Phương pháp giải toán bằng cách lập hệ phương trình

 gian hay năng suất thì phương trình lập được bao giờ cũng dựa vào cột năng suất.
* Ở chương trình đại số lớp 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan:
- Cách viết số trong hệ thập phân:
 +Số có 2 chữ số được kí hiệu là: =10a+b
 +Số có 3 chữ số được kí hiệu là: =100a+10b+c
Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm; điều kiện của các chữ số.
Quan hệ chia hết và chia có dư:
 + Chữ số hàng chục a chia hết cho chữ số hàng đơn vị b là a = b.q (q là thương)
 + Chữ số hàng chục a chia cho chữ số hàng đơn vị b được thương là q và dư là r thì: a = b.q + r
Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.”
 Phân tích:
Học sinh phải nắm được :
- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? (Tổng 2 chữ số là 16).
- Vị trí các chữ số thay đổi thế nào? (Chữ số hàng chục thành hàng đơn vị và ngược lại)
- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao? (Số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị)
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị).
- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị
	Nếu gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y
	Điều kiện của x và y ? (x,yN, 0 < x,y < 10).
	Tổng các chữ số là 16, vậy ta có phương trình thế nào?
 x + y = 16 (1)
	Số đã cho được viết thế nào?
 = 10x + y
	Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết như thế nào?
 = 10y + x
	Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình ra sao?
 x + y = 16
-x + y = 2
	(10y + x) – (10x + y) = 18 hay –x + y = 2 (2)
	Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
3.3- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP HÌNH THÀNH KĨ NĂNG:
	Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại, bản thân tôi không có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo để các em học sinh luyện tập thêm. 
Loại 1 : Bài toán về chuyển động
Ví dụ 1 :Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính thời gian dự định đi lúc đầu và quãng đường AB.
Hãy xác định đối tượng tham gia vào bài toán?
Đề bài yêu cầu ta tìm các đại lượng nào?
Hãy chọn ẩn cho các đại lượng đó và xác định điều kiện tương ứng?
Với giả thiết nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giơ, ta hiểu như thế nào?
HS:Nếu thời gian dự định tăng thêm 2 giờ thì xe sẽ đi hết quãng đường AB
Với giả thiết đó được biểu thị qua các ẩn x, y như thế nào?
Tương tự, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, ta biểu thị qua các ẩn x, y như thế nào?
Từ hai phương trình có được hãy lập hệ phương trình và giải hệ phương trình
GV mời 1 HS lên bảng giải 
Sau khi HS giải xong, GV chú ý cho HS so sánh giá trị tìm được của ẩn với điều kiện ban đầu rồi kết luận
Gọi thời gian dự định đi lúc đầu là x(h), điều kiện : x>0
Gọi độ dài quãng đường AB là y(km), điều kiện : y>0
Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ, tức là thời gian chạy bằng x+2 do đó:
35(x+2)=y (1)
Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ, tức là thời gian chạy bằng x-1 do đó:
50(x-1)=y (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
35(x+2)=y 
50(x-1)=y 
x = 8
y = 350
(TMĐK)
Vậy quãng đường AB bằng 350 và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ
Ví dụ 2 : Giữa hai địa điểm A và B cách nhau 30 km, một xe máy và một xe đạp khởi hành cùng lúc tại A và B. Nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sau 40 phút chúng gặp nhau, còn nếu hai xe đi cùng chiều theo hướng từ A đến B thì sau 2 giờ chúng gặp nhau. Hãy tính vận tốc của mỗi xe? 
GV tóm tắt bài toán trên hình vẽ cho HS chọn ẩn và tính các đại lượng chưa biết qua ẩn?
Trường hợp 1:
Xe máy
Xe đạp
A
C
B
x km/h
y km/h
30km
40 phút
Khi hai xe chuyển động ngược chiều, hai xe gặp nhau khi nào? Từ đó ta thiết lập được phương trình nào?
Trường hợp 2:
30km
A
B
D
 Xe máy
 Xe đạp
x km/h
y km/h
2 giờ
Gọi x(km/h), y(km/h) lần lượt là vận tốc của xe máy và xe đạp, điều kiện: x>y>0
Sau 40 phút =giờ :
Xe máy đi được x (km)
Xe đạp đi được y (km)
Do đó ta có phương trình:
x + y = 30 x + y = 45 (1)
Sau 2 giờ:
Xe máy đi được 2x (km)
Xe đạp đi được 2y (km)
Ta có phương trình:
2x – 2y = 30 x + y = 15 (2)
x + y = 45
x – y = 15
x = 30 
y = 15
(TMĐK)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy vận tốc của xe máy là 30 km/h
Vận tốc của xe đạp là 15 km/h
Bài tập hình thành kĩ năng : 
	1- Hai canô cùng khởi hành từ bến A và B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô. Biết rằng vận tốc riêng của canô đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
	2- Một ca nô đi xuôi từ đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h sau đó đi ngược lại từ B về A. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
	3- Lúc 7 giờ, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?
	4- Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì muốn đến B kịp giờ nên người ấy phải đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB?
Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động 
	Chú ý :
 Năng suất lao động là kết quả làm được, như vậy:
Năng suất lao động trội = mức quy định + tăng năng suất.
	Ví dụ 1: Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh. Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên cả hai tổ trồng được 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3, mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây xanh ?
Đề bài yêu cầu tính gì?
Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh nên ta có phương trình thế nào?
Chú ý: Nếu làm vượt mức a% tức là đã làm đạt (100+a)%
Hãy tính số cây xanh mà mỗi tổ trồng được trong tháng 4?
HS : Tổ I : 115%x ; Tổ II : 112%y
Tổng số cây trồng được trong tháng 4 là 819 cây. Như vậy ta có phương trình thế nào?
So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả lời
Gọi số cây xanh tổ I trồng được trong tháng 3 là x(cây), điều kiện : 0<xN
Số cây xanh tổ II trồng được trong tháng 3 là y (cây), điều kiện : 0<yN
Trong tháng 3, hai tổ trồng được 720 cây xanh nên ta được:
x + y = 720 (1)
Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh. Do đó ta có phương trình:
115%x + 112%y = 819
 115x + 112y = 81900 (2)
 x + y = 720
115x + 112y = 81900
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x = 420
y = 300
(TMĐK)
Vậy trong tháng 3 tổ I trồng được 420 cây xanh, tổ II trồng được 300 cây xanh
	Ví dụ 2: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I vượt mức 15% kế hoạch của tổ. Tổ II vượt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Đề bài yêu cầu tính gì?
Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải hoàn thành bao nhiêu sản phẩm?
HS: 90 sản phẩm
Như vậy ta có phương trình thế nào?
Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, vậy tổ I làm được bao nhiêu sản phẩm?
HS: 115%x
Tương tự, tổ II vượt mức 12% kế hoạch, vậy tổ I làm được bao nhiêu sản phẩm?
HS: 112%y
Khi thực hiện, cả hai tổ làm dược bao nhiêu sản phẩm? hãy lập phương trình ?
HS: 102 sản phẩm
So sánh kết quả với điều kiện đầu bài rồi trả lời
Gọi số sản phẩm theo kế hoạch tổ I phải làm là x(sản phẩm), điều kiện: 0 < xN 
Số sản phẩm theo kế hoạch tổ II phải làm là y (sản phẩm), điều kiện: 0 < yN
Vì hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm nên ta có phương trình: 
x + y = 90 (1)
Tổ I vượt mức 15% kế hoạch, tổ II vượt mức 12% kế hoạch. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm, ta được phương trình:
 115%x + 112%y = 102
 115x + 112y = 10200 (2)
x + y = 90
115x + 112y = 10200
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
x = 40
y = 50 
(TMĐK)
Vậy theo kế hoạch:
Tổ I phải làm 40 sản phẩm
Tổ II phải làm 50 sản phẩm
Bài tập hình thành kĩ năng:
	1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm?
	2- Trong tuần đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ hai, tổ A vượt mức 25% kế hoạch, tổ B giảm 18% kế hoạch. Do đó, trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ?
3- Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỉ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy, trong thời gian qui định, họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
4- Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%. Do đó, cả hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch?
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học 
	Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị.
Gọi HS nhắc lại cách biểu diễn của một số dưới dạng lũy thừa theo cơ số 10 :
=10x+y
...
GV cho HS hoạt động theo nhóm (7’) dưới sụ gợi ý của GV :
- Số cần tìm có mấy chữ số ?
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị