Sáng kiến kinh nghiệm Dạy giải bài tập về VÉC TƠ trong hình học lớp 10 nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

. sao cho++.....+. Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho:
	 (1). 
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2,.......An} ứng với các hệ số {,,.....} (n ≥ 2).
Từ (1), với điểm M tùy ý ta có:
Công thức này thường xuyên được sử dụng trong những bài toán có liên quan tới tâm tỉ cự. Ta gọi nó là công thức thu gọn.
Với n = 3 và ==, ta thấy đây là tính chất trọng tâm của tam giác được trình bày dưới đây.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC và 3 số không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
a. Nếu thì tồn tại duy nhất điểm I sao cho .
b. Nếu thì không tồn tại điểm M sao cho .
C-Tính chất trung điểm.
Bài toán 5: M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 
Hoặc với điểm M bất kỳ ta có .
	D-Tính chất trọng tâm tam giác.
	Bài toán 6: Cho tam giác ABC. CMR điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi hoặc với điểm M bất kỳ ta có .
	E-Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
	Bài toán 7: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi thoả mãn một trong các điều kiện sau:
	1. Tồn tại một số k khác 0 sao cho 
	2. Cho một điểm I và một số t nào đó sao cho là điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng.
 F-Công thức điểm chia.
	Bài toán 8: Cho đoạn thẳng AB, số thực k khác 0 và 1. Ta nói điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nếu . CMR với điểm C bất kỳ ta có:
	 (*). Ta gọi (*) là công thức điểm chia
G-Công thức hình chiếu.
	Cho hai véc tơ . Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA khi đó: . 
	Véc tơ gọi là hình chiếu của trên đường thẳng OA; Công thức gọi là công thức hình chiếu.
	4.3. Hệ thống bài tập.
	Trong thực tế giảng dạy và học tập, không phải lúc nào giải bài tập cũng làm theo 4 bước như trên, không phải lúc nào cũng phân tích các véc tơ theo hai véc tơ cơ sở cho trước, mà có thể giải quyết bài toán một cách linh hoạt.
	Việc rèn luyện cho học sinh thông qua một hệ thống bài tập đã được phân loại sẽ đem lại hiệu quả cao trong dạy học.
	 Việc đưa ra hệ thống bài tập đã được phân loại nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm giải toán và rèn luyện các kỹ năng:
 - Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véc tơ.
	- Phân tích một véc tơ thành một tổ hợp véc tơ.
	- Kỹ năng biết cách ghép một số véc tơ trong một tổ hợp véc tơ.
	- Biết khái quát hoá một số những kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát hơn.
	Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT vào giải các bài tập hình học.
	* Giáo viên có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tình huống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hoá, dùng để bồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm... góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh (chủ yếu là bồi dưỡng học sinh khá giỏi).
	Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
	Đối với dạng toán trên ta có thể dùng điều kiện cùng phương của hai véc tơ để giải toán.
	Véc tơ cùng phương với véc tơ khi và chỉ khi có số k sao cho .
	* Từ đó ứng dụng vào dạng toán:
	Cho 3 điểm A, B, C thoả mãn một điều kiện xác định. Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng.
	Phương pháp:
	- Hãy xác định véc tơ 
	- Chỉ ra rằng hai véc tơ đó cùng phương, nghĩa là hãy chỉ ra số thực k sao cho .
	Ví dụ: (Bài 19-tr8-SBT HH10 nâng cao)
	Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1).
	Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi mnp = 1 (Định lý Mênêlauýt).
	Hướng dẫn giải: (Theo quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT)
	Bước 1: GV chọn véc tơ cơ sở.
	HS: Chọn hai véc tơ làm hai véc tơ cơ sở. Mọi véc tơ xuất hiện trong bài toán đều phân tích được theo hai véc tơ này. 
	Bước 2: 
	GV: Các điểm M, N, P lần lượt chia các
	đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỷ số
	lần lượt là m, n, p (đều khác 1) tương
	đương với các đẳng thức véc tơ nào?
	HS: .
	GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véc tơ nào phải xảy ra?
	HS:	- Chỉ ra số thực k sao cho hoặc
	- Với điểm O bất kỳ và một số thực ta có .
	Bước 3: Lấy điểm O nào đó, ta có
	Để đơn giản tính toán, ta chọn điểm O trùng với điểm C khi đó ta có:
 (1)
Từ hai đẳng thức cuối của (1) ta có:
 Và thay vào đẳng thức đầu của (1) ta được:
	Từ Bài toán 9: Điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P thẳng hàng là:
	Bước 4: Vậy cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p thì M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: mnp =1.
	Lưu ý: Học sinh có thể vận dụng cách chứng minh bài toán trên vào giải các bài toán sau:
	1/ Bài 38-tr11-SBT- HH10-nâng cao.
	Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn trên ngoại tiếp O. Chứng minh rằng:
	a/ 
	b/ 
	2/ Bài 39 - tr11 - SBT - HH10 - nâng cao.
	Cho 3 dây cung song song AA1, BB1, CC1 của hình tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của 3 tam giác ABC1, BCA1 và ACB1 nằm trên một đường thẳng.
	3/ Bài toán: Cho tam giác ABC đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC tại D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh 3 điểm M, N, I thẳng hàng.
Chứng minh trên có sử dụng kết quả bài tập sau: 
4/Bài 37b - tr11- SBT HH10 - nâng cao
Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: .
 * Hệ thống bài tập
Bài 1: Bài 26 - SBT HH10 - nâng cao
Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điêm A, B cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số sao cho: . Với điều kiện nào của thì M thuộc đoạn thẳng AB.
Bài 2: Trên các cạnh của tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: . Hãy biểu thị qua và , từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N là các điểm xác định bởi hệ thức: . Chứng minh A, I, D thẳng hàng.
Bài 4: Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao
Cho tam giác ABC và các điểm A1, B1, C1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi A2, B2, C2 lần lượt là các điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) Nếu 3 điểm A1, B1, C1 thẳng hàng thì 3 điểm A2, B2, C2 cũng thế.
b) Trọng tâm của 3 tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O. M bất kỳ ở trong tam giác ABC và có hình chiếu xuống 3 cạnh BC, CA, AB tương ứng là P, Q, R. Gọi K là trọng tâm tam giác PQR.
a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng.
b) Cho N là một điểm tùy ý trên BC. Hạ NE, NF tương ứng vuông góc với AC, AC. Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J là trung điểm của EF.
Bài 6: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Qua điểm M tùy ý trên mặt phẳng tam giác ABC dựng các đường thẳng song song với GA, GB, GC, chúng tương ứng cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh M, G, G1 thẳng hàng, với G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1. Có nhận xét gì về điểm G1 ?
Bài 7: Bài 28-tr24-SGK HH10-nâng cao
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
a) Có một điểm G duy nhất sao cho . Điểm G như thế gọi là trọng tâm của 4 điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G là trọng tâm của tứ giác ABCD.
b) Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác.
c) Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm M, N thay đổi trên các cạnh AB, CD sao cho . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC, BD, I là trung điểm của MN. Chứng minh 3 điểm P, I, Q thẳng hàng.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng I, E, F thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Vận dụng các kiến thức và PPVT để giải quyết các bài toán về quan hệ vuông góc sẽ cho lời giải khá rõ ràng, ngắn gọn.
Thông thường với dạng toán trên, ta có thể quy về bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc, hay từ định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ ta có thể suy ra: Nếu là hai véc tơ khác với nằm trên đường thẳng a, nằm trên đường thẳng b thì .
Vậy bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc có thể quy về bài toán chứng minh tích vô hướng của hai véc tơ bằng 0.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A; M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung điểm của MH. Chứng minh rằng AE ^ BH.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Trước hết học sinh phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể: Đây là dạng toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho.
- Bài toán cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân tại A, H là hình chiếu của M trên AC, E là trung điểm của MH).
- Bài toán hỏi gì? (Chứng minh AE ^ BH).
- Tìm mối liên hệ giữa cái phải tìm với cái đã cho.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Để chứng minh AE ^ BH, ta phải chứng minh những gì ? (phải chứng minh đẳng thức véc tơ )
Để sử dụng giả thiết AM ^ BC (Hay )
và MH ^ AC (Hay ) ta phải phân tích
véc tơ theo những véc tơ nào?
Khi đó 
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
 = 
	 = 
	 = 
Bước 4: 	- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. 
	- Kiểm tra lại các bước giải của bài toán. 
* Hệ thống bài tập
Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10-nâng cao)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là .
Bài 2: Bài 11-tr40-SGK-HH10-nâng cao
Tam giác MNP có MN=4, MP=8, . Lấy điểm E trên tia MP và đặt . Tìm k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và H là điểm nằm trên đường thẳng BC. Chứng minh rằng là điều kiện cần và đủ để AH ^ BC.
Bài 4: Các đường AM, BE, CF là trung tuyến của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng là điều kiện cần và đủ để 
b) Chứng minh rằng là điều kiện cần và đủ để BE ^ CF
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, trên các cạnh AB, BC, CA ta lần lượt lấy các điểm M, N, E sao cho Chứng minh rằng: AN ^ ME
Bài 6: Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm M, N thoả mãn: ; gọi I là giao điểm của AM và CN. Chứng minh rằng góc 
Bài 7: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng