Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tìm chữ số tận cùng

.
Ta viết: 
A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với rN; 0r9
Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk
- Nếu A = 100a + = thì là hai chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A = 1000a + = thì là ba chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A = 10m.am + = thì là m chữ số cuối cùng của A.
	2. Vận dụng nghị thức Newtơn:
(a + b)n = + +.	
	II. Bài tập áp dụng:
	Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 
	Giải: 
Xem số M = 9k; k N
- Nếu k chẵn k = 2m ta có:
	M	= 92m = 81m = (80 + 1)m
	=(10q + 1)m = 10 t + 1 (với m, q, t N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn.
- Nếu k lẻ k = 2m + 1 ta có:
	M 	= 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9
	= 10q + 9 (với m, t, q N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ.
Do đó: A = 9 có chữ số cuối cùng là 9.
	Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2
	Giải:
 B	= 2 = 2 81 = (25)16.2 = 3216.2
	= (30 + 2)16. 2 = 10q + 217
	= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 . 22
	= 10t + 25 = 10t + 2
Vậy B có chữ số cuối cùng là 2.
	Bài 3: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 2999
	Giải: 
Ta có : 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025 : 25 suy ra 210 – 1 25
Ta lại có 21000 – 1 = ( 220)50 – 1 220 – 1 suy ra 21000 - 125 
Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76 nhưng 21000 4
 suy ra 21000 tận cùng là 76 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999 4
 2999 tận cùng là 88
Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88.
	Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3999
	Giải
Ta có: 92m tận cùng là 1 ; 92m + 1 tận cùng là 9
Ta hãy tìm số dư của phép chia 95 + 1 cho 100
Ta có : 95 + 1 = 10( 94 – 93 + 92 – 9 +1 )
Số : 94 + 92 +1 tận cùng là 3
 93 + 9 tận cùng là 8
suy ra ( 94 – 93 + 92 – 9 +1) tận cùng là 5 94 – 93 + 92 – 9 +1 = 10q + 5
 95 + 1 =100q + 50 910 – 1 = ( 95 +1 )( 95 – 1 ) = 100t 
Ta lại có :31000 – 1 = 9500 – 1 = (910)50 – 1 suy ra 31000 – 1 100 
31000 tận cùng là 01 . Mặt khác 31000 3 
Suy ra chữ số hàng trăm của 31000 phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 )
 31000 chữ số tận cùng là 201
Do đó 3999 tận cùng là 67.
	Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 99 
	Giải
A = 99 = ( 10 – 1)9 có dạng: ( 10 – 1)n với n = 99 ta lại có
A = C . 10n - C.10n-1 + + C.10 - C 
 Suy ra A có hai chữ số cuối cùng
Với a = C.10 - C = 10n – 1 Số n = 99 tận cùng là 9 
Suy ra 10n tận cùng là 90 a = 10n – 1 tận cùng là 89
Vậy số A = 99 có hai chữ số cuối cùng là 89.
	Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B = 99
	Giải
B 	= 99= (10-1) với m = 99
	= 
	B có hai chữ số cuối cùng với số: 
B 	= 
Số m = 99 tận cùng là 9
Suy ra: Số b tận cùng là 89.
Vậy: Số B = 99 có 2 chữ số tận cùng là 89.
	Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
	I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa.
- an là một lũy thừa
Các trường hợp đặc biệt:
	1. Các số có dạng:
+ ()n tận cùng bằng 0.
+)n; ()n; ()n tận cùng lần lượt là 1; 5; 6.
+ ()4 ; ()n; ()n tận cùng bằng 1.
+ ()4; ()4; ()4 tận cùng bằng 6.
	2. Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận cùng 01
264, 65, 184, 242, 684, 742 có 2 chữ số tận cùng là 76.
125n, 25n, 52 tận cùng là 25.
	3. Các số có dạng: 
()n; ()n, ()n có 2 chữ số tận cùng lần lượt là: 01, 25, 76.
	II. Bài tập: 
	Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9
	Giải
Ta có: 92m tận cùng là 1
 92m+1 tận cùng là 9
Suy ra: 99 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)
Vậy A = 9 tận cùng là 9.
	Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 62002, D = 22001.
	Giải:
Ta có: 	61 tận cùng là 6
	62 tận cùng là 6
	63 tận cùng là 6
Vậy 6n tận cùng là 6 suy ra 62002 tận cùng là 6
Ta có 24 = 16 tận cùng là 6
Suy ra 22002 = (24)500.22 = ().4 = với a,k N 22002 tận cùng là 4
	Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 71999; G = 18177
	Giải
	*Ta có 74 = 2401 tận cùng là 1
M = 71999 = (74) = ().343
	 = tận cùng là 3
Vậy M = 71999 tận cùng là 3
	*Ta có 184= tận cùng là 6
Suy ra: G = 18177 = (184)44 . 181 = .18 = 
Vậy G = 18177 tận cùng là 8.
	Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2999, D = 3999
	Giải:
	* Ta có: 220 có 2 chữ số tận cùng là 76.
Suy ra: C = 2999 = (220)49 .219 = (). = (với y,n,q N)
Vậy C = 2999 có 2 chữ số tận cùng là 88
	* Ta có: 3D = 31000 = (320)50 = ()50 = .
Nên 3D tận cùng là 01 , mà 3.3999 3 Chữ số hàng trăm của 31000 là 2
31000 tận cùng là 201
Vậy 3999 có hai chữ số tận cùng là 67
	Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số
a, 	M = 78966
b,	N = 247561
c,	Q = 816251
	Giải
	a, Ta có 74 có hai chữ số tận cùng là 01
Suy ra M = 78966 = (74)2241.72 = ()2241.49 = .49 = 
(với a,c,n N)
Suy ra M = 78966 có hai chữ số tận cùng là 49
	b,Ta có 242 tận cùng là 76
Suy ra N = 247561 = (242)3765.24 = ()3765.24 = .24 = 
(với m,k,n N)
Vậy N = 247561 có hai chữ số tận cùng là 24.
	c, ta có 815 có hai chữ số tận cùng là 01
Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( )1250.81 = .81 = 
(với k, t, m N )
Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận cùng là 81.
	Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số
a, Z = 26854 b, C = 68194
	Giải
	a, Ta có 264 có hai chữ số tận cùng là 76
 Z = 26854 = (264)213.262 = ()213.676 = .676 = 
 ( Với n, k, c N )
Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận cùng là 76
	b, Ta có 684 có hai chữ số tận cùng là 76
Suy ra C = 68194 = (684)48.682 = ()48.4624 = .4624 = 
 ( Với n, k, t N )
Vậy C = 68194 có hai chữ số tận cùng là 24.
	Bài 7: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946
	Giải
Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125
Suy ra T = 5946 = (53)315 . 5 = ( )315.5 = .5 = 
 ( Với n, m, t N )
Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là 125.
	Bài 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 51994
	Giải
Ta có: 	54 = 0625 tận cùng là 0625
	55 tận cùng là 3125
	56 tận cùng là 5625
	57 tận cùng 8125
	58 tận cùng là 0625
	59 tận cùng là 3125
	510 tận cùng là 5625
	511 tận cùng là 8125
	512 tận cùng là 0625
	Chu kỳ lặp là 4
	Suy ra: 	54m tận cùng là 0625
	54m+1 tận cùng là 3125
	54m+2 tận cùng là 5625
	54m+3 tận cùng là 8125
	Mà 1994 có dạng 4m+2. Do đó M = 51994 có 4 chữ số tận cùng là 5625.
	Phương pháp 3: Dùng đồng dư
	I. Cơ sở lý thuyết:
	1. Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số dư ta nói a đồng dư với 6 theo mô đun m và viết a b (mod m).
	2. Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:
	a. a đồng dư với b theo mô đun m
	b. a – b chia hết cho m
	c. có một số nguyên t sao cho a = b+m.t
	3. Tính chất:
	1. a a (mod m)
	2. a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m)
	3. 	suy ra: 
Hệ quả: 	a+c b (mod m) (mod m)
	ab (mod m) (mod m)
	4. Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì 
	5. suy ra ka kb (mod m).
	6. d ƯC (a,b,m) thì: ab (mod m) suy ra (mod )
	7. Nếu ab (mod m1) và a b (mod m2) suy ra a b (mod m)
	m = BCNN (m1, m2)
	Hệ quả: (m1, m2, , mn) =1 và ng tố từng đôi
Suy ra: 	ab (mod m1), a b (mod m2)  a b (mod mn)
	a b (mod m1 . m2 . Mn).
