Sáng tạo bài toán mới từ bài toán quen thuộc - Văn Kim Hoàng

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
 TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
..˜&˜.
 Sáng kiến kimh nghiệm
 Đề tài:
 SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI
 TỪ BÀI TOÁN QUEN THUỘC 
Người thực hiện: Văn Kim Hoàng
TỔ :TOÁN – TIN
NĂM HỌC 2004-2005
Đề tài: 
SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN QUEN THUỘC
I)Đặt vấn đề:
 Rèn luyện khả năng đi sâu vào mỗi bài toán,phân tích các giả thiết ,các điều kiện,từđó tìm tòi các bài toán liên quan và sáng táo các bài toán mới,qua đó phát hiệnđược mối liên hệ giữa các giả thiết; trên cơ sở đó để vận đụng các kiến thức và có cách giải phù hợp. Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán cũng như phân loại được chúng và đoán nhận được quá trình hình thành từ đó có sự hiểu biết sâu sắc bài toán
 Trong quá trình đó học sinh sẽ khắc sâu và vận dụng tốt hơn, linh hoạt hơn các kiến thức đã học vàtừ đó cũng kích thích học sinh tự giác trong học tập ,tự tìm tòi sáng tạo
 Trong khuôn khổ bài viết này tôi chỉ xin đề cập đến việc thay đổi các giả thiết của một bài toán trong sách giáo khoa về phương trình đường thẳng để hình thành bài toán mới .Qua đó,củng cố các kiến thức như lập phương trình đường thẳng , công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, công thức góc 
II) Giải quyết vấn đề:
 * Bài toán xuất phát:
Viết phương trình các đường cao của tam giác có 3 cạnh cho bỡi 3 phương trinh:
x-y-2= 0 ;3x-y-5= 0; x- 4y -1 = 0 .Tìm toạ độ trực tâm của tam giác
 (Bài tập 5 trang 16 Sách hình học 12 )
 Chúng ta có thể thay giả thiết để có một bài toán mới 
. Sau đây tôi chỉ xin đề xuất một vài trường hợp
* Trường hợp 1) Giữ lai PT 2cạnh và thay PT 1 cạnh bỡi trực tâm
 Bài toán: PT 2 cạnh của một tam giáclà :5x – 2y + 6= 0 ; 4x +7y – 21 = 0 và trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ .viết PT cạnh thứ ba 
 Lược giải: 
 Gọi (AB): 5x-2y+6=0 (AC): 4x+7y-21=0 Ta có A( 0;3 )
 Đường caoBO có PT: 7x-4y =0 .B=
 Tư đó ta có B(-4;-7) PT (BC) là : y= -7
 * Trường hợp 2) 2 cạnh và trọng tâm
 Bài toán: Cho có cạnh AB: 4x+y+15=0 ;AC: 2x+5y+3=0
Và trọng tâm G(-2;-1). Viết phương trình BC
 Lược giải:
 Ta có A(-4;1) là giao điểm của AB và AC
 M(-1;-2) với M là trung điểm BC
 nên xC =-2-xB và yC =-4-yB mà C AC nên :2(-2-xB ) + 5(-4-yB) + 3 = 0
 2xB + 5yB + 21 = 0 (1) mà B AB nên 4xB + 5yB + 15 = 0 (2)
Giải hệ (1) và (2) ta có B(-3;-3) Nên PT đường thẳng BC là x-2y – 3 = 0
* Trường hợp 3) 2cạnh và trung điểm cạnh thứ 3
Bài toán: Cho co AB: x+ y – 2 = 0 và AC: 2x + 6y + 3 = 0
 M(-1;1) là trung điểm của BC .Lập PT cạnh BC
 Lược giải: 
 Ta có : A(15/4;-7/4) .Đường thẳng qua M và // AB có PT :x+y=0
Cắt AC tại N(3/4;1/4).Vì n là trung điểm AC nên C(-9/4;1/4)
Từ đó ta có PT cạnh BC 
 * Trường hợp 4) 1đỉnh; đường cao; trung tuyến
Bài toán: Lập PT các cạnh biết C(4;-1)đường cao và trung tuyến kẽ từ mộy đỉng có PT:2x-3y+12=0 và 2x+3y=0
 Lược giải:
 Ta có CAB và AM Gọi AH: 2x-3y+12 =0 va AM: 2x+3y=0
Ta có A(-3;2)>Từ đó có PT AC:3x+7y-5=0 .BC qua C và vuông gócAH
 nên có PT :3x+2y-10=0
Từ đó ta có toạ độ trung điểm M của BC là M(6;-4)B(8;-7)
Do đó PT AB :9x+11y+5=0
 * Trường hợp 5) 1 đỉnh ; 2trung tuyến
Bài toán: : Lập PT các cạnh biết A(1;3) và 2 trung tuyến có PT :
x-2y+1=0 : và y-1=0
 Lược giải: 
Toạ độ trọng tâm là G(1;1).Gọi E là điểm đối xứng của A qua G ta có E(1;-1)
Lập PT đường thẳng qua Evà //BG; qua E và //CG từ đó tìm được B(5;1) và (-3;-1)
PT các cạnh :AB: x+2y-7=0 ; BC: x-4y-1=0; CA: x-y+2=0
 * Trường hợp 6) 1 đỉnh ; 2 đường cao 
Bài toán : Lập PT các cạnh biết B(-4;-5) và 2 đường cao có PT :
5x+3y-4=0 và 3x+8y+13=0
