Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tính thể tích khối đa diện

ụ đó.
 Bài giải
 Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=
 mặt khác A1A= A1B= A1C A1ABC là tứ diện đều 
 gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao
 Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=vàA1AG=600
 A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC=
Bài9 
 Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB=.Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A=,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể tích trụ.
 Bài giải
 Tam giác ABC có cạnh huyền AB=và cân nên CA=CB=1;
 SABC=1/2.CA.CA=1/2.
 . MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G.
 A1G chính là đường cao 
 Từ G hạ GH AC tại H
 Gt góc A1HG=600 
 Đặt AH=x(x>0) 
 Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
 HGA1 có A1G=HG.tan600=x.
 A1AG có A1A2=AG2+A1G2 3=2x2+3x2 hay x=
 Do đó A1G= vậy VLT=A1G.SABC=
Bài 10
Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= và AD=. Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1.
giải
 Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD
 Từ H hạ HMAD tại M và HNAB tại N
 Theo gt A1MH=600 và A1NH=450 
 Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M==
 tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
 Nên HN=AM mà AM==
 Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450 
 Suy ra x = hay x= vậy VHH=AB.AD.x= 3.
II ) TÍNH GIÁN TIẾP
 Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)
 Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với S thì đôi khi gặp bài toán kết hợp cả 
 Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác)
 Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC
 AH / / A1E nên SAH và SA1E đồng dạng 
 Khi đó VSABC=AH.SSBC=AH.SB.SC.sinBSC.
 VSABC = A1E.SSBC = A1E.SB1.SC1.sinBSC.
 Do vậy 
 Nên 
Bài 1 
Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và BSA=600, ASC=1200, CSB=900. Hãy tính thể tích chóp
Bài giải
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I 
Vây ta có lời giải sau
 Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,
 Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,
 Ta có (theo bài 6)
 Mà =
 Bài 2
 Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA.
giải
 Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC
 Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. 
 Mà VLT=A1H.SABC=
 nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp
 khối chóp CA1B1C1 có =VLT
 khối chóp B1ABC có =VLT
 Khối chóp A1B1CA do đó =VLT =
Bài 3 
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó
 Bài giải
 DDFH
K
A
D
B
C
B1
C1
D1
A1
I
E
F
J
 Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv)
 Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
 Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1
 Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”
 Theo TA-LET Và 
 V1= -2.=
 V2= Vhh-V1= do vậy 
III) BÀI TOÁN ÔN TẬP
 Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp 
Bài 1
 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.
hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C.
Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE.
Giải 
Cách 1 tính trực tiếp 
gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd=
Tương tự gọi K là trung điểm AB
 Cách 2 
 Nên 
cách 1 Tính trực tiếp 
 gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC
 Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=ACd và F=BC d 
 MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE 
Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE 
Ta có 
Mặt khác 
 Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích )
 Bài 2 cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a,SA=2a và SA
 ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a
 Bài giải 
 Cách 1 tính trực tiếp
 Ta có
 Nên cân tại A mà AI SC nên I là trung điểm SC 
 AI=SI=
 Mà cho nên 
 Trong tam giác vuông HAI có 
 Tương tự ta có
 AK=
 Cách 2 tính gián tiếp 
 Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH SB, AKSD
 Tương tự 
 Do đó VSAHIK=
 Bài 3 
 Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi 
 giải 
 nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y
 đặt (x,y)= và d(x,y)=d 
l
 Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv) 
 Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ
 VLT= d.SCDE=d.CD .CE.sin=d.b.a.sin
 mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm 
 Tứ diện BCDE có VBCDE=.d(B,CDE).SCDE=.VLT
 Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
 Do vậy VABCD=.VLT=.d.a.b.sin= hằng số 
Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau” 
 Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị
 Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó 
 Bài giải
 Gọi O Là tâm hcn ABCD 
 Ta có SG=.SO và K=A GSC và K là trung điểm SC
Tương tự 
 Do đó 
 Trong mpSBD 
Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên 
Đặt t=( ) thì 
 Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)= với 
Ta có
 Nên (loại)
 f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3
 do vậy VSAMKN =là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B
 VSAMKN =là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB
 IV) BÀI TẬP
 Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF. 
 Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC. Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC
 Bài 3
 Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết 
MpSBA vuông góc với mpSCA
Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC
 Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a. Góc giữa đường thẳng BB1và mpABC bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a
 Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mpA1BC bằng .hãy tính thể tích khối trụ đó 
 Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua A1A bằng 600. hãy tính thể tích khối trụ 
 Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,BC=2a. Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc . hãy tính thể tích khối lăng trụ.
 Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D. N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó 
 Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,
 Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
 Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy tính thể tích khối chóp.
 Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.AD
Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông là SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp 
 Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC vuông góc mpBCD. Tính VABCD.
 Bài 14 
Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM, BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó.
 Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên (A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a,AC=2a. tính VLT.
 Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần. tính thể tích từng phần.
 Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi 
mp qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC
mp qua MP và song song với AI
mp qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC
 bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD=, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min.
 baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN
Tính AM.CN theo a.
Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min.
 Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN.
CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó
Goi O là