Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình hàm

ác điều kiện sau: 
Lời giải: 
. Đặt . Khi đó ta có và . Theo bài toán 1, ta có: . Vậy . Thử lại thấy thoả điều kiện (2.1) và (2.2)
Bài toán 3: Cho . Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau: 
Lời giải: 
Ta có . Khi đó logarit hoá hai vế (3.1), (3.2), ta có Đặt , ta có: Đặt , ta có: hàm thoả điều kiện bài toán 2 nên và . Vậy thoả điều kiện bài toán.
Bài toán 4: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau: 
Lời giải: 
Đặt . Khi đó ta có Thay vào (4.1’) và (4.2’) . Suy ra hay theo bài toán 1 thì . Thử lại thoả điều kiện bài toán.
Bài toán 5: Xác định các hàm số liên tục trên R thoả điều kiện sau: (5)
Lời giải: 
Từ (5) ta có (5’)
Thay vào (5’), ta có (5”)
Suy ra mà . Vậy (kết hợp với (5”). Thử lại thấy thoả điều kiện.
Bài toán 6: Xác định các hàm số liên tục trên R+ thoả điều kiện sau: (6)
Lời giải: 
Tương tự bài toán 5, ta có 
Thay vào (6’), ta có (6”)
Suy ra: mà . Kết hợp với (6”), ta có . Thử lại thấy thoả điều kiện bài toán.
Nhận xét: Điều khẳng định trên cho ta một kết luận tương ứng sau: 
Nếu có một bất đẳng thức cổ điển cho cặp số ; chẳng hạn như thì từ điều kiện ta có ngay hàm cần tìm là 
Từ đây ta có thể “sáng tác” ra những bài toán tương tự
Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu:
Lời giải: 
Sử dụng định lý Lagrange, ta có:
Bài toán 8: Giải bất phương trình 
Lời giải: 
Xét hàm số , ta có 
(7): 
Sử dụng định lý Lagrange, ta có:
Bài toán 9: Cho các số dương . Tìm các hàm số thoả mãn điều kiện 
Lời giải: 
Giả sử có các hàm số thoả điều kiện. Thay đổi vai trò của ta có:
 . Cộng vế (8) và (8’), ta có 
. Cố định , ta có 
Thay vào (8) và làm tương tự như trên, ta có: và 
. 
Thử lại thấy đúng.
Bài toán 10: Chứng minh: (9) 
Lời giải: 
Ta có , suy ra điều phải chứng minh
A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác.
Phép tịnh tiến sinh ra hàm tuần hoàn cộng tính, phép đồng dạng sinh ra hàm tuần hoàn nhân tính, phép phản xạ sinh ra hàm số chẵn, lẻ.
Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương A, B, C là 3 góc của một tam giác là A+B+C=
Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương a, b, c là 3 cạnh của một tam giác là a+b>c, b+c>a, c+a>b (hay /b-c/<a<b+c)
Bài toán 1: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Lời giải:
Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có .
Suy ra 
Hay tương đương . Ngược lại, với thì là độ dài các cạnh của một tam giác. Vậy với thì hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Bài toán 2: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Lời giải:
Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có .
Suy ra 
Hay . Vậy với thì hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Bài toán 3: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Lời giải:
Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có .
Suy ra 
Từ (3), ta có (Vì nếu , tuỳ ý thì ta chọn tam giác ABC có đủ lớn thì )
Tương tự (Vì nếu chọn tam giác ABC có đủ nhỏ thì )
Trường hợp không thoả.
Vậy thì hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Bài toán 4: Xác định số để hàm số có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Lời giải:
Giả sử . Phép nghịch đảo không có tính chất là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.( Phản ví dụ ; ta có )
Để là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có .
Suy ra 
Suy ra (bài toán 3)
+Trường hợp : không thoả.
+Trường hợp : không thoả ()
+Trường hợp : ; là độ dài các cạnh của một tam giác đều.
+ Trường hợp : ta có 
Ta cần xác định các số dương sao cho: 
Hay (4’)
Phản ví dụ: thế vào (4’), ta có: . Suy ra , điều này không xảy ra với đủ lớn.
Vậy với : ; là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC.
