Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh Bất đẳng thức

nh "m,n,p,q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1)
 Giải:
 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
	phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Lưu ý:
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
 Chú ý các hằng đẳng thức sau:
 Ví dụ 1:
 Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
 a) 
 b)
 c)
 Giải:
 a) 
 (bất đẳng thức này luôn đúng)
 Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
 b) 
 Bất đẳng thức cuối đúng.
 Vậy 
 Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
 c) 
 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
 Chứng minh rằng: 
 Giải: 
 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh 
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y 
Chứng minh 
Giải:
 vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
 x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
 1)CM: P(x,y)= 
 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 
 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
 (đề thi Lam Sơn 96-97)
 Giải: 
 Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
 1) Các bất đẳng thức phụ:
 a) 
 b) dấu( = ) khi x = y = 0
 c) 
 d)
 2)Bất đẳng thức Cô sy: Với 
 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
 Nếu 
 Nếu 
Dấu bằng xảy ra khi
b/ các ví dụ
 ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải:
 Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Tacó ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001)
 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 
 3)Cho a>0 , b>0, c>0 
 CMR: 
 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y	 
ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng
 Giải: 
 Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc 
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
 ví dụ 4: 
 Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Giải:
Ta có 
Do abcd =1 nên cd = (dùng )
 Ta có (1)	 Mặt khác: 
 =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
 =
 Vậy
 ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 tacó ac+bd
 mà 
 ví dụ 6: Chứng minh rằng 
	Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 
 3
 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu
Lưu ý: A>B và b>c thì A>c
 0< x <1 thì x<x
ví dụ 1: 
 Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
 Chứng minh rằng ab >ad+bc
 Giải:
 Tacó 
 (a-c)(b-d) > cd
 ab-ad-bc+cd >cd
 ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
 Cho a,b,c>0 thỏa mãn 
 Chứng minh 
 Giải: 
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 
 ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
 ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 
ví dụ 3
 Cho 0 1-a-b-c-d	
 Giải:
 Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
 Do a>0 , b>0 nên ab>0
 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
 Do c 0 ta có 
 (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
	=1-a-b-c-d+ad+bd+cd
 (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
	(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng
 Giải : 
 Do a < 1 và 
 Ta có 1-b-+b > 0
 1+ > + b mà 0 , > 
Từ (1) và (2) 1+> +
 Vậy + < 1+
 Tương tự +
 +Ê 
 Cộng các bất đẳng thức ta có :
 b)Chứng minh rằng : Nếu thì ỗac+bd ờ=1998
 (Chuyên Anh –98 – 99)
 Giải:
Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = ac + b-=
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
 rỏ ràng (ac+bd)2 
 2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1
 c hứng minh rằng : a+ ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )
 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?)
Chứng minh rằng: (.
Phương pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
 1) Cho a, b ,c là các số dương thì
 a – Nếu thì 
 b – Nếu thì 
 2)Nếu b,d >0 thì từ 
`
 ví dụ 1 :
 Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 
 Giải :
 Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
 (1)
 Mặt khác : (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
	 < < (3)
 Tương tự ta có 
 	 (4)
 (5)
 (6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có 
 điều phải chứng minh
ví dụ 2 :
 Cho: 0 .Chứng minh rằng <
Giải: Từ < 
Vậy < điều phải chứng minh
ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ : 
 vì a+b = c+d 
a, Nếu :b thì 999
b, Nếu: b=998 thì a=1 =Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của =999+khi a=d=1; c=b=999
Phương pháp 6: Phương pháplàm trội
Lưu ý: 
 Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
 (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
 S = 
 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
 Khi đó :
 S = 
 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
 P = 
 Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
 = 
 Khi đó P = 
 Ví dụ 1 :
 Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 
 Giải: 
 Ta có với k = 1,2,3,,n-1
 Do đó:
 Ví dụ 2 :
 Chứng minh rằng:
 Với n là số nguyên
 Giải :
Ta có 
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
 1 > 2
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 Ví dụ 3 :
 Chứng minh rằng 
 Giải:
 Ta có 
 Cho k chạy từ 2 đến n ta có
 Vậy 
Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a 
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
 Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
 ị 
 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 
 a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > ờb-c ù ị > 0
 b > ờa-c ù	ị > 0
 c > ờa-b ù	ị 
 Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ2: (404 – 1001)
 1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
 Chứng minh rằng 
 2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
 Chứng minh rằng .
 Phương pháp 8: đổi biến số
Ví dụ1: 
 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng (1)
Giải :
Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =
ta có (1) 
 ( 
 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( ; nên ta có điều phải chứng minh
 Ví dụ2: 
 Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1
Chứng minh rằng 
 (1)
Giải:
Đặt x = ; y = ; z = 
 Ta có 
 (1) Với x+y+z 0
 Theo bất đẳng thức Côsi ta có
 3. 
	3. .
 Mà x+y+z < 1
 Vậy (đpcm)
Ví dụ3: 
 Cho x , y thỏa mãn CMR 
 Gợi ý:
Đặt , 2u-v =1 và S = x+y =v = 2u-1 thay vào tính S min
 Bài tập
 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR:
 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 
 CMR
 Phương pháp 9 dùng tam thức bậc hai
Lưu ý :
 Cho tam thức bậc hai 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu thì với hoặc ()
 với 
Ví dụ1:
 Chứng minh rằng 
 (1)
 Giải:
 Ta có (1) 
 Vậy với mọi x, y
Ví dụ2:
 Chứng minh rằng
Giải:
 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 Ta có 
 Vì a = vậy (đpcm)
 Phương pháp 10: dùng quy nạp toán học
Kiến thức:
 Để chứng minh bất đẳng thức đúng với ta thực hiện các bước sau :
 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 
 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
 4 – kết luận BĐT đúng với mọi 
Ví dụ1:
 Chứng minh rằng 
 (1)
 Giải :
 Với n =2 ta có (đúng)
 Vậy BĐT (1) đúng với n =2
 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
 BĐT (1) đúng với n = k+1
 Thật vậy khi n =k+1 thì
 (1) 
 Theo giả thiết quy nạp 
 k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng .Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh
Ví dụ2: Cho và a+b> 0
 Chứng minh rằng (1)
Giải
Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có 
 (1) 
 (2)
 Vế trái (2) 
 (3)
 Ta chứng minh (3)
 (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a 
 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b 
 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
Phương pháp 11: Chứng minh phản chứng
 Lưu ý:
 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G K”
 phép toán mệnh đề cho ta :
 Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó .
 Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
 A - Dùng mệnh đề phản đảo : 
 B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :
 C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng 
 D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
 E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
 Ví dụ 1:
 Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
 Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
 Giải :
 Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0
 Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0
 Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
 Vì a 0 b + c < 0
 a 0
 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
 Ví dụ 2:
 Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện 
 ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
 Giải :
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được
 (1)
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
 Từ (1) và (2) hay (vô lý)
 Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