Sáng kiến kinh nghiệm “tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa”

 cơ sở, việc cải tiến phương pháp dạy học có ý nghĩa rất quan trọng. Sự phát triển nhanh như vũ bão của khoa học kĩ thuật đang đặt ra cho người thầy nhiều yêu cầu về phương pháp dạy học. Trong những năm qua, nhiều giáo viên ở trường trung học cơ sở đã có nhiều cố gắng cải tiến phương pháp dạy học toán theo các phương pháp: “ vừa giảng, vừa luyện”; “ phát huy trí lực của học sinh”; “ gắn với đời sống và lao động sản xuất”…
 Học sinh học toán-một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi học sinh phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
 Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi đã cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗi dạng bài. “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa” bằng phương pháp số học ở lớp 6 là một mảng kiến thức khó đối với học sinh.
 Trong thực tế, nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số, muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4; 8 hoặc chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta chỉ cần xét 1; 2; 3 chữ số tận cùng của số đó.
 Tìm chữ số tận cùng của những lũy thừa bậc thấp, đơn giản, học sinh dễ dàng biết được. Vấn đề đặt ra là đứng trước những lũy thừa bậc cao, dựa vào đâu học sinh định hướng được cách giải?
 Từ những lí do trên, khi giảng dạy số học 6, tôi đã phân dạng các bài tập và mạnh dạn chọn đề tài cho sáng kiến kinh nghiệm của mình “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa”. 
II- Yêu cầu, nhiệm vụ của đề tài
 Đề tài “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa” với mục đích giúp chúng ta-mỗi giáo viên có thêm một ý kiến tham khảo, đồng thời giúp cho học sinh cách phân tích đề bài, tìm dạng bài tập, có kĩ năng và phương pháp thành thạo khi giải các bài tập thuộc dạng đó, đồng thời nêu một số kinh nghiệm về việc giảng dạy các bài tập thuộc dạng toán “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa” nói riêng và phương pháp dạy số học 6 nói chung.
III- Phương pháp nghiên cứu
 Sử dụng một số phương pháp lí luận: phân tích, tổng hợp, so sánh,… kết hợp với việc trắc nghiệm dạy học thực tế.
IV- Đối tượng và địa bàn nghiên cứu
- Đối tượng: Học sinh lớp chuyên đề toán 6.
- Địa bàn: Trường trung học cơ sở chất lượng cao Dương Phúc Tư - Văn Lâm - Hưng Yên.
Phần II: Nội dung
A. Về lý thuyết
 Để giải được dạng bài tập “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa” yêu cầu học sinh phải nắm chắc những kiến thức lý thuyết cơ bản sau:
 1/ Tìm một chữ số tận cùng:
* Để tìm một chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta chú ý rằng:
- Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 0; 1; 5; 6.
- Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n (n≠0) thì được số có tận cùng bằng 6.
…2 = …6 ; …4 = …6 ; 8 = …6
- Các số có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n thì được số có tận cùng bằng 1.
…3 = …1 ; …7 = …1 ; …9 = …1
 (Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1).
- Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.
 2/ Tìm hai chữ số tận cùng:
* Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý đến những số đặc biệt:
- Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76.
- Các số 3 (hoặc 81); 7; 51; 99 có tận cùng bằng 01.
- Các số 2; 6; 18; 24; 68; 74 có tận cùng bằng 76.
- Số 26 (n>1) có tận cùng bằng 76.
 3/ Tìm ba chữ số tận cùng trở lên:
* Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một lũy thừa, ta cần chú ý rằng:
- Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 001; 376; 625.
- Các số có tận cùng bằng 0625 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625.
B. Về bài tập
 1/ Phân tích đề bài:
 Học sinh đọc đúng, chính xác đề bài, từ đó xác định rõ yêu cầu cho, tìm của bài toán, xét xem bài toán thuộc dạng nào, phân tích yêu cầu cần tìm của bài toán, từ đó định hướng được cách giải bài tập đó.
 2/ Trình bày lời giải bài toán:
 Học sinh biết trình bày mạch lạc, rõ ràng từng yêu cầu của bài toán. Muốn vậy, học sinh phải nắm chắc lý thuyết cơ bản nói trên, biết kết hợp nhuần nhuyễn giữa lý thuyết áp dụng vào giải bài tập; phải có khả năng phân tích rồi tổng hợp kiến thức, sắp xếp lời giải theo trình tự khoa học, lô-gíc.
 3/ Sáng kiến kinh nghiệm cụ thể:
I- Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm một chữ số tận cùng
VD1: Tìm chữ số tận cùng của 187.
Giải:
 Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 khi nâng lên lũy thừa 4n thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 1.
Vậy: 187 = (187) = (…1) = (…1)
VD2: Chứng minh rằng 8 - 2 chia hết cho 10.
Giải:
 Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 khi nâng lên lũy thừa 4n (n≠0) thì được số có tận cùng bằng 6. Một số có tận cùng bằng 6 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 6. Do đó:
8 = (8). 8 = (…6). 64 = (…6). 64 = …4
 2 = (2). 2 = 16. 4 = (…6). 4 = 4 
Vậy: 8 - 2 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10. 
VD3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
74 ; 49 ; 87 ; 58 ; 23
Giải:
* Tóm tắt lý thuyết:
0 = 0; 5 = …5 1 = 1 6 = …6
…3 = …1 …2 = …6 …7 = …1
…4 = …6 …9 = …1 …8 = …6
 …4 = …4 …9 = …9 
* Vậy: 
74 = 74. 74 = (…6). (…6) = (…6)
49 = 49. 49 = (…1). (…9) = (…9)
hoặc 49 = (…9) vì (…9) = (…9)
87 = 87 = (…1)
58 = 58. 58 = 58. 58 = (…6). (…8) = (…8)
23 = 23. 23 = (…1). (…7) = (…7)
VD4: Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 10: 
A = 98.96. 94. 92 - 91. 93. 95. 97
Giải:
A = 98.96. 94. 92 - 91. 93. 95. 97
 = (…8). (…8) - (…3). (…5) = (…9) , 10
Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng
VD5: Tìm hai chữ số tận cùng của 7 
Giải:
 Ta thấy 7 = 2401, số có tận cùng bằng 01 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 01.
