Sáng kiến kinh nghiệm Giải tích - Phần I: Đặt vấn đề - Nguyễn Hà Hưng

PT (4a) có một nghiệm bằng 1 nên PT (4) chỉ có một nghiệm
Nếu suy ra PT (4a) có ba nghiệm phân biệt khác 1 nên PT (4) có bốn nghiệm phân biệt
Lưu ý:
Việc biện luận số nghiệm của PT (4) trở thành biện luận số nghiệm khác 1 của PT (4a)
Khi biến đổi từ PT (4) có nhiều trường hợp ta không quy về PT tích được thì có thể chia cả hai vế cho biểu thức khác 0 để cô lập tham số và khảo sát hàm số phân thức
Bài 5. Chứng minh rằng hệ PT sau có nghiệm duy nhất:
Giải ĐK : 
 Hệ PT đã cho 
Từ (1); từ (2) 
Lấy (1) trừ (2) theo vế 
	 ( vì )
	 thế vào (1)
Suy ra (*) 
Ta thấy số nghiệm dương của PT (*) là số nghiệm của hệ PT đã cho
Xét hàm số với 
Bang biến thiên	
0 1/3 
0 - 0 +
0
Từ BBT suy ra đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm có hoành độ dương suy ra hệ PT đã cho có đúng một nghiệm
Nhận xét:
Khi giải hệ PT đố xứng loại hai có dạng như hệ PT (1) và (2) nói trên cách giải truyền thống là lấy các PT trừ cho nhau để tính một ẩn theo ẩn còn lại sau đó thế lại một trong hai PT đã cho
Hệ PT trên có lời giải rất ngắn gọn như vậy vì ta nhân xét được tính chất 
Sau khi biến đổi về PT (*) là PT bậc ba nên nếu không sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số thì việc tìm lời giải là vô cùng khó khăn
Bài 6. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm 
Giải Hệ đã cho 
 với ĐK 
Đặt 
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi BPT có nghiệm 
- Nếu 
 có ; hoặc ( loại )
- Nếu 
 có 
Vậy nên ta phải có 
 Tóm lại ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Việc tìm tham số để hệ BPT đã cho có nghiệm được quy về bài toán tìm tham số để một BPT có nghiệm trên một tập cho trước và đã được chuyển về bài toán tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số.
Bài 7. Cho hàm số 
 Hãy tìm tham số để 
Giải 
Giả sử suy ra
Thử lại: Khi là hàm số liên tục trên đoạn 
 và suy ra và 
 nên 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử chỉ có thể suy ra điều kiện của , có thể là một khoảng nào đó nhưng sẽ rúp ta dễ dàng tìm được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại.
Bài 8. Chứng minh rằng BPT : (8) thỏa mãn 
 khi và chỉ khi 
Giải 
- Nếu BPT (8) trở thành đúng
- Nếu BPT (8) 
Đặt thì . Ta được BPT: (8a)
Vậy (8) thỏa mãn khi và chỉ khi (8a) thỏa mãn 
Ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
 0 + 
Từ BBT 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Nhận xét:
 Việc biến đổi BPT (8) về BPT (8a) như trên là rất cần thiết để việc khảo sát hàm số trở thành đơn giản
Baì 9. Cho hãy tìm GTNN của biểu thức 
 A
Giải
Đặt (vì )
 mà 
Khi đó 
Suy ra A
Xét hàm số với hoặc 
 thỏa mãn hoặc 
Bảng biến thiên 
 -2 2 +
 +
Từ BBT đạt được khi 	
Nhận xét: 
a) Trong lời giải bài toán trên cần lưu ý:
Nhát thiết phải tìm ĐK chính xác cho ẩn phụ 
Trong BBT ta thấy 
b) Với ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số ta có thể giải quyết bài toán tìm tham số, tìm GTLN, GTNN của một biểu thức và những bài toán giải PT, BPT, hệ PT
Bài 10. Giải hệ PT 
Giải
Hệ PT đã cho 
Từ (1) 
Từ (2) và (3) tương tự suy ra 
Xét hàm số với 
Hệ PT trên trở thành 
Ta có suy ra hàm sốđồng biến 
 Nếu 
 mà suy ra 
 Các trường hợp còn lại ( chẳng hạn ) tương tự đều suy 
Từ thế vào một trong ba PT đã cho 
 Vậy hệ PT đã cho có mộ nghiệm 
Nhận xét: 
 Trong lời giải bài toán trên ta chỉ khai thác được tính đơn điệu của hàm số khi đã chứng tỏ được 
Bài 11. Tìm tham số để BPT , (11) thỏa mãn 
Giải 
BPT (11) (11a) . Đặt 
BPT (11) thỏa mãn khi và chỉ khi BPT (11a) thỏa mãn 
Ta có 
 ; 
Bảng biến thiên 
 0 + 0 
Từ BBT . Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Trong đề bài trên bậc của tham số bằng nhau nên ta có thể nhóm làm thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số
