Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ôn thi đại học

ác một khoảng cho trước) 
 Cho đường thẳng 2 2:
1 2
x t
y t
= − −⎧Δ ⎨ = +⎩ và điểm M(3;1). 
a) Tìm trên Δ điểm A sao cho 13AM = 
b) Tìm trên Δ điểm B sao cho MB là ngắn nhất. 
Bài 5. (Viết phương trình đường thẳng qua một điểm cách một điểm một khoảng cho 
trước) 
Cho điểm ( )1;1A và điểm ( )2;2B − . Viết phương trình đường thẳng ( )d qua A và cách B một 
khoảng bằng 5 . 
Bài 6. (Viết phương trình đường thẳng hợp với một đường thẳng cho trước một góc) 
Cho đường thẳng ( ) 1 0x yΔ + − = . Viết phương trình đường thẳng ( )d hợp với ( )Δ một góc 
a) 090 b) 045 c) 060 d) 030 
 b) Bài tập nâng cao 
Bài 1. (B – 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm ( )1;1A và ( )4; 3B − . Tìm điểm C 
thuộc đường thẳng 2 1 0x y− − = sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. 
Bài 2. (A – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng: 
( ) ( ) ( )1 2 3: 3 0 : 4 0 : 2 0d x y d x y d x y+ + = − − = − = 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
4
Tìm tọa độ điểm M trên ( )3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( )1d bằng hai lần 
khoảng cách từ M đến ( )2d 
Bài 3. (D – 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh 
( ) ( ) ( )1;0 ; 4;0 ; 0;A B C m− với 0m ≠ . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định 
m để tam giác GAB vuông tại G. 
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0
2
I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
phương trình đường thẳng AB là 2 2 0x y− + = và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D 
biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. 
Bài 5. Cho đường thẳng ( ) : 2 4 0d x y− + = và điểm ( )2;0A − . Tìm điểm B trên trục hoành và 
điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông cân tại C. 
Bài 6 (A – 2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho tam giác ABC vuông tại 
A, phương trình đường thẳng BC là 3 3 0x y− − = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán 
kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
Bài 7. (B – 2003) Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có 
n, 90oAB AC BAC= = . Biết ( )1; 1M − là trung điểm cạnh BC và 2 ;0
3
G ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ là trọng tâm tam giác 
ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C 
Bài 8 (A – 2004). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( )2;0A và ( )3; 1B − − . Tìm 
tọa độ trực và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. 
Bài 9 ( A – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 
( ) ( )1 2: 0 : 2 1 0d x y d x y− = + − = 
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các 
đỉnh B, D thuộc trục hoành. 
Bài 11 (B – 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ điểm C của tam 
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường thẳng AB là ( )1; 1H − − . 
Đường phân giác trong của góc A có phương trình 2 0x y− + = và đường cao kẻ từ B có 
phương trình 4 3 1 0x y+ − = 
Bài 10 ( B – 2007) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ( )2;2A và các đường 
thẳng: ( ) ( )1 2: 2 0 : 8 0d x y d x y+ − = + − = 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
5
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc các đường thẳng ( )1d và ( )2d sao cho tam giác ABC 
vuông cân tại A. 
Bài 12. Cho hai đường thẳng 1
3:
3 1
x yd − = − và 2
3
:
2
x t
d
y t
= +⎧⎨ = −⎩ và điểm M(1,2) 
Tìm trên 1d điểm A và 2d điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua M. 
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C . Khoảng cách từ 
trọng tâm G đến trục hoành bằng 1
3
và tọa độ hai đỉnh ( ) ( )2;0 , 2;0A B− . Tìm tọa độ đỉnh C . 
Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( ) ( )0;4 , 5;0A B và đường thẳng 
( ) : 2 2 1 0d x y− + = . Lập phương trình hai đường thẳng lần lượt đi qua ,A B nhận đường thẳng 
( )d làm đường phân giác. 
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) : 2 2 0d x y− + = và điểm 
( )0;2A . Tìm trên ( )d hai điểm ,B C sao cho tam giác ABC vuông tại B và 2AB BC= . 
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( )1 : 3 4 6 0d x y− − = và 
( )2 : 5 12 4 0d x y+ + = cắt nhau tại điểm M . Lập phương trình đường thẳng qua ( )1;1K cắt 
( ) ( )1 2,d d tai hai điểm ,A B sao cho tam giác MAB cân tại M . 
Bài 17. Cho 3 đường thẳng ( ) ( ) ( )1 2 3: 0, : 2 0, : 2 1 0d x y d x y d x y+ = + = − + = . Viết phương trình 
các cạnh của tam giác ABC ; biết A là giao điểm của ( )1d và ( )2d ; ( )3,B C d∈ và tam giác BAC 
vuông cân tại A 
Bài 18 – 20. Các bài cực trị cơ bản. 
Bài 18. Cho đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ + = và hai điểm ( ) ( )2;3 , 2;0A B . Tìm điểm M trên đường 
thẳng ( )d sao cho: 
a) MA MB+ nhỏ b) MA MB− lớn nhất 
Bài 19. Cho đường thẳng ( ) : 2 2 0d x y+ − = và hai điểm ( ) ( )2;0 , 2;6A B − . Tìm điểm N trên 
đường thẳng ( )d sao cho: a) NA NB+ là nhỏ nhất b) NA NB− lớn nhất 
Bài 20 Bài 3. Cho đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ + = và hai điểm ( ) ( )2;3 , 4;1A B − . Tìm điểm M trên 
đường thẳng ( )d sao cho: a) MA MB+JJJG JJJG nhỏ nhất. b) 2 22 3MA MB+ nhỏ nhất. 
b) Chuyên đề - Xác định các yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước 
Dạng 1: Biết tọa độ đỉnh và phương trình các đường cùng tính chất. 
Cho tam giác ABC có điểm A(2;2), hai đường thẳng 1 : 9 3 4 0d x y− − = , 2 : 2 0d x y+ − = . 
Sử dụng giả thiết này để giải các bài toán sau. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
61. Biết tọa đỉnh và phương trình hai đường cao. 
Cho d1, d2 lần lượt là các đường cao BH và CK. 
a) Viết phương trình cạnh AB, AC 
b) Viết phương trình cạnh BC, và đường cao còn lại. 
2. Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. 
Cho d1, d2 là các đường trung tuyến BM và CN. 
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, tìm điểm D đối xứng của A qua G. 
b) Viết phương trình đường thẳng qua D song song với BM 
c) Viết phương trình đường thẳng qua D song song với CN 
d) Tìm tọa độ của B, C. 
3. Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường phân giác. 
Cho d1, d2 là các đường phân giác trong của góc B và C. 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d1, d2 
b) Tìm tọa độ điểm A’, A’’ đối xứng của A qua d1, d2. 
c) Viết phương trình đường thẳng BC. 
d) Xác định tọa độ điểm B, C. 
Dạng 2: Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường khác tính chất. 
Cho tam giác ABC đình A(2;-1), hai đường thẳng 1 2: 2 1 0, : 3 0d x y d x y− + = + + = 
Sử dụng giả thiết trên để giải các bài toán sau: 
1. Biết tọa độ đỉnh A, phương trình đường cao BH và phân giác CE. 
Cho d1, d2 lần lượt là đường cao BH và phân giác trong CE. 
a) Viết phương trình đường thẳng AC 
b) Xác định tọa độ C là giao điểm của đt CD và đt AC. 
c) Tìm điểm A’ đối xứng của A qua CD 
d) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua A’ và C. 
