Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - Lê Văn Tiến

lí » 
• Ưu điểm: 
– Định lí xuất hiện tự nhiên như kết quả của hoạt động giải các bài toán. Nói cách 
khác, tri thức mới không được cho một cách trực tiếp, mà nảy sinh trong quá trình giải các 
bài toán. 
– Phù hợp với quan điểm: học tập trong hoạt động và bằng hoạt động. Học sinh có 
nhiều thuận lợi để hoạt động tích cực và tự giác. Hơn nữa, nếu tạo được tình huống có vấn 
Các tiến trình dạy học định lí
Thực nghiệm / 
 Suy luận 
0. Tạo động cơ 
1. Nghiên cứu thực 
nghiệm 
2. Phỏng đoán 
3. Bác bỏ hay khẳng 
định phỏng đoán 
4. Phát biểu định lí 
5. Củng cố, vận dụng 
Bài toán → Định lí
0. Tạo động cơ 
1. Giảc các bài toán 
2. Phát biểu định lí 
3. Củng cố, vận dụng. 
Suy diễn
0. Tạo động cơ 
1. Phát biểu định lí 
2. Chứng minh hay 
công nhận định lí 
3. Củng cố, vận dụng
ht
tp
://
w
w
w
.v
nm
at
h.
co
m
 58 
đề thì dễ tạo động cơ và gây hứng thú cho học sinh. Đặt biệt, khi kết quả của việc tạo tình 
huống có vấn đề là các bài toán mà ta mong muốn học sinh giải quyết để đi đến định lí, thì 
ta cũng đã tạo cơ hội để họ học cách phát hiện định lí. 
• Nhược điểm: 
– Khó có cơ hội phát triển được ở học sinh các khả năng thực nghiệm (quan sát, dự 
đoán, ), những khả năng cần thiết cho hoạt động nghiên cứu toán học. 
– Khó tạo điều kiện hình thành hay củng cố ở học sinh các quy tắc kiểm nghiệm như 
đã nêu ở trên, nhất là đối với học sinh ở trường THCS khi mới làm quen bước đầu với suy 
luận và chứng minh. 
c) Tiến trình « Suy diễn » 
• Ưu điểm: 
– Ngắn gọn, tiết kiệm thời gian. 
– Giáo viên dễ làm chủ tiến trình lên lớp, dễ quản lí giờ học. 
• Nhược điểm: 
– Khó tạo động cơ và khó gây hứng thú học tập cho học sinh. Hạn chế khả năng phát 
triển năng lực tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo của họ. 
– Không phát triển được ở học sinh các khả năng thực nghiệm (quan sát, dự đoán, ) 
- những khả năng cần thiết cho hoạt động nghiên cứu toán học. 
– Không tạo điều kiện hình thành hay củng cố ở học sinh các quy tắc kiểm nghiệm 
như đã nêu ở trên, nhất là đối với học sinh ở trường THCS khi mới làm quen bước đầu với 
suy luận và chứng minh. 
– Định lí xuất hiện không tự nhiên, có tính áp đặt. Tri thức mới được cho trực tiếp. Do 
vậy học sinh không hiểu được nguồn gốc nảy sinh, cũng như vai trò và ý nghĩa của tri thức 
mới. 
3.5. Tạo động cơ chứng minh 
Theo truyền thống, lớp 6 và lớp 7 bậc THCS thuộc giai đoạn chuyển tiếp giữa hai cách 
tiếp cận Hình học : tiếp cận bằng quy nạp – thực nghiệm và tiếp cận bằng suy diễn (ta gọi tắt 
là Hình học quy nạp – thực nghiệm và Hình học suy diễn). 
Trong Hình học quy nạp – thực nghiệm, các đối tượng hình học cơ bản lần lượt được 
đưa vào chủ yếu thông qua việc sử dụng các dụng cụ đo, vẽ,  hay quan sát trực quan trên 
hình. Các tính chất toán học cũng được rút ra từ hoạt động thực nghiệm. Ngược lại, Hình học 
suy diễn (theo truyền thống thường được đưa vào chính thức từ lớp 7) đòi hỏi các tính chất 
toán học phải được hợp thức hoá bởi suy luận diễn dịch. 
