Sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Phú Khánh

 
   
3
sin , 0;
3! 2
x
x x x
 
      
 
 (đpcm). 
2 4
3. cos 1 , (0; )
2 24 2
x x
x x

     
Xét hàm số 
2 4
( ) cos 1
2 24
x x
g x x    liên tục trên nửa khoảng 0;
2
x
 
 
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-36- 
Ta có: 
3
'( ) sin 0 0;
6 2
x
g x x x x
 
       
 
 (theo câu 
2) ( ) (0) 0 0;
2
g x g x
 
     
 
2 4
cos 1 , 0;
2 24 2
x x
x x
 
       
 
(Đpcm). 
3
sin
4. cos , (0; )
2
x
x x
x
 
   
 
. 
Theo kết quả câu 2, ta có: 
3
sin , 0;
6 2
x
x x x
 
     
 
332 2 2 4 6sin sin
1 1 1
6 6 2 12 216
x x x x x x x
x x
  
                
3 2 4 4 2sin
1 (1 )
2 24 24 9
x x x x x
x
 
      
 
Vì 
32 2 4sin
0; 1 0 1
2 9 2 24
x x x x
x
x
   
          
   
Mặt khác, theo câu 3: 
2 4
1 cos , 0;
2 24 2
x x
x x
 
      
 
Suy ra 
3
sin
cos , 0;
2
x
x x
x
   
     
   
(đpcm). 
Nhận xét: Ta có sin0 sin 0 1 (0; )
2
x
x x x
x

       nên 
3
sin sin
 3
x x
x x


   
     
   
. Do đó, ta có kết quả sau 
Chứng minh rằng: với 3  , ta luôn có: sin cos (0; )
2
x
x x
x

 
   
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-37- 
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 4
1 , 0;
2sin
x
x x


 
      
 
Giải : 
Xét hàm số 
2 2
1 1
( )
sin
f x
x x
  liên tục trên nửa khoảng 0;
2
x
 
  
 
. 
Ta có: 
3 3
3 3 3 3
2 cos 2 2( cos sin )
'( )
sin sin
x x x x
f x
x x x x
 
    . 
Theo kết quả câu 4 - ví dụ 2 , ta có: 
3
sin
cos , 0;
2
x
x x
x
   
     
   
3 3cos sin 0 , 0; '( ) 0 , 0;
2 2
x x x x f x x
    
            
   
2
4
( ) 1 , 0;
2 2
f x f x
 

   
        
   
Do vậy: 
2 2 2
1 1 4
1 , 0;
2sin
x
x x


 
      
 
 (đpcm). 
Ví dụ 4 : Với 0
2
x

  . Chứng minh rằng 
3
12.sin t n 22 2 2
xx a x   
Giải : 
Ta có: 
1
sin t n2.sin t n 2 sin t n 22 2 2. 2 .2 2.2
x a xx a x x a x    
Ta chứng minh: 
1 3
sin t n
2 2 1 32 2 sin t n
2 2
x
x a x
x a x x

    
0;
2
x
 
  
 
. 
Xét hàm số   1 3sin t n
2 2
x
f x x a x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
Ta có:  
3 2
2 2
, 1 3 2cos 3 cos 1cos
22.cos 2 cos
x x
f x x
x x
 
    
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-38- 
2
2
(cos 1) (2 cos 1)
0 , [0; )
22 cos
x x
x
x
 
    . 
( )f x đồng biến trên 
[0; )
2
 1 3
( ) (0) 0 sin tan
2 2
f x f x x x      , [0; )
2
x

  (đpcm). 
Ví dụ 5 : Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số tự nhiên 1n  
 1 1 2
n n
n nn n
n n
    
Giải : 
Đặt  0;1 , *
n n
x n N
n
    . 
Bất đẳng thức cần chứng minh là:  1 1 2, 0;1n nx x x      
Xét hàm   1 1 , [0;1)n nf x x x x     
 
   
 
1 1
1 1 1
' 0, 0;1
1 1
n nn n
f x x
n
x x
 
 
 
      
   
 
Vậy  f x giảm trên  0;1 nên      0 2, 0;1f x f x    . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Cho hàm số   2 sin t n 3f x x a x x   
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
)b Chứng minh rằng 2 sin t n 3x a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
2. 
)a Chứng minh rằng t na x x với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-39- 
)b Chứng minh rằng 
3
t n
3
x
a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
3. Cho hàm số   4 t nf x x a x

  với mọi 0;
4
x
 
  
 
)a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
 
 
 
. 
)b Từ đó suy ra rằng 4 t nx a x

 với mọi 0;
4
x
 
  
 
. 
4. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau : 
)a sin x x với mọi 0x  , sin x x với mọi 0x  
)b 
2
cos 1
2
x
x   với mọi 0x  
)c
3
sin
6
x
x x  với mọi 0x  , 
3
sin
6
x
x x  với mọi 0x  
)d sin t n 2x a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
5. Chứng minh rằng 
. 1 , xa e x x   
2
. 1 , 0
2
x xb e x x     
6. Chứng minh rằng 21ln(1 ) 0
2
x x x x     . 
7. Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với 0x  
2ln(1 )x x ax   . 
8. Tìm tất cả các giá trị của a để : 1 0   xa x x . 
9. Cho 0a b  . Chứng minh rằng : 1 12 2
2 2
b a
a b
a b
   
        
   