2. Biết tọa độ đỉnh A, đường cao BH và trung tuyến CM 
Cho d1, d2 lần lượt là đường cao BH và trung tuyến CM. 
a) Viết phương trình đường thẳng AC. 
b) Gọi B(xB, yB) tìm tọa độ M theo tọa độ của B. 
c) Tìm tọa độ của B. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
7
II. Đường tròn 
1. Phương trình đường tròn 
a) Phương trình đường tròn 
Phương trình đường tròn ( )C có tâm ( );I a b có bán kính R là: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1C x a y b R− + − = 
Phương trình đường tròn có dạng: 
2 2 2 2 0x y ax by c+ + + + = ( )2 với điều kiện 2 2 0a b c+ − > . Khi đó tâm ( ),I a b− − và bán kính 
2 2R a b c= + − 
b) Cách viết phương trình tiếp tuyến 
Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = 
• Tiếp tuyến tại một điểm ( )0 0;A x y là phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp 
tuyến là: ( )0 0;IA x a y b= − −JJG nên có phương trình: ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = 
• Tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm ( )0 0;P x y nằm ngoài đường tròn là đường thẳng 
qua P và cách ( );I a b một khoảng bằng bán kính R . (đã biết cách viết) 
c) Một vài tính chất của đường tròn. 
Điều kiện tiếp xúc 
Điều kiện tiếp xúc của đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = với đường thẳng 
( ) : 0Ax By CΔ + + = là : 
/ 2 2I
aA bB C
d R R
A B
Δ
+ += ⇔ =+ 
 Đặt biệt: 
 + Khi OxΔ ≡ thì b R= 
 + Khi OyΔ ≡ thì a R= 
 Điều kiện để đường tròn ( )1 1;I R và đường tròn ( )2 2;I R tiếp xúc ngoài là 1 2 1 2I I R R= + 
 Điều kiện để đường tròn ( )1 1;I R và đường tròn ( )2 2;I R tiếp xúc trong là 1 2 1 2I I R R= − 
 Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến 
 Nếu PA, PB là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R (A, B là hai tiếp điểm) thì
 + PA PB= 
 + IP là đường trung trực của AB 
 Cho AB là dây cung của đường tròn và M là trung điểm của AB thì IM AB⊥ và 
2
2
4
ABIM R= − 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
8
2. Bài tập về đường tròn 
a) Viết phương trình đường tròn khi biết một số yếu tố. 
Trong phần này để viết phương trình đường tròn ta cần xác định tọa độ tâm và độ dài 
bán kính của đường tròn. Ta thường gọi ( ),I a b là tâm, bán kính R . Từ những điều kiện đã 
cho thiết lập phương trình, hệ phương trình có ẩn là , ,a b R . Chú ý đến các điều kiện tiếp 
xúc. 
Bài 1. 
 a) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(0;1), B(2;-2) và có tâm nằm trên đường thẳng 
( ) : 2 0d x y− − = 
 b) Viết phương trình đường tròn đi qua A(0;1) và B(2;-3) và có bán kính R = 5. 
c) Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ, có bán kính 5R = và có tâm nằm trên 
đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ − = 
Bài 2. 
a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ( )1 : 3 4 1 0d x y− + = , 
( )2 : 4 3 7 0d x y+ + = và đi qua điểm A(2;3). 
b) Viết phương trình đường tròn bán kính 5R = , đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với đường thẳng 
( ) : 2 5 0d x y− + = . 
c) Viết phương trình đường tròn đi qua A(3;2), B(1;4) và tiếp xúc với trụcOx . 
Bài 3 Trong mặt với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho đường tròn: 
( ) ( ) ( )2 2: 1 2 4C x y− + − = và đường thẳng ( ) : 1 0d x y− − = . 
Viết phương trình đường tròn ( )C′ đối xứng với ( )C qua đường thẳng ( )d . Tìm tọa độ giao điểm 
của hai đường tròn. 
Bài 4 (B – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( )2;0A và ( )6;4B . Viết 
phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của ( )C 
đến điểm B bằ