Bài 12. Tìm tham số để BPT (12) thỏa mãn 
Giải
Đặt 
Bài toán trở thành tìm tham số để 
- Nếu là vô lý suy ra bị loại
- Nếu ; 
Bảng biến thiên
 0 + 
0 
Từ BBT suy ra ; do đó 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Trong lời giải bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta được một hàm số bậc hai do đó không cần sử dụng đạo hàm ta vẫn lập được BBT của hàm số. Tuy nhiên tôi vẫn trình bày ở đây để tiện liên hệ với bài 11 trong trường hợp không cô lập được tham số
Bài 13. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT
 (13)
Giải 
 PT (13) 
Dễ thấy không thỏa mãn PT (13) . 
PT trên (13a)
Xét 
Ta thấy số nghiệm của PT (13) bằng số nghiệm của PT (13a) và là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng 
Ta có 
 ;	;
 ; 
Bảng biến thiên	
 -1 0 1 +
 + 0 - - 0 +
Từ BBT suy ra:
Nếu PT (13) có hai nghiệm phân biệt 
Nếu PT (13) có đúng một nghiệm
Nếu PT (13) vô nghiệm
Nhận xét: 
Mặc dù PT trên là PT bậc bốn đối xứng có thể giải theo cách chia cả hai vế cho sau đó đặt ẩn phụ để quy về PT bậc hai tuy nhiên cách giải đó khá phức tạp trong PT chứa tham số, đặc biệt là liên quan đến số nghiệm.
Với cách giải ứng dụng đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng hơn thế còn có thể so sánh nghiệm của PT đó với các số cho trước.
Bài tập tương tự 
1.Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất: 
2. Biện luận theo số nghiệm của PT so sánh các 
 nghiệm đó với các số -3 và -1
3. Tìm tham số để PT sau có ba nghiệm dương phân biệt:
4. Cho hàm số . Tìm tham số để 
5. Biện luận theo số nghiệm âm của PT: 
6. Tìm tham số để hệ PT sau có nhiều hơn hai nghiệm:
7. Giải hệ BPT 
 Hướng dẫn: Khảo sát hàm số trên khoảng là 
 tập nghiệm của BPT thứ nhất
8. Tìm tham số để hệ BPT sau có nghiệm: 
9. Giải hệ PT: 
 Hướng dẫn : Từ hệ PT suy ra là các số không âm 
 Xét hàm số trên nửa khoảng 
 PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Bài 1. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT (1)
Giải
 PT (1), (1a). 
 Xét hàm số trên 
 Số nghiệm của PT (1) bằng số nghiệm của PT (1a) và là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng 
 ; 
Bảng biến thiên	
 +
 + 0 
-1
1
Từ BBT suy ra: 
Nếu PT (1) vô nghiệm
Nếu PT (1) co một nghiệm
Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
Với kiến thức của học sinh lớp 10 có thể giải được bài toán trên theo cách bình phương hai vế nhưng rất phức tạp vì phải so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số cho trước
Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng
Bài toán trên còn có thể được phát biểu theo cách tìm miền giá trị của hàm số 
Bài 2. Tìm tham số để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt :
 , (2)
Giải
 PT (2) ( với ĐK )
	 ( với )
	, (2a) 
 Dễ thấy không thỏa mãn PT (2a) do đó
	PT (2a) , (2b) với và 
 PT (2) có hai nghiệm thực phân biệt PT (2b) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK và tức là đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt trên tập 
 Ta có 
 ; ; 
Bảng biến thiên	
 0 +
 + +
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Sau khi biến đổi PT (2) về PT (2a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với số nhưng sẽ khá phức tạp , trong khi đó nếu ứng dụng đạo hàm như trên ta có thể biện luận số nghiệm của PT đã cho
Bài 3. Chứng minh rằng PT sau luôn có hai nghiệm phân biệt:
 (3)
Giải
PT (3) , (3a) 
 với ĐK hoặc 
Từ PT (3a) mà do đó ta chỉ cần xét PT (3a) với ĐK 
PT (3a) 
	(3b)
 Xét hàm số với 
Bảng biến thi	
+
Từ BBT suy ra PT (3b) có đúng một nghiệm PT (3) có đúng hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
 Sau khi tìm được ĐK việc khảo sát hàm số ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số 
Bài 4. Biện luận theo tham số số nghiệm của PT:
 , (4)
Giải
 ĐK: , (*). 
