Phương trình Lượng giác - Lý thuyết và bài tập

 )1,3 sin cos 2sin 2 3 0x x x+ + + = 
( )( )2, 1 cos 1 sin 2
1 13,2 sin cos cot 0
cos sin
x x
x x tgx gx
x x
+ + =
+ + + + + + =
PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 
1. Dạng phương trình. 
2. Cách giải, điều kiện có nghiệm. 
3. Một số bài toán. 
( )
1,sin cos 4sin cos 1 0
2,sin 2 12 sin cos 12 0
x x x x
x x x
- + + =
- - + =
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
1. Trong giải phương trình lượng giác thì mục tiêu là đưa về phương trình lượng giác cơ bản, tức là ta 
không nên đặt nặng vấn đề tìm cho ra ẩn mà nên cố gắng tìm các hàm số lượng giác. 
2. Khi giải phương trình lượng giác ta thường có ba hướng: Dùng công thức lượng giác để biến đổi đưa 
về phương trình tích các biểu thức (£) hay đặt ẩn phụ là biểu thức (£), chuyển phương trình lượng 
giác sang phương trình đại số hoặc là dùng tính chất của bất đẳng thức. Biểu thức (£) là một vế của 
một trong sáu phương trình ta đã biết cách giải ở trên. 
3. Cần phải nhớ các loại phương trình đã biết cách giải. 
4. Một số chú ý: 
v Thật nhuyễn công thức lượng giác. 
v ( )2 2cos sin cosa x b x a b x a+ = + + . 
v ( )2sin cos 1 2sin cos .x x x x± = ± 
 ( ) 
v Phương trình đẳng cấp theo hai biểu thức nào đó. 
v Mọi hàm số lượng giác đều có thể biểu diễn theo 
2
xt tg= . 
BÀI TẬP: 
( )
2 2
3
1,2 cos 3cos 1 0;2,cos sin 1 0;3,2 cos2 4 cos 1
9 34,sin 2 3cos 1 2sin ;5,2sin 2 cos 2
2 2
6,3sin 4 cos 5;7,2 cos3 3 sin cos 0.
8,2 2 sin cos cos 3 cos2 ;9,3sin 3 3 cos9 1 4sin 3
10
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
p p
- + = + + = - =
ỉ ư ỉ ư+ - - = + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
+ = + + =
+ = + - = +
( )
( )
( )
( )
4 4
2
3 3
5,2 sin cos 2 3 sin cos cos2
2
cos 2sin cos11, 3
2 cos sin 1
12,cos2 3 sin 2 3 sin cos 4 0
13,3 sin cos 2sin 2 3 0
14,sin cos 4sin cos 1 0
15,sin 2 12 sin cos 12 0
16,sin cos 1;17, 1 cos 1 sin
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
+ + =
-
=
+ -
- - - + =
+ + + =
- + + =
- - + =
+ = + +( ) 2x =
3 3 3 3
3 3
1 118,2 sin cos cot 0
cos sin
19,sin cos 1;20,1 cos sin sin 2
21,sin cos sin 2 sin cos
22, sin cos 2sin 2 1
x x tgx gx
x x
x x x x x
x x x x x
x x x
+ + + + + + =
- = - + - =
+ = + +
- + =
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
3
2
2 2
23,3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0
24,4sin 3 3 sin 2 2 cos 4
125,sin sin 2 2 cos
2
26,2sin 3 3 sin cos 3 1 cos 1
27,sin 4sin cos 0
28, 1 sin 3 cos sin sin 3
29,1 3 2sin 2
30,2sin 3 sin 6 2
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
tgx x x x x
tgx x
x x
+ + - =
+ - =
+ - =
+ + + - = -
- + =
+ = - +
+ =
+ =
4 4 4 4
2
4 4
3 3
2 2 2
4 6
8 8 2
31,sin cos sin 2 cos 2
6 832,2 cos 1 3cos
5 5
33, 2 3
134,sin cos
4 4
35,sin 5cos 3cos
336,sin sin 2 sin 3
2
37,cos cos2 2sin 0
1738,sin cos cos 2
16
x x x x
x x
tg x tgx
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
p
+ = +
+ =
=
ỉ ư+ + =ç ÷
è ø
+ =
+ + =
- + =
+ =
( )
2 2 2
4 4
3 3
3 3
4 4
2
39,cos cos 2 cos 3 1
40,sin 2 cos 2 sin 2 cos2
41,sin sin 2 sin 3
42,1 sin 3 cos2 sin
143,sin cos cos sin
4
44,sin 3 sin cos3 cos 1
45,sin cos sin cos
3 2 2 cos sin 1 2sin
46, 1
1 sin 2
4