	II. Bài tập
	1. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 và 21000
	Giải:
	Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số dư trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng dư với N theo mod 10
* Ta có: 62 = 36 6 mod 10 suy ra 6n 6 mod 10
Với N là số tự nhiên khác o
Suy ra: 6195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6195 là 6.
* Ta có: 21000 = 24 . 250 = (2n)250
Vì 2n 16 6 (mod 10)
Suy ra: (2n)250 16250 6250 6 (mod 10)
Do đó: 21000 6250 6 (mod 10)
Nghĩa là chữ số tận cùng của 21000 là 6.
Vậy ta vận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của số N với:
	Một chữ số tận cùng là N a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10
	Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng là b:b <100
	Ba chữ số tận cùng là N c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c <1000
	..
	m chữ số tận cùng là N K (mod 100) suy ra tận cùng là K:K <100
	Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 
	a. D = 2999
	b. G = 3999
	Giải:
	a. Ta có: 2999 = 21000 : 2
Ta có: 220 = 1048576 1 (mod 25)
Suy ra: 	(220)50 150 (mod 25)
	21000 1 (mod 25)
	21000 chia cho 25 dư 1
	21000 có hai chữ số tận cùng là 1; 26; 51; 76 nhưng 21000 4 suy ra hai chữ số tận cùng của nó là 88.
	b. Ta có: 34 19 (mod 100) suy ra 38 192 6 (mod 100)
310 61.9 49 (mod 100) suy ra 3100 492 1 (mod 100)
Suy ra: 31000 01 (mod 100)
Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01
Số 31000 3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2 (chia tiếp thì số 201 : 3 nếu số dư là 0,1 thì 001; 101 không chia hết cho 3)
Vậy 3999 = 31000 3 có hai chữ số tận cùng là 76.
	Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D = 99
	Giải
Ta có: 92 = 81 1 (mod 10) suy ra 98 (92)n 1 (mod 10)
Suy ra 99 1.9 9 (mod 10) suy ra 99 10k + 9 (k)
94 = 6561 61 (mod 100)
98 612 21 (mod 100)
9100 2k81 01 (mod 100)
910k 1 (mod 100)
Suy ra: 99 = 910k+9 = (910)k.99 1. 99 (mod 100)
Ta lại có: 	93 = 729 29 (mod 100)
	99 = 293 89 (mod 100)
Vậy 99 có hai chữ số cuối cùng là 89
	Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của số 19911997; 19971996
	Giải
a. Ta có: 1991 1 (mod 10) suy ra 19911997 1 (mod 10)
Vậy 19911997 có chữ số tận cùng là 1
b. Ta có: 1997 7 (mod 10) suy ra 19972 49 9 (mod 10)
suy ra 19974 1 (mod 10) suy ra (19974)409 1 (mod 10)
suy ra 19971996 1 (mod 10)
Vậy 19971996 có chữ số tận cùng là 1
	Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của 213
	Giải:
Ta có 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)
Có 23 8 (mod 1000); 213 192 (mod 100)
Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192.
Phần II: Các bài toán liên quan
	Có thể dùng bài toán tìm chữ số tận cùng để chứng minh chia hết, nhận xét số có phải là số chính phương hay không, tìm số dư trong phép chia.
	Bài 1: Chứng minh rằng tồn tài n N / 3n tận cùng 000001
	Giải
Ta chứng minh tồn tại n N để 3n – 1 106 
Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33; ; 310 (*)
Chia các số hạng của dãy (*) cho 106 số dư các phép chia là 1; 2; 3; ; 99999 có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số cùng số dư cho 106
Gọi 2 số đó là 3i và 3j với i, j N, 1 i < j 106
suy ra: 	3j – 3i 106
	3i(3j-i – 1) 106 mà (3i,10) =1
	(3i: 106) = 1 3j-i – 1 106
Vậy tồn tại n N cho 3n tận cùng bằng 000001.
	Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại m N / 3m tận cùng với 001
	Giải
Chứng minh tương tự bài 1
	Bài 3: Chứng minh rằng n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau
	Giải
Để chứng minh n5 và n có cùng chữ số tận cùng là đi chứng minh n5 – n 10
Ta