Đặt với 
 PT (4) trở thành mà 
 Từ , (4a)
 Từ PT (4a) suy ra ĐK (*) được thỏa mãn
 (4a) , (4b)
Ta thấy số nghiệm của PT (4) bằng số nghiệm của PT (4b) 
 Xét hàm số trên tập 
 ; 
;
Bảng biến thiên
 1 +
 0 
Từ BBT suy ra:
Nếu PT (4) vô nghiệm
Nếu PT (4) có một nghiệm
Nếu PT (4) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
 Việc ứng dụng đạo hàm chỉ sử dụng sau khi đã biến đổi về PT (4b) và đương nhiên là phải khảo sát hàm số trong phạm vi PT đã cho xác định
Bài 5. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 , (5)
Giải 
ĐK : 
Đặt 
Để tìm ĐK của ta xét hàm số với 
Có 
và không xác định tại các điểm 
 vậy 
PT (5) trở thành , (5a) với 
PT (5) có nghiệm khi và chỉ khi PT (5a) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
 hàm số nghịch biến trên đoạn 
 và 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
Có thể thay bài toán trên bằng bài toán BPT hoặc bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số ở vế trái ta có phương pháp giải tương tự
Nếu đề yêu cầu giải PT (5) với là một số cụ thể thì việc tìm điều kiện của là không cần thiết, ta chỉ cần suy ra các điều kiện hiển nhiên vì sau khi tìm được ẩn phụ ta còn phải thay vào bước đặt để tìm ẩn chính .
Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm ĐK của là không thể bỏ qua và không được làm sai. Việc tìm ĐK của như trên thực chất là việc tìm tập giá trị của hàm số trên tập xác định của PT đã cho.
Bài 6. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 , (6)
Giải
 ĐK : 
 Đặt 
 Dễ thấy khi khi 
 Vậy 
 và 
 PT (6) trở thành với ĐK 
	 (6a) 
 PT (6) có nghiệm khi và chỉ khi PT (6a) có nghiệm 
 Xét hàm số với 
 suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 
 Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Lời giải của bài tập 6 và 5 có phương pháp như nhau nhưng việc tìm ĐK của ẩn phụ trong bài số 6 không dùng đạo hàm mà thực hiện một số phép biến đổi kéo theo nên cần phải thấy rõ tập gía trị của ẩn phụ trên TXĐ của PT (6)
Bài 7. Tìm tham số để PT sau có nghiệm:
 (7)
Giải
ĐK: , khi đó và PT (7) 
 Đặt 
Xét hàm số , với 
Có suy ra hàm số đồng biến 
 . Như vậy 
PT đã cho trở thành: , (7a) với ĐK 
PT (7) có nghiệm khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn 
 ; 
Bảng biến thiên	
 1
+ 0 
 0
 -1
Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là 
Nhận xét: 
 Trong lời giải trên việc tìm ĐK của và việc khảo sát hàm số không nhất thiết phải sử dụng đạo hàm nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lời giải tự nhiên và dễ dàng hơn.
Bài 8. Tìm tham số để BPT sau có nghiệm: 
 (8) 
Giải 
ĐK: . Đặt và 
BPT (8) trở thành với ĐK 
 , (8a) với ĐK 
 Xét hàm số 
Ta thấy BPT (8) có nghiệm BPT (8a) có nghiệm 
Bảng biến thiên
 +
 + 0 
Từ BBT suy ra 
Vậy ĐK phải tìm là 
Nhận xét:
 Với kiến thức của lớp