Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học

 ĐI.
Vậy: ĐI(M) = M’ .
1.2.4: Phép quay:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay.
Kí hiệu: Q(O,)
Vậy: Q(O,)(M)=M’
1.2.5: Phép đồng nhất:
Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất.
1.2.6: Phép vị tự:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k)
Vậy: V(O,k)(M)=M’
1.2.7: Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình.
1.2.8: Phép đồng dạng:
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN.
2: Một số tính chất của phép biến hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR).
3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình:
3.1: Phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu (M) = M’ thì 
3.2: Phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu
 +) ĐOx(M) = M’ thì 
 	+) ĐOy(M) = M’ thì 
3.3: Phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu ĐI(M) = M’ thì 
4: Các dạng bài tập cơ bản:
	Dạng 1: Dựng ảnh của một điểm và hình qua phép biến hình.
	Phương pháp : Sử dụng định nghĩa.
Bài 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng 
d và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB,
 tam giác ABC qua phép đối xứng trục d.
Giải:	Đd(A) = A’ 
 Đd(B) = B’
Đd(C) = C’
A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng trục d.
Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục d	
Bài 2: Trong mặt phẳng cho điểm O và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB,
 tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.
Giải
ĐO(A) = A’ 
ĐO(B) = B’
ĐO(C) = C’
A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm O.
Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC 
qua đối xứng tâm O
Bài 3: Trong mặt phẳng cho vectơ và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB,
 tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Giải
	(A) = A’
	(B) = B’
	(C) = C’
 - A’B’ là ảnh của AB qua phép tịnh tiến theo 
vectơ .
 - Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác qua phép 
 tịnh tiến theo vectơ .
Bài 4: Trong mặt phẳng cho điểm O và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB,
 tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số k.
Giải 
	A’ =V(O,2)(A)
	B’ =V(O,k)(B)
	C’ =V(O,k)(C)
	A’B’ là ảnh của AB qua phép vị tự tâm O 
tỉ số 2.
	Tam giác ABC là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số 2.
Dạng 2: Xác định ảnh của một điểm và một hình qua phép biến hình đã cho :
Phương pháp chung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ ,hai điểm A(3 ; 5), B(-1 ; -1) và đường thẳng d có phương trình: x -2y+3 = 0. 
a. Tìm tọa độ của các điểm A’,B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến .
b.Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
	(Bài 3- Sách giáo khoa Hình học 11 – cơ bản –trang 7)
Giải
a)	(A) = A’ thì Vậy (A) = A’(2 ; 7)
	(B) = B’ thì Vậy (B) = B’(-2 ; 3)
b)	Cách 1: Gọi (d) = d’. Chọn M(-1;1) thuộc d, M’=T(M) =(-2 ;3). M’ Î d’.
Vì d’//d nên d’ có phương trình x - 2y+C=0. M’Î d’ó-2 -2.3 +C = 0 ó C = 8.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:x- 2y + 8=0.
Cách 2: Gọi M( x ; y) Î d, M’ = (M) =(x’ ; y’) .
 Khi đó 
Ta có M Îd Û x - 2y +3 = 0 Û x’+1-2(y’- 2) +3 = 0
	Û x’ - 2y +8 = 0
M’ Î d’ có phương trình x- 2y +8 =0
Vậy d’ có phương trình x -2y +8 = 0
Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0.
a)Tìm ảnh của M,(C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
	( ví dụ2 – Sách bài tập hình học 11- cơ bản – trang 12)
Giải:
Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có M’ (1;-5).
(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=ĐOx(I)=(1;2) và bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9.
Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có . Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0.
Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0.
b) Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0.
Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của hệ:
Vậy M0(2;3)
Gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M0 là trung điểm đoạn thẳng MM1 nên M1(3;1) 
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( -1;3) và đường thẳng d có phương trình x -2y +3 = 0. Hãy tìm ảnh của A và qua phép đối xứng tâm O.
	( Bài 1- Sách giáo khoa hình học 11- cơ bản- trang – 15)
Giải
	Gọi A’ = ĐO(A) = (1 ; -3).