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
+ + =
+ =
+ =
+ = +
- =
+ =
- = +
- - -
=
-
( ) ( )
( )
2 2
2 21 cos 1 cos 1 sin7, sin
4 1 sin 2
x x xtg x x tg x
x
- + - +
- = +
- 
( )
( )
( )
4 4
3 3 3
2
48,cos 3 sin 3
cos 3 sin 1
49,4 sin cos 3 sin 4 2
50, sin cos sin cos 2
51,sin cos3 cos sin 3 sin 4
52,cos7 cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5
53, sin 2 3 cos2 5 cos 2
6
54, 2 sin cos cot
55,
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x tgx gx
p
+ = -
+ +
+ + =
+ + - =
+ =
- = -
ỉ ư+ - = -ç ÷
è ø
+ = +
( )
( )
32
3 3 3 3
4 4
1cos cos2 cos4 cos8
16
56,cos 2 2 sin cos 3sin 2 3 0
57,sin cos sin cot cos sin cos
sin cos 158, cot
sin 2 2
x x x x
x x x x
x x x gx xtgx x x
x x tgx gx
x
=
+ + - - =
+ + + = +
+
= + 
( )
( )( )
4 4
2 2
6 6
3 3 2
3 3 2
sin sin 2 sin 359, 3
cos cos2 cos3
3 sin cos 1160,3sin sin 2 2 cos
2 sin cos 1
61,4sin 3cos 3sin sin cos 0
62,cos 4sin 3cos sin sin 0
63,1 3sin 2 2
64, 1 1 sin 2 1
65,sin
x x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x
x x x x x
x tgx
tgx x tgx
x
+ +
=
+ +
+ -
+ + =
+ -
+ - - =
- - + =
+ =
- + = +
3
3
sin 2 sin 3 6 cos
66,sin 2 sin
4
x x x
x xp
+ =
ỉ ư+ =ç ÷
è ø
Nên biến đổi x theo 
4
x pỉ ư+ç ÷
è ø
 chứ không nên làm ngược lại. 
( )
3
2 2
67,sin 3 sin 2 sin
4 4
68, 1
4
69, sin 2sin 3 cos2 sin cos
70,cos3 sin 3 2 cos 0
x x x
tg x tgx
tgx x x x x x
x x x
p p
p
ỉ ư ỉ ư- = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ỉ ư- = -ç ÷
è ø
- = +
+ + =
71,cos sin 2 cos3
72,sin 2sin 2 3 sin3
x x x
x x x
- =
+ = +
Đối với phương trình có đk có nghiệm thì trước tiên ta nên kiểm tra đk có nghiệm trước. Cụ thể trong bài 
này ta đưa về phương trình cổ điển rồi ta cm phương trình vô nghiệm. 
( )2 3
73, 3 cot 1 3
74,cot 2 2 sin 2 3 2 cos
tgx gx
g x x x
+ = +
+ = +
C1: Đưa về phương trình hồi qui theo cosx. 
C2:Chia 2sin xcho hai vế,. 
75,sin 2 2x tgx+ = 
C1: Đặt t = tgx. 
C2: Lưu ý: ( )21 sin 2 cos sinx x x- = - và cos sin1
cos
x xtgx
x
-
- = . 
( ) ( )2 2 2
2
2
2
2
3
76,sin 2 cos2 2
cos sin: 1 sin 2 cos sin ; cos2 cos sin ;1
cos
1 177,sin
sinsin
8 1878,2 cos 9 cos 1
coscos
3 379,sin 2sin
4 2 4 2
3 3 3: 3 2 sin
4 2 4 2 4
x x tgx
x xHD x x x x x x tgx
x
x
xx
x x
xx
xx
xHD t x t
p p
p p pp
+ + =
-
- = - = - - =
+ = +
+ = - +
ỉ ư ỉ ư+ = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= + Þ + = - Þ +
2 2
2 2 2
2 2 2 2
sin3
2
180,cos cos 2
2
81,cos cos 2 cos 3 1
382,cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x t
x x
x x x
x x x x
ỉ ư =ç ÷
è ø
+ =
+ + =
+ + + = 
( ) ( )( )
( )
2 2
183,sin cos2 sin 2 cos3 sin 5
2
84,sin 1 cos 1 cos cos ; : cos 1 sin 1 sin
85,sin sin 2 sin 5 1
86,cos3 cos2 cos 1 0
x x x x x
x x x x HD x x x
x x x bdt
x x x
= -
+ = + + = - +
=
- + - =
( )( )
( )
2
2
4 4
2
87,8cos cos3
3
88, 1 cos cos2 cos 2sin
89,cos 3cos sin 2 8sin 1 0
90,sin 3 sin 2 sin
4 4
191,sin cos 3 cos6
2
92,cos9 2 cos6 2
93,cos 4 cos 3
394,sin 3 2sin
4 4
x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
p p
p p
+ =ç ÷
è ø
+ + = -
+ - - =
ỉ ư ỉ ư- = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
+ = -
- =
=
ỉ ư ỉ+ = +ç ÷
è ø
2 3 495,2 cos 1 3cos
5 5
96,cos5 sin 4 cos3 sin 2
x x
x x x x
ư
ç ÷
è ø
+ =
= 
97,sin sin 2 sin 3 cos cos2 cos3
98,sin 3 sin 5 sin 7 0