Bài toán 5: Xác định hàm số liên tục trong [0;], và có đạo hàm trong (0;) sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải:
Ta cần xác định hàm khả vi sao cho: 
 và 
Suy ra 
Hay 
Lấy đạo hàm theo biến 
Suy ra .
Vậy . Do nên 
Kết luận: hàm số liên tục trong [0;], và có đạo hàm trong (0;) sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Bài toán 6: Xác định hàm số liên tục trong [0;], 
 sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải:
Ta cần xác định hàm liên tục trong sao cho: (6)
(6’)
Đặt thì liên tục trong 
Ta có 
. Thế vào (6) và sử dụng (6”), ta có: 
Hay (6’”). Do liên tục trong , nên (6”’) là phương trình hàm Cauchy và . nên và để ta cần có 
Bài toán 7: Xác định hàm số liên tục trong [0;], sao cho tạo thành số đo các góc của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải:
*Ta thấy có hai hàm số hiển nhiên thoả điều kiện là 
*Ta xác định các hàm số liên tục trong [0;] và (7)
Cho , ta có: (7’)
Hay . Đặt thế vào (7) và sử dụng (7’), ta có: 
Hay (7”) là phương trình hàm Cauchy và . Ta cần xác định để 
Hay hay 
Hay (7”’). Cho , ta có: 
Kiểm tra các trường hợp:
+: (7’”) thoả
+: (7’”) thoả 
+: (7’”) thoả 
Vậy các hàm cần tìm có dạng: 
Bài toán 8: Xác định hàm số liên tục trong [0;], sao cho:
 tạo thành số đo các cạnh của một tam giác nội tiếp trong đường tròn đường kính bằng 1 ứng với mọi tam giác ABC cho trước.
Lời giải:
Ta có nhận xét sau: Xét đường tròn (O) có đường kính 2R=1. là tập hợp tất cả các tam giác nội tiếp trong đường tròn (O) nói trên. Khi đó điêu kiện cần và đủ để ba số dương là ba góc của một tam giác thuộc là tạo thành độ dài các cạnh của một tam giác thuộc (). Theo bài toán 7 thì .
*Nhận xét: nghiệm của phương trình vô định có thể mô tả dưới dạng . Ta suy ra các kết luận sau:
Bài toán 9: Chứng minh đều tồn tại một tam giác mà độ dài các cạnh là những số đều là các tam giác vuông.
Lời giải:
. 
Ta thấy . Từ đó suy ra là độ dài các cạnh của một tam giác vuông có canh huyền .
Bài toán 10: Chứng minh rằng đều tồn tại một tam giác mà độ dài các cạnh là những số và các tam giác đó có góc lớn nhất như nhau ( cho trước).
Lời giải:
Đặt . Ta có . Vậy là 3 cạnh của một tam giác. Cạnh lớn nhất của tám giác ứng với . Khi đó gọi là góc lớn nhất, 
A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác.
Một số hàm số không phải là hàm lồi nhưng có tính chất của hàm lồi được gọi là hàm “tựa lồi”, hàm số không phải là hàm lõm nhưng có tính chất của hàm lõm được gọi là hàm “tựa lõm” ,... (theo Thầy Nguyễn Văn Mậu)
Bài toán 1: Trong tam giác ABC, nếu A<B thì sinA<sinB (Chứng minh đơn giản: tương ứng với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Nhận xét:
Hàm số không đồng biến trong nhưng ta cũng có hệ thức kiểu “đồng biến” cho cặp góc của một tam giác.
Bài toán 2: Trong tam giác ABC, ta có .
Nhận xét:
Hàm số không là hàm lõm trong nhưng ta vẫn có hệ thức kiểu hàm lõm cho cặp góc của một tam giác.
Bài toán 3: Trong tam giác ABC, ta có:
3.1)
3.2)
3.3)
3.4)
Nhận xét:
Từ kết quả 3.2) ta nhận thấy rằng tính chất của hàm lõm không còn được sử dụng như một công cụ cơ bản để kiểm chứng tính đúng đắn của bất đẳng thức. Vậy vấn đề đặt ra là: Về tổng thể, ta có thể mô tả được hay không lớp các hàm tổng quát thoả mãn điều kiện với mọi tam giác ABC?