Cách 1: d đi qua B( -3 ; 0) và d’ = ĐO(d) nên d’ //d . Do đó d’ có phương trình x – 2y + C = 0.
Hơn nữa d’ đi qua B’( -3 ; 0) là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O.
Do đó 3 +C = 0 Û C = -3.
Vậy ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là dường thẳng d’ có phương trình: x- 2y -3 =0.
Cách 2: Gọi M( x ; y) Î d, M’ = ĐO(M) . Khi đó thay vào phương trình d ta được: - x’ +2y’ +3 =0 Û x’ – 2y’ -3 = 0
Vì M’ Îd’ nên có phương trình: x – 2y -3 = 0.
Vậy d’ có phương trình là : x – 2y -3 = 0
Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép phép đối xứng tâm O. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y -2 = 0.Hãy tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 900.
	( Bài 2 – Sách giáo khoa hình học 11- cơ bản – trang 19)
Giải: Gọi B là ảnh của A. Khi đó B(0;2) . Hai điểm A và B(0 ; 2) thuộc d. Ảnh của B qua phép quay tâm O góc 90o là A’( - 2; 0). Do đó ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90o là đường thẳng BA.
 Vectơ chỉ phương của BA’ là ), VTPT của BA’ là .
Phương trình đường thẳng BA’ là: x-y +2 = 0
Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:3x+2y-6=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.
	( Ví dụ - sách bài tập hình học 11- cơ bản – trang 30)
Giải:
Cách 1: V(O,k)(d)=d’ =>d’//d => d’ có phương trình:3x+2y+C=0. Lấy M(0;3) thuộc d.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có 
Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ =>C=12.
Do đó phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách 2: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có
Điểm M thuộc d .
Vậy phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách 3:
Lấy M,N bất kì trên d, tìm ảnh M’,N’ của M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2. Khi đó d’ là đường thẳng M’N’.
Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình:
Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép biến hình.
Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ biến D thành A. 
	(Bài 2 – Sách giáo khoa hình học 11- cơ bản – trang 7)
	Giải:
	Dựng các hình bình hành ABB’G và ACC’G.
 Khi đó ảnh của tam giác ABC qua 
phép tịnh tiến theo véctơ là tam giác GB’C’.
Dựng điểm D sao cho A là trung điểm của GD. 
Khi đó .
	Vậy 
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3). Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
	(Ví dụ 1- sách bài tập hình học 11- cơ bản- trang 8)
Giải:
Giả sử điểm D(x;y). Ta có , mà 
Do đó: . Vậy D(-2;1).
Bài 3. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và d1 cắt nhau và hai điểm A , B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đương thẳng AB khôg song song hoặc trùng với d( hay d1). Hãy tìm điểm M trên d và M’ trên d1 để tứ giác ABMM’ là hình bình hành.
Giải :
	Xem (M) . Khi đó M’Îd1 
vừa M’Îd’là ảnh của d qua phép tịnh tiến
 theo vectơ . Từ đó suy ra cách dựng.
	- Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh 
tiến theo vectơ .
	- Dựng M’ = d1Ç d’.
	-Dựng điểm M là ảng của diểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Dễ thấy tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thỏa mãn yêu cầu của đầu bài.
Bài 4.
Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc đường thẳng đó. Hãy dựng điển C trên c , điển D trên d sao cho tư giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy ( không cần biên luận). 
(Bài 1.9 – sách bài tập hình học- cơ bản trang – 16)
Giải.
	Ta thấy B,C theo thứ tự là ảnh của 
A, D qua phép đối xứng qua đường trung 
trực của cạnh AB. Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng đường trung trực 	a của đoạn AB
- Dựng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng
 trục 	a.
Gọi C = d’Çc.
- Dựng D là ảnh của C qua phép đối xứng trục a.
Dạng 4: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm.
Phương pháp:	Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3.
Giải:
Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định. Phép đối xứng qua điểm D biến M thành M3.
Do đó Quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2:
Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên