Phương trình và bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 BÀI TẬP :MÔN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 
 NHỮNG NỘI DUNG CỤ THỂ MÔN TOÁN
 PHẦN:PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Nhóm sinh viên thực hiện:
1.Nguyễn Thu Trang (K58D)
2.Nguyễn Thị Xuân (K58D)
3.Vũ Thị Vụ (K58D)
4.Lê Thị Vân (K58D)
I/TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
 Để giải phương trình và bất phương trình có chứa dấu GTTĐ thì phương pháp giải chung là phải phá dấu GTTĐ.
Ta có thể khử dấu GTTĐ bằng cách xét dấu biểu thức bên trong dấu GTTĐ,như vậy ta chia miền xác định của phương trình thành nhiều khoảng nhỏ,trên mỗi khoảng ta giải phương trình không chứa dấu GTTĐ.
Khi giải và biện luận phương trình ta cần giải quyết 3 vấn đề sau:
 -Điều kiện có nghiệm của phương trình là gì?
 -Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
 -Nghiệm số bằng bao nhiêu?
II.Hai bất đẳng thức quan trọng có chứa dấu GTTĐ.
Chứng minh:
III/CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1.Phương trình và Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:phương pháp biến đổi tương đương
	 Một số ví dụ : 
	Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải
Vậy x=1; x= 0.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải
Vậy: x= 1; x= 3.
*Lời bình:
Chú ý khi chưa xác định được 2 vế cùng không âm thì phương trình trước không tương đương với phương trình sau,khi tìm được nghiệm phải có bước thử lại.
Ví dụ 3:
Giải phương trình:
Bình phương 2 vế:
Thay x=-2 vào phương trình đầu ta thấy thỏa mãn,vậy x=-2 là nghiệm.
Thay x= vào phương trình đầu ta thấy không thỏa mãn,vậy x= không là nghiệm.
Bình phương 2 vế: 
Thử 2 trường hợp đều là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4: Giải và biện luận |x2 – 2x +m|+x=0
	Giải
|x2 – 2x +m|+x=0
Biện luận
	+ 
	+ m> 0: Vô nghiệm
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau: 
	Giải
Vậy: 2< x< 5
	Vậy 
Ví dụ 6: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
Giải: Bất phương trình tương đương với:
· Trường hợp 1:.Vậy nghiệm hệ là
· Trường hợp 2:.Vậy nghiệm hệ là
· Trường hợp 3:.Vậy nghiệm hệ là
*Lời bình:
Phương pháp biến đổi tương đương này được sử dụng khá nhiều và ta phải chú ý đến điều kiện cuả nó ,chú ý phương trình nào là tương đương, phương trình nào là hệ quả .
2.Phương pháp đặt ẩn số phụ
Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức ngoài dấu GTTĐ biểu diễn qua biểu thức trong dấu GTTĐ.
Ví dụ 7: Giải phương trình: (|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
	Giải
(|x|+ 1)2 = 4|x|+ 9
	Đặt t= |x| với 
PT: (t+ 1)2 = 4t + 9
 Với t= 4 thì |x|= 4 
	Vậy x= 4; x= – 4 
Ví dụ 8 
Tìm m để phương trình: có nghiệm.
Giải:Đặt ta có t2-1=x2-2x nên pt (1) trở thành:t2-mt+m2-1=0 (2).
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm 
· Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0.
· Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm .
· Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm 
Đáp số:
Ví dụ 9: Cho phương trình :
a) Giải phương trình với m=0.
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành 
a) Với m = 0 ta có 
b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt..Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi phương trình t2 – t + m – 1 = 0 và t2 + t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân biệt. Nhưng phương trình t2 + t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0).
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.
3.PHƯƠNG PHÁP XÉT KHOẢNG:
Ví dụ 10:
Đây là phương trình 	
Giải:
+ Lập bảng xét dấu
 x
 -
 0
 1
 2
+
 0
 0 
4-2x
4-2x
4-2x
 0
2x-4
VT của(1)
. Từ đó ta có 3 trường hợp:
· Trường hợp 1: ta có:
. 
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
· Trường hợp 2: ta có 
. Ta thấy thỏa mãn.
· Trường hợp 3: x > 2 ta có 
. Ta thấy thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm.
 4.PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: 
 Phương pháp này thường sử dụng phương pháp này khi có tham số đứng độc lập.
Ví dụ11: 
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :.
Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số 
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm phân biệt của đường thẳng y=m, 
y=m là đường thẳng song song hoặc trùng với ox,cắt oy tại tọa độ =m.
Nếu phương trình có 1 nghiệm.
Nếu phương trình có 2 nghiệmO
Nếu 0<m<1 thì phương trình có 3 nghiệm.
5.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Ví dụ 12:
 Cho bất phương trình:
Tìm m sao cho (*) đúng với mọi xR.
Đặt 
đây là hàm bậc 2 ,có giá trị nhỏ nhất.Do đó:
 Ta tìm minf(x) và tìm m sao cho minf(x)>2.
Ta có:
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP VÀ ĐỀ THI TUYỂN SINH :
ĐỀ BÀI
1.Một số bài luyện tập
Bài1
Giải các pt,bpt sau:
Baì2:Giải và biện luận:
2.Một số bài thi tuyển sinh
Bài 1: Giải phương trình : 6-4x-x2=5sinyx.cosyx
(Đại học Giao thông Hà Nội – 1998)
Bài 2 : Giải và biện luận phương trình: x2+3x+2kx-1=0
(Đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội – 1994)
Bài 3: Giải phương trình :πsinx=cosx
( Đại học Tài chính kế toán Hà Nội – 1996)
Bài 4: Giải bất phương trình : x2-2x-3≥5.(x-3)
( Đại học văn hóa Hà Nội – 2000)
Bài 5 : Giải phương trình : 4x+2=x+1+4
(Đại học công đoàn – 1997)
Bài 6: Giải phương trình : sin4x-cos4x=sinx+cosx
(Đại học Nông nghiệp I – 1996)
Bài 7 : Giải phương trình : a+b1+a+b≤a+b1+a+b ∀a,b
(Đại học Nông nghiệp I – 1999)
Bài 8 : Giải phương trình : log1/3(1+cos2x+log32-log1/3sin2x<1
(Đại học Sư phạm I Hà Nội – 1991)
Bài 9 : Giải phương trình : 2-log2x>log2x
(Đại học Sư phạm I Hà Nội – 1992)
Bài 10 : Giải phương trình :x-5-x2+7x-9≥0
(Đại học Dân lập Thăng Long - 1998)
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 : Điều kiện : x≠0sinyx.cosyx≠0
 Ta có: VT=6-4x-x2=10-x+22≤10
	 VP=10sin2yx.10sin2yx≥10
	⇒VT=VP ⇔VT=VP=10⟺x=-2y=π2+kπ
Bài 3: Ta có : πsinx≥π0=1≥cosx
⇒πsinx=1=cosx⇔sinx=0cosx=1⇔x=k2π2x=lπ⇔x=k2π2l=k2π ∀k∈N,l∈Z
Nếu k≠0⇒π=lk2∈Q⇒Vô lí ⇒k=0⇒x=0
Bài 4: x2-2x-3≥5.(x-3)⇔x-3x+1≥5.(x-3)
Với x < 3 : bpt luôn đúng.
Với ≥3 : Bpt ⇔x-3x+1≥5.(x-3)⇔x≥4
Vậy nghiệm của bpt là : x<3x≥4
Bài 5: Xét : -2≤x<-1:
pt ⇔4x+2=3-x⇔16x+2=3-x2⇔x2-22x-23=0⇔x=-1 (loại)x=23 (loại)
Xét x≥-1 :
pt⇔4x+2=x+5⇔16x+2=x+52⇔x2-6x-7=0⇔x=-1x=7
Vậy bpt có 2 nghiệm x = - 1 và x = 7.
Bài 6: pt⇔sin2x-cos2x=sinx+cosx
 Ta có: VP≥sinx2+0≥sin2x-cos2x
 ⇒pt⇔sinx=sin2xcosx=0 ⇔x=π2+kπ
Bài 7: Bđt ⇔a+b+a+ba+b≤a+b+a+ba+b
 ⇔a+b≤a+b⇒đúng.
 Dấu “=” xảy ra khi : ab≥0
Bài 8: Ta thấy : 2cos2x.2sin2x=sin22x≤1⇒log32cos2x+log32sin2x≤0
 Bpt⇔log32cos2x+log32sin2x<1
. ⇔ log32sin2x-log32cos2x <1 ⇔log3<1
 ⇒-1<log3tan2x<1⇔13≤tan2x≤3
. ⇔x∈-π3+kπ;-π6+kπ∪π6+kπ;π3+kπ
Bài 9 : Điều kiện : log2x<2
TH1: -2≤log2x<0⟺14≤x<1
 ⟹Bpt⟺2+log2x>log2x
Mà 2+log2x≥0>log2x⟹Nghiệm của bpt làx∈14;1
TH2: 0≤log2x≤2⟺1≤x≤4 (*)
 ⟹Bpt⟺2-log2x>log2x⟺2-log2x>log22x⟺-2<log2x<1
Kết hợp với (*) ta được: 0≤log2x<1⟺1≤x<2 
Vậy bpt có nghiệm : x∈14;2