Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

có với k = 1,2..n ( 0,25 điểm )
áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có:
 (0,5 điểm )
Suy ra 1 < ( 0,5 điểm )
Lần lượt cho k = 1,2, 3, n rồi cộng lại ta được.
n < ( 0,5 điểm)
=> 
Câu 3 (2 điểm )
Gọi ha , hb ,hc lần lượt là độ dài các đường cao của tam giác. Theo đề bài ta có:
 ( 0,4 điểm )
=> => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 điểm )
Mặt khác S = ( 0,4 điểm )
=> 	(0 , 4 điểm )
=> a :b : c = (0 ,4 điểm )
Vậy a: b: c = 10 : 10 : 6
Câu 4: ( 2 điểm )
Trên tia Ox lấy , trên tia Oy lấy sao cho O = O = a ( 0,25 điểm )
Ta có: O + O = OA + OB = 2a => A = B 	( 0,25 điểm )
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
y
Của A và B trên đường thẳng 
Tam giác HA = tam giác KB
( cạnh huyền, góc nhọn ) 	( 0,5 điểm )
=> H do đó HK = 	(0,25 điểm)
Ta chứng minh được
HK (Dấu “ = “ A trùng trùng 	(0,25 điểm)
do đó 	 ( 0,2 điểm )
Vậy AB nhỏ nhất OA = OB = a	 (0,25điểm )
Câu 5 ( 2 điểm )
Giả sử 	( 0,2 điểm )
=> 
=> b +b +2 	( 0,2 điểm)
=> 2 ( 1 )	( 0,2 điểm)
=> 4bc = 2 + 4 d2a – 4b ( 0,2 điểm)
=> 4 d = 2	 + 4d 2a – 4 bc	( 0,2 điểm)
* Nếu 4 d # 0 thì:
là số hữu tỉ	(0,2 5điểm )
** Nếu 4 d = 0 thì: d =0 hoặc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 điểm )
+ d = 0 ta có : 
=> (0,25 điểm )
+ d 2+ a-b – c = 0 thì từ (1 ) => 
Vì a, b, c, d nên 	 ( 0,25 điểm )
Vậy là số hữu tỉ.
Do a,b,c có vai trò như nhau nên là các số hữu tỉ
--------------------------------------------------
 Đề 1 
Bài 1. (4 điểm)
Chứng minh rằng 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0
Bài 2. (4 điểm)
Tìm các số a, b, c biết rằng : và a + 2b – 3c = -20
Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Bài 3. (4 điểm)
Cho hai đa thức f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - x
 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 
	Tính f(x) + g(x) và f(x) – g(x).
Tính giá trị của đa thức sau: 
 A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = -1.
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
So sánh các độ dài DA và DE.
Tính số đo góc BED.
Bài 5. (4 điểm)
	Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD. Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
IK// DE, IK = DE.
AG = AD.
Đề 2: 
Mụn: Toỏn 7
Bài 1: (3 điểm): Tớnh
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tỡm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tỡm biết: 
Đề 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phộp tớnh: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tỡm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tớnh và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
Đề 4 
Bài 1: (2 điểm)
 Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101
 a, Viết dạng tổng quát dạng thứ n của A
 b, Tính A 
Bài 2: ( 3 điểm)
 Tìm x,y,z trong các trờng hợp sau:
 a, 2x = 3y =5z và =5
 b, 5x = 2y, 2x = 3z và xy = 90.
 c, 
Bài 3: ( 1 điểm)
Cho và (a1+a2++a9 ≠0) 
 Chứng minh: a1 = a2 = a3== a9
 2. Cho tỉ lệ thức: và b ≠ 0
 Chứng minh c = 0
Bài 4: ( 2 điểm)
 Cho 5 số nguyên a1, a2, a3, a4, a5. Gọi b1, b2, b3, b4, b5 là hoán vị của 5 số đã cho. 
 Chứng minh rằng tích (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) 2
Bài 5: ( 2 điểm)
 Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau qua AB, kẻ hai tia Ax và By song song với nhau. Trên tia Ax lấy hai điểm D và F sao cho AC = BD và AE = BF.
 Chứng minh rằng : ED = CF.
=== Hết===
 Đề 5 
Bài 1: (3 điểm)
Thực hiện phép tính: 
 Tìm các giá trị của x và y thoả mãn: 
 Tìm các số a, b sao cho là bình phơng của số tự nhiên.
Bài 2: ( 2 điểm)
Tìm x,y,z biết: và x-2y+3z = -10
Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0
Chứng minh rằng: 
Bài 3: ( 2 điểm)
Chứng minh rằng: 
Tìm x,y để C = -18- đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: ( 3 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. 
 Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
 1, Chứng minh: BH = AK
 2, Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?
=== Hết===
Đề số 6
Câu 1:	Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b
Câu 2: 	Tìm số nguyên x thoả mãn:
	a,ữ5x-3ữ 4	c, ữ4- xữ +2x =3
Câu3: 	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	A =ữxữ +ữ8 -xữ
Câu 4:	Biết rằng :12+22+33+...+102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+...+202
Câu 5 :
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D.
	a. Chứng minh AC=3 AD
	b. Chứng minh ID =1/4BD
------------------------------------------------- Hết ------------------------------------------
Đề số 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 . ( 2đ) 	Cho: . Chứng minh: .
Câu 2. (1đ).	Tìm A biết rằng: A = .
Câu 3. (2đ).	Tìm để Aẻ Z và tìm giá trị đó.
	a). A = . 	b). A = .
Câu 4. (2đ). Tìm x, biết:
	a)	 = 5 . 	b).	 ( x+ 2) 2 = 81. 	c). 5 x + 5 x+ 2 = 650
Câu 5. (3đ).	Cho r ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E ẻ BC, BH^ AE, CK ^ AE, (H,K ẻ AE). Chứng minh r MHK vuông cân.
-------------------------------- Hết ------------------------------------
Đề số 8
Thời gian làm bài : 120 phút.
Câu 1 : ( 3 điểm).
	1. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một số tự nhiên. Tìm a ?
	2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ( a,b,c ,dạ 0, aạb, cạd) ta suy ra được các tỉ lệ thức:
	a) .	b) .
Câu 2: ( 1 điểm).	Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0.
Câu 3: (2 điểm).
	Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| với a<b<c<d.
Câu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ.
	a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C.
	b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy. 
x
A
B
y
C
Câu 5: (2 điểm) 
 Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------
Đề số 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1(2đ):
	a) Tính: A = 1 + 
	b) Tìm n Z sao cho : 2n - 3 n + 1
Câu 2 (2đ):
	a) Tìm x biết: 3x - = 2
	b) Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50.
Câu 3(2đ): 	Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
Câu 4(3đ):	Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Câu 5(1đ):	Tìm x, y thuộc Z biết: 2x + = 
---------------------------------------------------Hết----------------------------------------------
Đề số 10
Thời gian làm bài: 120’.
Câu 1: Tính :
	a) A = .
	b) B = 1+ 
Câu 2:
	a) So sánh: và .
	b) Chứng minh rằng: .
Câu 3:
 Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3
Câu 4
 Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng:
	a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK.
Câu 5:	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 
------------------------------------------ hết ---------------------------------------------
 Đề số 11
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1: (1,5 đ)Tìm x biết: 
	a, ++++=0
	b, 
Câu2:(3 điểm)
	a, Tính tổng:
	b, CMR: 
	c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10
Câu3: (2 điểm)	Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?
Câu 4: (2,5điểm)	Cho tam giác ABC có góchai đường phân giác AP và CQ của tam giác cắt nhau tại I.
	a, Tính góc AIC
	b, CM : IP = IQ
Câu5: (1 điểm)	Cho . Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
------------------------------------------ hết -----------------------------------------
Đề số 12
Thời gian : 120’
Câu 1 : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết :
	a) = - 243 .
	b) 
	c) x - 2 = 0	(x)
Câu 2 : (3đ)
	a, Tìm số nguyên x và y biết : 
	b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết : A = 	(x)
Câu 3 : (1đ)	Tìm x biết : 	2. - 2x = 14
Câu 4 : (3đ)
	a, Cho ABC có các góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; 3 . Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với các số nào .
	b, Cho ABC cân tại A và Â < 900 . Kẻ BD vuông góc với AC . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho : AE = AD . Chứng minh :
	1) DE // BC
	2) CE vuông góc với AB .
-----------------------------------Hết--------------------------------
Đề số 13
Thời gian làm bài:	120 phút
Bài1( 3 điểm)
	a, Tính: 	A = 
	b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 ++ 100 – 410)
Bài 2: ( 2điểm). Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2.
Bài 3: (2 điểm). Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang.
Bài 4: ( 3 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn của tam giác , biết EC – EA = AB.
----------------------