Như vậy, luôn tồn tại một sự ngắt quãng giữa hai cách tiếp cận hình học. Việc dạy học 
suy luận và chứng minh không thể không kế thừa tri thức trực quan, không thể tách rời hoạt 
động thực nghiệm đã có ở các lớp trước. Nhưng nó cũng đòi hỏi học sinh phải từ bỏ việc 
dùng ghi nhận thực nghiệm để khẳng định tính đúng đắn một mệnh đề toán học. Điều này 
đặt ra nhiều khó khăn cho việc dạy học hình học trong giai đoạn chuyển tiếp. Đặc biệt đối 
với học sinh, tiếp cận “quan sát – thực nghiệm” dường như là một chướng ngại lớn cho việc 
học tập suy luận và chứng minh. 
ht
tp
://
w
w
w
.v
nm
at
h.
co
m
 59
Vì thế, câu hỏi “làm thế nào để học sinh hiểu được lí do phải dùng đến suy luận và 
chứng minh, lí do từ bỏ quan sát, đo đạc, ”, nói cách khác, “tạo động cơ chứng minh cho 
học sinh như thế nào ?” là một vấn đề khó khăn cần giải quyết. Thông thường, người ta hay 
khuyên dùng hình vẽ để làm cho học sinh thấy sự khiếm khuyết của quan sát, thực nghiệm: 
Kết quả rút ra từ quan sát, thực nghiệm có thể sai. Nhưng biện pháp này dường như không có 
mấy hiệu quả. 
Ở bậc THPT áp lực này bớt căng thẳng hơn, nhưng chưa có gì đảm bảo rằng học sinh 
đã ý thức được hoàn toàn về lí do phải chứng minh. 
Một trong các biện pháp có thể áp dụng ở cấp độ này là khai thác tốt tiến trình Thực 
nghiệm / Lí thuyết trong dạy học định lí. 
Quả thực, vấn đề mấu chốt nhất trong tiến trình này là thực hiện các hoạt động thực 
nghiệm và trình bày một dự đoán. 
Đặc trưng cơ bản của dự đoán là tính « bấp bênh » (incertitude) của các kết quả đạt 
được từ quan sát thực nghiệm. Chính tính bấp bênh này làm nảy sinh nhu cầu phải giải thích 
để thuyết phục người khác, và từ đó tạo nên nhu cầu suy luận và chứng minh, đồng thời làm 
nổi bật vai trò của công cụ chứng minh (vai trò hợp thức hoá). Trong trường hợp nếu tổ chức 
dạy học tạo ra được sự “ganh đua tích cực” giữa học sinh hay các nhóm học sinh để khuyến 
khích họ bảo đảm tính hợp thức của kết quả mà họ rút ra từ hoạt động thực nghiệm, thì lại 
càng thuận lợi hơn cho việc tạo động cơ suy luận và chứng minh. 
Chẳng hạn, nếu khi đo và tính tổng số đo các góc của một tam giác, mà tất cả các học 
sinh đều cho cùng một kết quả là 180°, thì phỏng đoán « tổng số đo các góc trong của một 
tam giác bất kì bằng 180° » mất đi đặc trưng « bấp bênh ». Như vậy, chính bản thân học sinh 
sẽ không còn có nhu cầu phải giải thích, phải chứng minh. Ngược lại, nếu các em cung cấp 
một dãy các kết quả như 181°, 179°, 178°5’, 182°, 178°, 1800,  , và nếu các em nhận xét 
được rằng các kết quả này mặc dù khác nhau, nhưng luôn giao động xung quanh 180°, thì 
phỏng đoán trên trở nên có giá trị hơn. Bởøi vì, chính sự bất định của kết quả đạt được và sự 
được thua giữa học sinh hay nhóm học sinh sẽ gợi nên nhu cầu tranh luận và như vậy tạo 
động cơ cho suy luận và chứng minh. 
Rèn luyện khả năng đưa ra các dự đoán từ quan sát, thực nghiệm không chỉ bó hẹp 
trong dạy học các định lí theo tiến trình Thực nghiệm/ Lí thuyết, mà còn có thể khai thác 
ngay trong quá trình tìm tòi cách chứng minh. 
Chẳng hạn, để rèn luyện khả năng áp dụng các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng 
P và Q song song với nhau đã học trong phần lí thuyết, ta có thể bắt đầu pha tìm tòi chứng 
minh từ các câu hỏi như : 
– Có thể dự đoán xem mặt phẳng P có chứa hai đường thẳng cắt nhau nào cùng song 
song với Q ? 
– Có thể dự đoán xem P và Q cùng song song với mặt phẳng thứ ba nào ? 
3.6. Củng cố bước đầu định lí 
Tương tự như dạy học khái niệm, củng cố định lí là một quá trình lâu dài, có thể trải 
qua nhiều giai đoạn và cấp độ khác nhau. Ngay cả khi định lí vừa được trình bày, ta cũng cần 
tiến hành củng cố bước đầu định lí này bằng một số hoạt động như : 
ht
tp
://
w
w
w
.v
nm
at
h.
co
m
 60 
– Phân tích định lí. 
– Khái quát hoá, đặc biệt hoá định lí. 
a) Phân tích định lí : Phân tích làm rõ đặc trưng quan trọng thể hiện tường minh hay ẩn 
tàng trong định lí, làm rõ giả thiết và kết luận, trình bày định lí dưới dạng kênh hình, vẽ hình 
minh hoạ,  
b) Khái quát hoá, đặc biệt hoá : Hai hoạt động này cũng cho phép củng cố ban đầu 
định lí, vì nó cho phép hiểu rõ hơn các đặc trưng của định lí, mối quan hệ của định lí với các 
định lí đã học, với định lí mới mà ta công nhận hay sắp chứng minh và cả với những mệnh đề 
dự đoán mà ta mong muốn học sinh đi sâu nghiên cứu. 
Ví dụ 1 : Định lí cosin trong tam giác 
2 2 2 2 cos= + −a b c bc A . 
Xét trường hợp đặc biệt khi A = 900 sẽ dẫn tới định lí Pythagore quen thuộc : a2 = b2 + 
c2. 
Ví dụ 2 : Bất đẳng thức Cosi : 
≥a + b ab
2
 với ∀ a ≥ 0, b ≥ 0. 
– Khái quát hoá cho trường hợp 3 số không âm, ta có bất đẳng thức : 
≥ 3a + b + c abc
3
 với ∀ a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0. 
Trong SGK Đại số 10, NXB GD 2001, bất đẳng thức này được thừa nhận, không chứng 
minh. 
– Khái quát hoá cho trường hợp n số không âm, ta có bất đẳng thức : 
≥1 2 n n 1 2 na + a + ...+ a a a ...an với ∀ ai ≥ 0, i = 1,  , n. 
Bất đẳng thức này có thể trình bày dưới dạng một kiến thức ngoài chương trình và yêu 
cầu học sinh khá giỏi tìm cách chứng minh. 
Chú ý : Ngay cả khi kết quả của khái quát hoá là một mệnh đề sai, thì hoạt động này 
cũng cho phép hiểu rõ hơn bản chất của định lí. Chẳng hạn, sau khi đưa vào công thức sin2x 
+ cos2x = 1, thì câu hỏi khái quát như sau cũng cho phép nắm vững hơn công thức sin2x + 
cos2x = 1 : 
Các đẳng thức sau đúng hay sai : 
a) sinnx + cosnx = 1 
b) sin2u(x) + cos2u(x) = 1 
c) sin2nx + cos2 nx = n  
Việc bác bỏ các đẳng thức a, c có thể thực hiện được nhờ vào các phản ví dụ. 
4. Dạy học chứng minh 
4.1. Khái niệm chứng minh 
• Trong phạm vi logic toán : 
ht
tp
://
w
w
w
.v
nm
at
h.
co
m
 61
Trong cuốn « Tập hợp và logic » (NXB