 Do đó: 7 = 7. 7 = (7). 343 = (…01). 343 = (…01). 343 = …43
 Vậy 7 có hai chữ số tận cùng là 43.
VD6: Tìm hai chữ số tận cùng của 2 
Giải: 
 Ta thấy 2 = 1024, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng tận cùng bằng 76.
 Do đó: 2 = (2) = 1024 = (1024) = (…76) = (…76)
 Vậy hai chữ số tận cùng của 2 là 76
VD7: Tìm hai chữ số tận cùng của: 51 ; 6 ; 14. 16 
Giải: 
 51 = (51). 51= (…01). 51 = (…01). 51 = (…51)
 6 = (6). 6 = (…76). 6 = (…76). 6 = (…56)
 14. 16 = (14. 16) = 224 = (224). 224 = (…76). 224 = (…76). 224 = (…24)
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
VD8: Tìm bốn chữ số tận cùng của 5 
Giải: 
5 = (5) = 625 = 0625 = (…0625)
Vậy bốn chữ số tận cùng của 5 là 0625.
VD9: Chứng minh rằng 26 chia hết cho 8.
Giải: 
 Ta thấy 26 = 11881376, số có tận cùng bằng 376 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) cũng có tận cùng bằng 376.
 Do đó: 26 = (26) = (…376) = (…376) 
 Mà 376 chia hết cho 8, một số có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 
 8 nên 26 chia hết cho 8.
II- Một vài kinh nghiệm rút ra về việc dạy chuyên đề “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa”
 ở chương trình số học 6 nói chung và chuyên đề Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa nói riêng, chúng ta phải dạy như thế nào để học sinh dễ hiểu, hiểu sâu, biết cách giải bài tập, đặc biệt có kĩ năng trình bày chặt chẽ, kĩ năng suy luận, phân tích điều kiện đã cho của đề bài để xét tất cả các khả năng có thể suy ra đối với bài toán đó. Có như vậy kết quả học tập của học sinh mới dần được nâng cao. Đặc biệt chất lượng học sinh giỏi mới tăng và gây được hứng thú học tập của học sinh.
 Muốn có phương pháp dạy môn số học tốt, giáo viên cần phải:
1/ Phân dạng bài tập.
2/ Hướng dẫn học sinh biết phân tích đề bài: điều kiện cho, yêu cầu tìm.
3/ Hướng dẫn học sinh cách tìm tòi cách giải bài toán (có khả năng quan sát, khả năng lập luận, khả năng suy luận tổng hợp các kiến thức lý thuyết cần thiết cho bài giải).
4/ Kĩ năng sắp xếp trình tự khi trình bày lời giải một cách khoa học, chặt chẽ, chính xác.
5/ Qua mỗi dạng bài, yêu cầu học sinh phải nêu rõ được các bước đã làm. Từ đó chốt vấn đề đối với từng dạng bài thì nên sử dụng phương pháp nào là hợp lí nhất. Qua đó các em tiếp thu kiến thức một cách sáng tạo, rèn kỹ năng tư duy, óc suy luận cho học sinh.
III- Kết quả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng đề tài “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa” đặc biệt năm học 2009 - 2010 này, tôi thấy mình dễ dàng hơn trong việc giảng dạy, hướng cho học sinh cách giải bài tập số học tốt hơn. Đồng thời các em hiểu rõ, hiểu sâu hơn khi gặp dạng bài về Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa và một số dạng bài tập khác nói chung trong chương trình số học 6.
 Qua việc khảo sát trình độ tiếp thu và ứng dụng kiến thức phần chuyên đề “ Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa” bằng bài kiểm tra 45’ đối với các em ở lớp chuyên đề Toán, tỉ lệ những bài làm tốt khá cao.
Loại giỏi
Loại khá
Loại trung bình
Loại yếu
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
9
60%
6
40%
0
0%
0
0%
IV- Tài liệu tham khảo
- Nâng cao và phát triển Toán 6- tập 1 (tác giả Vũ Hữu Bình)
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 6 (tác giả Bùi Văn Tuyên)
- Nâng cao và các chuyên đề Toán 6 (tác giả Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm)
- 500 bài toán cơ bản và nâng cao 6 (tác giả Nguyễn Đức Tấn, Tạ Toàn)
- Tuyển chọn 400 bài tập Toán 6 (tác giả Nguyễn Anh Dũng, Nguyễn Thị Bích Thu)
 Trên đây là một số ý kiến của tôi về cách tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa giải bằng phương pháp số học ở lớp 6. Vấn đề này sẽ được nghiên cứu đầy đủ hơn bằng cách dùng hằng đẳng thức học ở lớp 8.
 Rất mong được sự góp ý, bổ sung của các bạn đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Ngày 20 / 04 / 2010
 Người viết 
 Đào Thị Hân 
 Mục lục Trang
Phần I: Mở đầu 1
I- Lí do chọn đề tài 1
II- Yêu cầu, nhiệm vụ của đề tài 1
III- Phương pháp nghiên cứu 1
IV- Đối tượng và địa bàn nghiên cứu 1
Phần II: Nội dung 1
A, Về lý thuyết 1
 1/ Tìm một chữ số tận cùng 1