Tài liệu luyện thi Đại học môn Toán - Chủ đề: Lượng giác - Nguyễn Minh Triết

LƯỢNG GIÁC
1 – Các công thức lượng giác cơ bản:
tgx.cotgx = 1 
2 – Đường tròn lượng giác: 
Định nghĩa: Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O bán kính R = 1 
Khảo sát:
0
(I)
- sin
3 – Tứ cung:
	a. Cung bù:
	sin( p - α ) = sin α
	cos( p - α ) = -cosα
	tg( p - α ) = - tgα
	cotg( p - α ) = - cotgα
Cách nhớ: sin bù
b. Cung đối: 
	sin(- α ) = -sin α
	cos(- α ) = cosα
	tg(- α ) = - tgα
	cotg(- α ) = - cotgα
Cách nhớ: cos đối 
	c. Cung hơn kém p:
	sin( p + α ) = - sin α
	cos( p + α ) = -cosα
	tg( p + α ) = tgα
	cotg( p+α ) = cotgα
Cách nhớ: hiệu p tg(cotg).
	d. Cung phụ:
Cách nhớ: Phụ chéo
5 – Chu kỳ:
	a. y = sinx ( y= cosx )
	T = 2p
Sin(α + k2p) = sinα
cos(α + k2p) = cosα ;kỴZ
b. y = tgx ( y= cotgx )
	T = p
Sin(α + kp) = sinα
cos(α + kp) = cosα ;kỴZ
Cách nhớ:	 Sin tổng bằng tổng sin co
	Cos tổng bằng hiệu đôi cô đôi chàng
	Tg tổng tử đã rõ ràng
	Mẫu 1 trừ với tích tg đôi mình.
6 - Cơng thức cộng:
sin( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa
cos( a ± b ) = cosacosb sina sinb
7 – Công thức nhân đôi:
	sin2x = 2sinx.cosx
	cos2x = cos2x – sin2x
	= 2cos2x – 1 
	= 1 – 2 sin2x 
8 – Công thức nhân ba:
	sin3x = 3sinx – 4sin3x
	cos3x = 4cos3x – 3cosx
9 – Công thức hạ bậc:
10 – Công thức biến đổi tổng thành tích:
12 – Công thức đổi biến:
Đặt t = tg(x/2) 
Cách nhớ:
Cos cộng cos bằng 2 cos cos 
Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin
Sin cộng sin bằng 2 sin cos 
Sin trừ sin bằng 2 cos sin
11 – Công Thức biến đổi tích thành tổng:
PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC
A.Phương Trình Lượng Giác cơ bản
Chú ý: cos(-u) = cosu; 	 cos(p-u) = cosu; 
	sin(-u) = -sinu ;	 sin(p-u) = -sinu
	tg(-u) = - tgu ; 	tg(p-u) = - tgu
	cotg(-u) = -cotgu ;	 cotg(p-u) = -cotgu
B. Phương Trình bậc hai theo một hàm số lượng giác:
Loại: acos2x + bcosx + c = 0 ( hoặc a.sin2x + bsinx + c = 0 )
Đặt u = cosx ( u = sinx ) , điều kiện –1 £ u £ 1
Loại: atg2x + btgx + c = 0 ( hoặc a.cotg2x + bcotgx + c = 0 )
Đặt u = tgx ( u =cotgx ) , Không cần điều kiện cho u
C. Phương trình bậc nhất theo sin và cos của một cung:
Có dạng: a.sinx + b.cosx = c (1)
Phương pháp giải:
+ Tính a2 + b2 
+ Chia 2 vế cho Þ 	 Þ cos(x - a ) = .
+ Ta giải phương trình trên dựa vào phương trình LG cơ bản.
Chú ý: Phương trình (1) có nghiệm khi a2 + b2 ³ c2 
D. Phương trình đẳng cấp:
Có dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d (a,b,c ¹ 0 ) 	(1)
* Cách 1: 
	+ TH1 cosx = 0 Û x = . Thay vào pt (1) Þ KL
	+ TH2 cosx ¹ 0. Chia 2 vế của pt (1) cho cos2x 
	pt (1) Þ  Þ m.tg2x + n.tgx + p = 0 (2) 
	Ta giải pt (2) dựa vào pt bậc 2 theo một hàm số LG .
*Cách 2: Ta sử dụng công thức hạ bậc
	Ta đưa pt (1) về pt bậc nhất theo sin và cos.
E. Phương Trình đối xứng:
Có dạng: a( cosx ± sinx ) + b.sinx.cosx + c = 0 (1)
Phương Pháp giải:
	+ Đặt u = cosx ± sinx	( )
 	Ta đưa pt (1) về pt bậc 2 theo u.
BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình 
cos34x = cos3x.cos3x + sin3x.sin3x
cosx.cos4x + cos2x.cos3x = 0
(1 + sin2x).(cosx – sinx) = cos2x
tgx – tg2x = sinx
Câu 2: Giải Phương trình
Câu 3: Giải phương trình
Câu 4: Giải phương trình
Câu 5: Cho phương trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x
Giải phương trình khi k = 4
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình trên.
Câu 6: Cho phương trình 	
Giải phương trình (1) khi m = .
Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm.
Câu 7: Cho phương trình: 
Giải phương trình khi a = ½ 
Định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng 
Câu 8: Cho phương trình sin3x – mcos2x – (m+1)sinx + m = 0 
Định m để phương trình có đúng 8 nghiệm thuộc (0,3p).
Câu 9: Cho phương trình cos3x – sin3x = m 	(1)
Giải phương trình (1) khi m = -1.
Tìm m sao cho phương trình (1) có đúng 2 nghiệm .
Câu 10: Cho f(x) = cos2x.sin4x + cos2x 
Giải phương trình: f(x) = 2cosx(sinx + cosx) – 1 
Chứng minh rằng .