Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 
I. Định nghĩa và các tính chất cơ bản : 
 1. Định nghĩa: 
A nếu A 0
 nếu A < 0
A
A
≥⎧= ⎨−⎩
2. Tính chất : 
 2 20 , A A A≥ = 
Lưu ý: 2A A= 
II. Các định lý cơ bản : 
a) Định lý 1 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A = B ⇔ A2 = B2 
 b) Định lý 2 : Với A≥ 0 và B≥ 0 thì A > B ⇔ A2 > B2 
III. Các phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản & cách giải : 
 Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc 
 nâng lũy thừa. 
 * Dạng 1 : 22 BABA =⇔= , BABA ±=⇔= 
 * Dạng 2 : 
⎩⎨
⎧
=
≥⇔= 22
0
BA
B
BA , ⎩⎨
⎧
±=
≥⇔=
BA
B
BA
0
 , 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
=−
<
⎩⎨
⎧
=
≥
⇔=
BA
A
BA
A
BA
0
0
 * Dạng 4: 
2 2
B 0
A B
A B
>⎧< ⇔ ⎨ <⎩
 , 
B 0
A B
B A B
>⎧< ⇔ ⎨− < <⎩
, 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
<−
<
⎩⎨
⎧
<
≥
⇔<
BA
A
BA
A
BA
0
0
 * Dạng 5: 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
>
≥
<
⇔>
22
0
0
BA
B
B
BA , 
B 0
A B B 0
A B A B
 ⇔ ≥⎧⎢⎨⎢ ⎩⎣
IV. Các cách giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng : 
 * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) xxxx 22 22 +=−− 2) 3342 +=+− xxx 3) 2
1
42
2
=
+
+
x
x
Bài giải: 
1) Ta cĩ: 
2 2
2 2
2 2
2
x x 2 x 2x
x x 2 x 2x
x x 2 x 2x
22 xx 33 
1 172x x 2 0 x
4
⎡ − − = +⎢− − = + ⇔ ⎢ − − = − −⎢⎣
⎡⎡ = −⎢= −⎢ ⎢⎢⇔ ⇔ ⎢⎢ − ±⎢+ − =⎢ =⎢⎣ ⎢⎣
 Vậy tập nghiệm của pt(1) là 2 1 17S ;
3 4
⎧ ⎫⎪ ⎪− ±⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
2) Ta cĩ: 
22
2
2
2
x 3 0
x 4x 3 x 3x 4x 3 x 3
x 4x 3 x 3
x 3 x 3
x 0
x 0 x 5x 5x 0 
x 5
VNx 3x 6 0
⎧ + ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎡ − + = +− + = + ⇔ ⎨⎢⎪⎢⎪⎪ − + = − −⎢⎪⎣⎪⎩
⎧ ≥− ⎧ ≥−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ =⎡⎪⎪ ⎪⎪⎡ ⎢= ∨ =⎡− =⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎢⎢ =⎪ ⎪⎢ ⎢⎪ ⎪⎢ ⎣⎪ ⎪− + =⎢ ⎢⎪ ⎪⎣⎪⎩⎣⎪⎩
 Vậy tập nghiệm của pt(2) là { }S 0;5= 
3) Ta cĩ: 
2
2
2 2
2x 4 2 x 2 x 1
x 1
 x 4x 4 x 1
3 x
4
+ = ⇔ + = ++
⇔ + + = +
⇔ =−
 Vậy tập nghiệm của pt(3) là { }3S 4= − 
 * Phương pháp 2 : Sử dụng phương pháp chia khoảng 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : ( )x 1 2x 1 3− − = (1) 
Bài giải: 
Trường hợp 1: Với x 1≥ thì 
( ) ( )( )
2
x 1 2x 1 3 x 1 2x 1 3
 2x 3x 2 0
x 2
 1x (loai)
2
− − = ⇔ − − =
⇔ − − =
⎡ =⎢⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
Trường hợp 2: Với x 1< thì 
( ) ( )( )
2
x 1 2x 1 3 1 x 2x 1 3
 2x 3x 4 0 (VN)
− − = ⇔ − − =
⇔ − + = 
Vậy tập nghiệm của pt(1) là { }S 2= 
V. Các cách giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng : 
 * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 652 <− xx (1) 
 Bài giải: 
 Ta cĩ: 
2
2 2
2
x 5x 6 0 1 x 6 1 x 2
x 5x 6 6 x 5x 6
x 2 x 3 3 x 6x 5x 6 0
⎧ ⎧ ⎡− − ⎪ ⎪ ⎢⎩ ⎣⎪⎩
 Vậy tập nghiệm của bpt(1) là ( ) ( )S 1;2 3;6= − ∪ 
* Phương pháp 2 : Sử dụng phương pháp chia khoảng 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 2 2x 2x x 4 0− + − > (1) 
Bài giải: 
Bảng xét dấu: 
x −∞ 0 2 +∞
2x 2x− − 0 + 0 − 
Xét từng khoảng 
1) Với x 0 x 2 thì 
 2 2 2 2x 2x x 4 0 x 2x x 4 0 x 2− + − > ⇔ − + + − > ⇔ > 
 So với điều kiện đang xét ta suy ra nghiệm của bpt là x 2> 
2) Với 0 x 2≤ ≤ thì 
 2 2 2 2 2
x 1
x 2x x 4 0 x 2x x 4 0 x x 2 0
x 2
⎡ ⇔ − + − > ⇔ − − > ⇔ ⎢ >⎢⎣
 So với điều kiện đang xét ta suy ra khơng cĩ giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện 
. Vậy tập nghiệm của pt(1) là ( )S 2;= +∞ 
- 
CÁC BÀI TỐN RÈN LUYỆN 
Giải các phương trình sau: 
 1) x 2 2x 1 x 3− + − = + 
 Kết quả: x 3 x 0= ∨ = 
 2) ( )
2x 1 x 1 2
x x 2
− + + =− 
 Kết quả: x 5= 
 3) ( )( )4 x 2 4 x x 6+ = − + 
 Kết quả: 
x 2
x 1 33
⎡ =⎢⎢ = −⎢⎣
------------------------------------Hết---------------------------------