọi a, b, c ≥ 0 ta