 Lược giải: 
Ta co C 2 đường cao đẫ cho
BCAH: 5x+3y-4=0 và qua C nên có PT:3x-5y-13=0
ACBH:3x+8y+13=0 và qua C nên có PT8x-3y+17=0
Từ đó có A(-1;3)và B(1;-2) nen PT AB:5x+2y-1=0
* Trường hợp 7) 1 đỉnh ;đường cao và phân giác trong
Bài toán: Lập PT các cạnh biết B(2;-1); đường cao kẽ từ A:3x-4y+27=0
Và phân giác trong gócC :x+2y-5=0
 Lược giải:
PT BC: 4x+3y-5=0 C(-1;3)
Gọi phân giác trong góc C là CD ta có Dùng công thức góc giữa 2 đương thăng ta có PT AC: y-3=0 Tư đó ta có A(-5;3) nên PT AB: 4x+7y-1=0
* Trường hợp 8) 1 đinh và 2 phân giác trong 
Bài toán : Cho biết A(2;-1)và phương trình 2 đường phân giác trong góc B và C lần lượt là (dB): x-2y+1=0 ; (dC) :x+y+3=0 .Lập PT cạnh BC
 Lược giải:
Gọi A1 là điểm đối xứng A(2;1) qua đường( dB) ta có A1(0;3)
Gọi A2 là điểm đối xứng A(2;1) qua đường( dC) ta có A2(-2;-5)
Đường thẳng qua BC cũng là đường thẳng qua A1A2 nên có PT: 4x-y+3=0
 * Trường hợp 9) 1 đỉnh ;trọng tâm; trung trực
Bài toán: Cho biết A(-1;-3); trọng tâm G(4;-2) và trumg trực canh AB là
():3x+2y-4=0 .Tìm phương trình cạnh BC
 Lược giải:
Ta có PTcạnh AB: 2x-3y-7=0 ;toạ độ trung điểm I của AB là I(2;-1) do đó B(5;1)
Vì G(4;-2) là trọng tâm nên đùng công thức tính toạ độ trọng tâm 
;ta có C(8;-4) Tư đo suy ra PT BC 
 Trên đây là vài trường hợp thay đổi giả thiết để tạo bài toán mới tương đối đơn giản; chúng ta có thể thay đổi thêm giả thiết để tạo nên bài toán phức tạp hơn;chẳng hạn:
Bài toán1) : Cho có đỉnh A(2;-3); B(3;-2);diện tích S=3/2 và trọng tâm G (d):3x-y-8=0 .tìm đỉnh C
 Lược giải:
Ta co S=3/2 1/2.Trung điểm M của AB có toạ độ M(5/2;-5/2) vàAB=
 | xG-yG-5 | = 1 và G (d) nên :3xg-yG-8=0
Từ đó ta có G(1;-5) hoặc G(2;-2) mà C(-2;-10) hoặc C(1;-1)
Bài toán2): Cho vuông tại A BC: .Bán kính đường tròn nội tiếp băng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của 
 (ĐH CĐ Khối A 2002) 
 Lược giải:
Gọi A(a;0)Phân giác trong góc B: Phân giác trong góc A :x+y-a=0
 mà d(I;Ox)= 2 nên | yI | = =2 hoặc 
Từ đó ta có ; 
Bài toán 3) Cho có AB=AC ; .Biết M(1;-1) là trung điểm BC và
G(2/3;0)là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh A;B;C
 (ĐH CĐ Khối B 2003) 
 Lược giải:
Ta có: A(0;2)
 vuông can nên BC AM nên PT BC:x-3y+4=0 (1)
Và MA=MB =MC= nên (x-1)2+(y+1)2= 10 (2)
Giải hệ (1) và (2) ta đượcB(4;0); C(-2;-2)
 Trên cơ sở tam giác ta có thể thay giả thiết chuyển sang tứ giác
 Bài tâp1) Cho hình vuôngABCD có đỉnh A(-4;5)và một đường chéo có PT:
7x-y+8=0 Lập PT các cạnh và đường chéo còn lại
 Lược giải:
Ađường chéo đã cho
Đường chéo thou 2 AC: 7x+y-31=0 I(-1/2;9/2) (với I là tâm hình vuông)
Tư đó C(3;4) Lập PT cạnh qua A và tạo BD một góc 450 Ta có PT 2 cạnh AB;AD
Và suy ra PT 2 cạnh còn lại
 Bài tập 2): Cho hình bình hành ABCD với A(1;0) ; B(2;0)và giao điểm 2 đường chéo là I thuốc đường thẳng:y=x .Biết SABCD = 4 .Xác định Cvà D
 Lược giải:
Ta có d(C;AB) = mà SABCD = 4 d(C;AB) =4 nên = 4 
Nhưng Iđt y=x và I là trung điếm AC Tư đó xác định C;D
 Bài tập3) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0);phương trình AB:x-2y+2=0
Và AB= 2AD Tìm toạ độ A;B;C;D biết A có hoành độ âm
 (ĐH CĐ Khối B 2002)
 Lược giải:
Ta có d(I;AB) = vàIA=IB =.Do đó A;B là giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn tâm I ;bán kính R= 
Nên ta được A(-2;0); B(2;2)9( vĩ xA<0)C(3;0)và D(-1;-2)
 Trên đây là một vài trường hợp thay đổi giả thiết để có bài toán mới .Trong thực tế giảng dạy ta có thể có rất nhiều cách khác để tạo ra bài toán sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh ;qua đó động viên khuyến khich để học sinh tư tạo ra bài toán và tìm tòi lời giải từ đó học sinh sẽ hiểu sâu sắc hơn những kiến thức đã học và vận đụng thành thạo hơn.