Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài các toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai

) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
TH2: Nếu bpt: không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó ta có: 
.
a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
b) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
 c) Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng 
*Ví dụ 2: Cho hàm số : y = (1) 
Tìm các giá trị của m để hàm số (1):
a) Nghịch biến trên khoảng .
b) Nghịch biến trên khoảng .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
y’ = f(x) = 
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
Kết luận: Với thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
Txđ : D = R
y’ = f(x) = 
Đặt t = x – 2 ta được :
y’ = g(t) =
a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
Kết luận: Với thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
Kết luận: Với thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
Kết luận: Với thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng 
*Nhận xét : Trong bài toán này ta đã dùng phương pháp đổi biến số để chuyển từ bài toán phải sử dụng kiến thức đã được giảm tải về bài toán quen thuộc chỉ sử dụng kiến thức về định lý Viet đã được học trong chương trình lớp 10.Với cách làm này sẽ tạo sự hứng thú đối với học sinh.
 *Bài toán 3: Cho hàm số : .
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: 
a)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng 
Txđ: 
TH1: Nếu: 
a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng 
b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng 
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng 
b)Hàm số (2) đồng biến trong khoảng 
TH2: Nếu bpt: không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó bpt: trở thành : , với:
 a)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng 
c) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng 
(III)
b)Hàm số(2) đồng biến trong khoảng 
*Nhận xét: Đây là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học với cách làm như trên có thể giúp các em giải quyết hầu hết các bài toán dạng này mà không cần sử dụng kiến thức lien quan đến đinh lý dảo về dấu của tam thức bậc hai đã được giảm tải
*Ví dụ 3: Cho hàm số: 
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến trên .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R
a)Hàm số (2) đồng biến trên 
Kết luận: Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
Txđ : D = R
Ta có: 
Đặt : 
a)Hàm số (2) đồng biến trên 
Ta có bảng biến thiên của hàm số: 
x
 -1
g’(x)
g(x)
 9
Kết luận: Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
b)Hàm số (2) đồng biến trên 
Ta có bảng biến thiên của hàm số: 
x
2 
g’(x)
 +
g(x)
 3 
Kết luận: Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
c)Hàm số (2) đồng biến trên 
Ta có bảng biến thiên của hàm số: 
x
 1 2
g’(x)
 +
g(x)
 3 
 1 
Kết luận: 
Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
b)Hàm số (2) đồng biến trên 
Kết luận: Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
c)Hàm số (2) đồng biến trên 
Kết luận: 
Vậy thì hàm số (2) đồng biến trên 
*Nhận xét: Qua bài toán này thêm một lần nữa giúp chúng ta thấy rõ đối với các bài toán có thể ứng dụng đạo hàm để giải thì lời giải của bài toán sẽ ngắn gọn và dễ dàng hơn rất nhiều.
*Bài toán 4: Cho hàm số : .
a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên .
b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên .
c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: 
a)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng 
Txđ: 
TH1: Nếu: 
a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng 
c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng 
TH2: Nếu bpt: không đưa được về dạng (i) thì ta đặt : t = x - 
Khi đó bpt: trở thành : , với:
 a)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng 
c) Hàm số (2) nghịch biến trong khoảng 
b)Hàm số(2) nghịch biến trong khoảng 
(III)
*Ví dụ 4: Cho hàm số: 
 a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên .
 b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến trên .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
a)Hàm số (2) nghịch biến trên 
Kết luận: Với thì hàm số (2) nghịch biến trên 
Txđ : D = R\{2m}
Đặt : t = x-1
Khi đó bpt: trở thành :
 a)Hàm số (2) nghịch biến trên 
Kết luận: Với thì hàm số (2) nghịch biến trên 
b)Hàm số (2) nghịch biến trên 
Kết luận: Với thì hàm số (2) nghịch biến trên 
b)Hàm số (2) nghịch biến trên 
Kết luận: Với thì hàm số (2) nghịch biến trên 
 *Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a0).
Tìm điều kiện để hàm số (1) :
a) Có cực trị trong .
b) Có cực trị trong .
c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
Txđ: D = R
dạng (i) thì ta đặt : t = x - khi đó :
.
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
 có nghiệm: t < 0
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
 có nghiệm: t > 0
c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : 
d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : 
e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
 có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : 
Nhận xét: Thoạt nhìn bài toán này thể hiện rõ phải dùng kiến thức về so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực . Nhưng với cách làm trên ta đã đưa về bài toán quen thuộc so sánh các nghiệm với số 0. Đây là bài toán tổng quát học sinh có thể dùng cách này để giải quyết được rất nhiều bài toán tương tự mà không cần sử dụng các kiến thức liên quan đến định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. 
*Ví dụ 5: Cho hàm số : y = (1).
Tìm điều kiện để hàm số (1): 
a) Có cực trị trong .
b) Có cực trị trong .
c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: D = R
y’ = f(x) =
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
Kết luận: Với thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng
Txđ: D = R
y’ = f(x) =
Đặt ta được : 
a)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
 có nghiệm: t < 0
Kết luận: Với thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
Kết luận:Với thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
b)Hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
 có nghiệm trong khoảng.
 có nghiệm: t > 0
Kết luận:Với thì hàm số(1) có cực trị trong khoảng 
c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
Kết luận: Với thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : 
Kết luận: Với thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
Kết luận: Không có giá trị nào của m thõa mãn yêu cầu của bài toán
d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : 
Kết luận: Không có giá trị nào của m thõa mãn yêu cầu của bài toán
e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
Kết luận: Với thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
 có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : 
Kết luận: Với thì hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
*Bài toán 6: Cho hàm số : .
Tìm điều kiện để hàm số (2): 
a.Có cực trị trong .
b.Có cực trị trong .
c.Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
d.Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ: 
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi :
phương trình có nghiệm trong khoảng(I) và .
(I)
Txđ: 
ta đặt : t = x - 
Khi đó : , với :
 a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi :
phương trình có nghiệm t < 0 (i)
và .
b)Hàm số(2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi :
phương trình có nghiệm trong khoảng (II) và .
b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi :
phương trình có nghiệm t > 0 (ii)
và .
c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
khi và chỉ khi :
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : 
 (III) và .
(III) 
c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : khi và chỉ khi :
phương trình có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : (iii)
và .
(iii) 
d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 
khi và chỉ khi :
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : (IV) và .
 (IV)
d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : khi và chỉ khi :
phương trình có hai nghiệm t1,t2 
thõa mãn : (iv)
và .
 (iv)
*Ví dụ 6: Cho hàm số: 
Tìm điều kiện để hàm số (2) :
a) Có cực trị trong .
b) Có cực trị trong .
c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : .
Lời giải thường gặp
Lời giải đề nghị
Txđ : D = R\{2m}
a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi :
phương trình có nghiệm trong khoảng (I) và (I’)
(I)
(I’) 
Kết luận: Với thì hàm số (2) có cực trị trong khoảng 
Txđ : D = R\{2m}
Đặt : t = x-1
Khi đó: với:
 a)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi phương trình : có nghiệm t < 0 (i)
và (i’).
(i’) 
Kết luận: Với thì hàm số (2)
có cực trị trong khoảng 
b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi :
phương trình có nghiệm trong khoảng (I) và (I’)
(I)
(I’) 
Kết luận: Với thì hàm số (2) có cực trị trong khoảng 
b)Hàm số (2) có cực trị trong khoảng khi và chỉ khi phương trình : có nghiệm t > 0 (i)
và (i’).
(i’) 
Kết luận: Với thì hàm số (2) có cực trị trong khoảng 
c)Hàm số(2) có ha