Sáng kiến kinh nghiệm - Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

iện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y
Giải
4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2
Giải
 	x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)
IV. Phối hợp nhiều phương pháp
 Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử 
+ Dùng hằng đẳng thức
 Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz
	Giải
x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy 
 	Giải
 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy 
= 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)
= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]
= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
B. Các phương pháp đặc biệt
I . phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
 Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
Giải
 	Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)
	Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)
	Cách 3 : x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
	Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
	Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách thông dụng là :
 Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 
Giải
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Hoặc: =9x2-6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)
 *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q)
Như vậy trong tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trong thực hành ta làm như sau :
	- Tìm tích a.c
	- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
	- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử
	Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
	 	+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
	-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
	Từ đó ta phân tích
	9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử
	Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
	+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
	Từ đó ta phân tích
	x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)
*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai.
II . Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
	Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
	Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử
Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 
x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)	
 	Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử
Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2
64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
	 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
III . Phương pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
	Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử
	Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 
Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y
Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2)	= (x2 + x+6)( x2 + x -2)
 	=(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)
 	=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]
	 =(x2 + x+6)(x+2)(x-1)
*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích được nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
	Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử
 Giải 	Đặt (x2+ 3x + 1) = y 
Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y2 + y - 6 = y2 + 3y - 2y - 6
	 = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2)
 = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)
IV . Phương pháp tìm nghiệm của đa thức ( phương pháp hạ bậc đa thức )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x) chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức 
Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi
Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1
 Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân
Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c. 
 Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 ( 1; 2; 4). Kiểm tra thấy 1 là nghiện của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4)
	 = (x-1)(x+2)2
Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)
	 =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2
ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức chứa nhân tử x-1. Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x-3 thành nhân tử
Các ước của -3 là : 1 ; 3 mà 1; 3 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng với p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
Như vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là : 
 -1 ; - ; - 3 ; - 
 Kiểm tra thấy x= là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử 
x- hay 2x-1
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1
Ta có: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 
 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)
 V . Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử 
	Giải : 	Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
	(ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
	Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta được:
 	2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
	Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
	Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a=2 hoặc a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
 => b có thể là 1 hoặc 3
 Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên.
	 => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
	Vậy 	2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3).
VI . Phương pháp xét giá trị riêng
	Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử 
	Giải 
Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b. vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được : 
 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
	2 = -2k => k=-1
 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)	 
Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử 
Giải
 Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có. Nếu ta thay a bởi -b thì 
Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0. Vậy Q chia hết cho (a+b). vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k 
(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)
	Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 . ta có :
	(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)
	18 = 6 k => k=3
 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến như nhau trong đa thức thì ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng như trên.
C, Phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đathức thành nhân tử
I. Bài toán chứng minh sự chia hết
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x3 - x chia hết cho3 với mọi số nguyên x.
 Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)
 Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên . Do đó:
 P = (x+1). x .(x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3
 Vậy P 3 x Z.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên x.
	Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x 
	= x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4)
	=x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4)
	=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) 
	M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5
Vì M 2 và M 4 nên M 8 ( 8 là BCNN của 2và 4)
Vậy M 8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )
Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 
Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2