99, 2 3
100,sin 2 sin 5 cos
x x x x x x
x x x
tgx tg x tg x
x x x
+ + = + +
+ + =
+ =
= -
( ) ( )
4 4
2
3 3
102,2sin cos2 1 2 cos2 sin 0
3 cos6103,sin cos
4
104,2 cos 4 sin10 1
105, 1 1 sin 2 1
106, 2 sin3 cos
107, cot 2 2 cot 4
108,sin cos cos2
109,sin cos co
x x x x
xx x
x x
tgx x tgx
tgx tg x x x
tgx g x g x
x x x
x x
- + - =
-
+ =
+ =
- + = +
+ =
+ =
+ =
+ =
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2
8 8 10 10
10 8 10 8
2 8 2 8
8 8
s2
110,cos cos 2sin 2 0
111,2sin cot 2sin 2 1
5112,sin cos 2 sin cos cos2
4
52sin sin 2 cos cos cos2 0
4
52sin 1 sin 2 cos 1 cos cos2 0
4
5cos2 .sin cos2 .cos cos2
4
x
x x x
x gx x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + - =
+ = +
+ = + +
Û - + - + =
Û - + - + =
Û - + + =
2 2 3
3 3
4 4
0
113, cot 2sin
1114,sin cos
sin cos
115,sin sin 2 sin3
tg x g x y
x x
x x
x x x
+ =
+ =
+
( )
2 2 2
2
2
1116,sin sin 2 sin 3 sin 4
4
3117,cos cos cos
2
1118,sin sin 3 sin sin 3
4
2
2119, 4 5
1
2
3 2120,cos3 sin 2 2 cos 0
4
x x x x
x y x y
x x x x
xtg
y y
xtg
x x x
=
+ - + =
+ =
= - +
+
+ - =
( )
( )
2
2
2 3 3
5 7 3 5
3
3
2
121,
1 sin
122,3 2 4 3 3 2
123, 2 6 8cos
124, 1 sin cos 1 0
1125,cos sin cos sin sin 2 cos sin
2
1 cos3 1 cos126,
1 cos2 1 sin
3127,cos cos
4
sin 2128,
1 sin
tg x
x
tg x tg x tg xtg x
tg x tgx x
tg x x x
x x x x x x x
x x
x x
xx
x
x
=
-
- =
+ =
- + - =
+ + + = +
- -
=
+ -
=
+
+
( ) ( )
3 2
2 3
2 cos 0
129,sin3 cos 2sin 3 cos3 1 sin 2 cos3 0
130,sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin 6 0
1 2 sin cos131,
cos 1 sin
3 3 1132,cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x x xx x
=
- + + - =
+ + + + + =
- -
=
-
- =
( )
2
2
2
2
2 3133, 2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
134,cot cos sin
1 sin135,cot
1 cos
1 sin
136,cot
cos 1
1 cos
137,
1 sin
138, 25 4 3sin 2 8sin 0
1131,
cot
x x x x
gx tgx x x
xg x
x
x
g x
x
x
tg x
x
x x x
tgx g
p p p p
p p
ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư- - - = + - +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
- = +
+
=
+
-
=
-
-
=
+
- + =
+
( )
( )
2 cos sin
2 6 1
140,sin 4 cos4 1 4 sin cos
x x
x tgx
x x x x
-
=
-
- = + -
( )
2 3 4 2 3 4
3 3 5 5
2 2 2
141,sin sin 2 sin 3
2
142,2sin3 cos2 sin
143,sin 3 cos2 1 2sin cos
144,cos cos 4 cos2 cos3 0
145,sin sin sin sin cos cos cos cos
146,sin cos 2 sin cos
147,sin cos 2 cos 3
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x
+ + =
+ =
+ = +
+ =
+ + + = + + +
+ = +
= +
( )
( )
2
6 6 8 8
1 cos2148,1 cot 2
sin 2
1149,3sin 2 cos 3 1
cos
150,sin cos 2 sin cos
151,sin 4 cos 4 1 4 2 sin
4
xg x
x
x x tgx
x
x x x x
x x x p
-
+ =
+ = + -
+ = +
ỉ ư- = + -ç ÷
è ø
2 2 2 2
3
3 3
3
152,sin sin 3 cos 2 cos 4
153, 1
4
154,2sin sin 2 cos cos cos2
155,2sin cos2 cos 0
156,1 sin cos sin 2 cos2 0
sin 3 sin 5157,
3 5
x x x x
tg x tgx
x x x x x
x x x
x x x x
x x
p
+ = +
ỉ ư- = -ç ÷
è ø
- = - +
- + =
+ + + + =
=
( )2 2
3 2
17158,cos 2 cos2 cos3
6
11159,3sin 2 cos cos3
6
160,2 cos 2 sin10 3 2 2 cos28 .sin
161,2 2 cos 1 2 2 sin
1 sin 2 1 3 1 1 3162, 1 0
1 sin 2 11 3 1 3
163,2sin cos 2 sin
164,sin
4
x x x
x x x
x x x x
tg x x x
x tgx
x tgx
xx x x
x p
+ = +
+ = -
+ = +
+ = +
ỉ ư- - - -
- + + =ç ÷ç ÷+ ++ +è ø
=
ỉ ư+ç
è ø
3 3sin cos
165, sin 1 .sin
x x
tgx