Bài toán 1: Cho hàm số . Chứng minh các điều kiện (1.1) và (1.2) sau đây là tương đương:
Lời giải:
+Giả sử: , ta có 
Từ (1.1) và (1.3), ta có:
 . Suy ra (1.2)
+Từ (1.2), giả sử , đặt ta được (1.1).
Bài toán 2: Xác định hàm số thoả mãn điều kiện: (2). 
Lời giải:
+(2) thoả với mọi cặp góc nhọn A,B tương đương với là một hàm đồng biến trong 
+Xét hàm số . Ta chứng minh thoả điều kiện bài toán. Thật vậy:
A, B nhọn thì (2) thoả
Xét 
+Ta chứng minh mọi hàm số thoả điều kiện bài toán đều có dạng: . Thật vậy, từ với B tù, ta có thì 
Bài toán 3: Xét hàm số . Chứng minh với mọi tam giác ABC ta đều có 
Lời giải:
+Tam giác ABC nhọn (hay vuông) thì (3) có dạng quen thuộc 
+Tam giác ABC tù: thì (3) có dạng đúng 
Do 
A.6)Các đề thi học sinh giỏi.
I.Tính giá trị hàm số:
Bài toán 1: Cho hàm số , thoả:
. Tính 
Lời giải: Ta có 19=10+9
Suy ra 
Bài toán 2: (Dự tuyển IMO) Cho hàm số 
. Tìm các số 
Lời giải: Cho 
Bài toán 3: Cho hàm số xác định trên tập các số nguyên thoả:
. Tính 
Lời giải: 
+Ta chứng minh .
Ta có 
+ Suy ra: 
Bài toán 4: Cho hàm số xác định trên tập N* thoả:
. Tính 
Lời giải: 
Ta có 1789=4.445+9, 445=4.109+9, 109=4.25+9, 25=4.4+9
Ta tính các giá trị:
Bài toán 5: Cho hàm số xác định trên R thoả: 
(5). Tính 
Lời giải: 
+T/h , ta có 
 không thoả (5)
+T/h , ta có thoả (5). Suy ra: 
Bài toán 6: 
Đặt . Tính 
Lời giải: 
Chứng minh bằng quy nạp: 
Suy ra 
Bài toán 7: Cho hàm số xác định trên tập các số thực và thoả điều kiện: . Tính 
Lời giải: 
Vậy hàm số cộng tính trên R
Suy ra . Nếu thì 
Vậy: . Kết luận 
Bài toán 8: Cho hai hàm số thoả điều kiện: . Chứng minh 
Lời giải: 
Lấy 
Chứng minh bằng quy nạp: 
+
+
+Vậy ; tương tự 
Kết luận: 
Bài toán 9: (IMO) Cho hàm số thoả điều kiện: 
. Tính 
Lời giải: 
(1): 
 (C/m bằng quy nạp)
+Nếu thì ta có . Thật vậy, 
+
Vậy 
Mặt khác 
Do đó 
Bài toán 10: Cho hàm số liên tục trên R thoả điều kiện: 
. Tính 
Lời giải: 
Do hàm số liên tục trên R và nên tồn tại 
(1)
II.Ước lượng giá trị hàm số:
Bài toán 1: Cho hàm số , thoả:
1)Chứng minh phương trình có vô số nghiệm trên [0;1]
2)Tồn tại hay không hàm số xác định trên [0;1] thoả mãn điều kiện (1), (2) và không đồng nhất bằng 0?
Lời giải: 
1)
Dễ dàng chứng minh 
Vậy phương trình có vô số nghiệm trên [0;1]
2)Hàm số thoả mãn điều kiện bài toán
Bài toán 2: Cho hàm số , thoả:
Hãy tìm số các nghiệm của phương trình trên đoạn [-1000;1000]
Lời giải: 
Vì vậy với mọi đều là nghiệm của phương trình .
Trên [-1000;1000] số điểm dạng (không kể điểm bội) là 
Trên [-1000;1000] số điểm dạng (không kể điểm bội) là 
Vậy số các nghiệm của phương trình trên đoạn [-1000;1000] không ít hơn