. 
10. Chứng minh :    2 3 2 3 , 0y xx x y y x y     . 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-40- 
11. Cho , , 0,x a b a b  . Chứng minh rằng: 
x b b
x a a
x b b

   
   
   
Hướng dẫn : 
1. 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng 0;
2
 

 
Hàm số   2 sin tan 3f x x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có 
đạo hàm  
3 2
2 2
1 2cos 1 3cos
' 2 cos 3
cos cos
x x
f x x
x x
 
    
     
2
2
1 cos 2 cos 1
' 0, 0;
2cos
x x
f x x
x
   
     
 
Do đó hàm số   2 sin tan 3f x x x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
)b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
Hàm số   2 sin tan 3f x x x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và 
   0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
; do đó 2 sin t n 3 0x a x x   mọi 
0;
2
x
 
  
 
 hay 2 sin t n 3x a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
2. 
)a Chứng minh rằng hàm số   t nf x a x x  đồng biến trên nửa khoảng 
0;
2
 

 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-41- 
Hàm số   t nf x a x x  liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
  22
1
' 1 t n 0, 0;
2cos
f x a x x
x
 
       
 
. 
Do đó hàm số   t nf x a x x  đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và 
   0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
 hay tanx x . 
)b Chứng minh rằng 
3
t n
3
x
a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
Xét hàm số  
3
t n
3
x
g x a x x   trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
Hàm số  
3
t n
3
x
g x a x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo 
hàm   2 2 22
1
' 1 t n
cos
g x x a x x
x
     
     ' t n t n 0, 0;
2
g x a x x a x x x
 
       
 
câu )a 
Do đó hàm số  
3
t n
3
x
g x a x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và 
   0 0, 0;
2
g x g x
 
     
 
 hay 
3
t n
3
x
a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
3. 
)a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
 
 
 
. 
Hàm số   4 t nf x x a x

  liên trục trên đoạn 0;
4
 
 
 
 và có đạo hàm 
  22
4 1 4
' t n , 0; ,
4cos
f x a x x
x
 
 
 
       
 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-42- 
  4' 0 t nf x a x 


   
Vì 40 1 t n
4
a
 


   nên tồn tại một số duy nhất 0;
4
c
 
  
 
 sao cho 
4
t na c



 
    ' 0, 0;f x x c   hàm số  f x đồng biến trên đoạn 0;x c    
  ' 0, ;
4
f x x c
 
    
 
 hàm số  f x nghịch biến trên đoạn ;
4
x c
 
  
 
)b Dễ thấy 
    4 40 ; 0; t n 0 t n
4
f x f c x x a x hay x a x 
 
 
        
 
 với 
mọi 0;
4
x
 
  
 
. 
4. 
)a sin x x với mọi 0x  . 
Hàm số   sinf x x x  liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
  2' 1 cos 2 sin 0, 0;
2 2
x
f x x x
 
       
 
. Do đó hàm số đồng biến trên 
nửa khoảng 0;
2
 

 
và ta có    0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
, tức là 
sin 0, 0; sin , 0;
2 2
x x x hay x x x
    
         
   
 . 
)b 
2
cos 1
2
x
x   với mọi 0x  
Hàm số  
2
cos 1
2
x
f x x   liên tục trên nửa khoảng 0;  và có đạo 
hàm  ' sin 0f x x x   với mọi 0x  ( theo câu a ). 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-43- 
Do đó hàm số  f x đồng biến trên nửa khoảng 0;  và ta có 
   0 0, 0f x f x    , tức là 
2
cos 1 0, 0
2
x
x x     
Với mọi 0x  , ta có 
   
2
2
cos 1 0, 0 cos 1 0, 0
2 2
x x
x x hay x x

           
Vậy 
2
cos 1
2
x
x   với mọi 0x  
)c Hàm số  
3
sin
6
x
f x x x   . Theo câu b thì  ' 0, 0f x x   . Do đó 
hàm số nghịch biến trên  . Và       
0 0
0 0
f x f khi x
f x f khi x
  

 
)d sin t n 2x a x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
Hàm số   sin tan 2f x x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo 
hàm   22 2
1 1
' cos 2 cos 2 0, 0;
2cos cos
f x x x x
x x
 
          
 
. Do 
đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
và ta có 
   0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
. 
5. . 1 , xa e x x   
Xét hàm số ( ) 1xf x e x   liên tục trên  . 
Ta có: '( ) 1 '( ) 0 0xf x e f x x      
Lập bảng biến thiên, ta thấy ( ) (0) 0 f x f x   . 
2
. 1 , 0
2
x xb e x x     
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-44- 
Xét hàm số 
2
( ) 1
2
x xf x e x    liên tục trên nửa khoảng 0;  
Ta có: '( ) 1 0 xf x e x x     (theo kết quả câu 1) 
( ) (0) 0 0 f x f x     đpcm. 
6. 
Xét hàm số 21( ) ln(1 )
2
f x x x x    liên tục trên nửa khoảng 0;  . 
Ta có 
21
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x x
x x
      
 
( ) (0) 0 0 (1)f x f x      đúng. 
7. Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với 0x  2ln(1 )x x ax   
(2). 
Giả sử (1) đúng với 0x   (2) đúng với 0x  
2
ln(1 )
 0
x x
a x
x
 
     (3). 
Cho 0x  , ta có: 
2
ln(1 ) 1 1
2 2
x x
a a
x
 
      . 
Khi đó: 2 2 1 0
2
x x x ax x     . 
Mà theo chứng minh ở câu 1 thì: