Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Phi Hùng

hợp với điều kiện của t suy ra
12
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :  132
12
sin
1 





 x
Tổng quát: Giải phương trình a
x
ax 





1
1
2
2
Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2
9
3
2



x
x
x
Lời giải : ĐK : 3|| x
Đặt  
2
,;0,
cos
3   tt
t
x , phương trình đã cho trở thành :
23
4
cos
3
4
12sin2sin22sin122
sin
1
cos
1 2 





 

xtttt
tt
(thoả mãn)
Tổng quát: Giải phương trình: b
ax
ax
x 


22
 với ba, là các hằng số cho trước
3. Đặt 




2
;
2
,tan

ttx để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : Giải phương trình: 03333 23  xxx (1)
www.VNMATH.com
4Lời giải :
Do 
3
1x không là nghiệm của phương trình nên (1) 3
31
3
2
3



x
xx
(2)
Đặt 




2
;
2
,tan

ttx , Khi đó (2) trở thành :
39
33tan

ktt 
Suy ra (1) có 3 nghiệm : 












9
7
tan;
9
4
tan;
9
tan

xxx
Ví dụ 8 : Giải phương trình:   2
222
2
12
1
2
1
1
xx
x
x
x
x


Lời giải : ĐK : 1;0  xx
Đặt
4
;0,
2
;
2
,tan
 



 tttx , phương trình đã cho trở thành :
012cos2cos.sin20
2cos.sin2
1
sin2
1
1
cos
1
4sin
2
2sin
1
cos
1 



  ttt
ttttttt
   




















2
6
2
2
2
1
sin
1sin
0sin
0sin2sin1sin0sin2sin21sin2 222
kt
kt
t
t
t
tttttt
Kết hợp với điều kiện suy ra : 
6
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
3
1
6
tan 



 x
4. Mặc định điều kiện : ax || . Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương 
trình và kết luận :
Ví dụ 9 : Giải phương trình: xx 2163 
Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương với : 168 3  xx (1)
Đặt  ;0,cos  ttx , Lúc đó (1) trở thành :  Zkktt 
3
2
92
1
3cos

Suy ra (1) có tập nghiệm : 


 












9
7
cos;
9
5
cos;
9
cos

S
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :         xxPxfxQxf .. 
khi đó : 
Đặt   0,  ttxf . Phương trình viết thành :     0.2  xPxQtt
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình   txf  sau khi đã đơn giản hóa 
và kết luận 
Ví dụ 10 : Giải phương trình 16924422 2  xxx (1)
Lời giải : ĐK : 2|| x
www.VNMATH.com
5Đặt  242 xt 
Lúc đó :(1)           xxxxxxxx 84216481692164216424 22222  Phương 
trình trở thành : 08164 22  xxtt
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được : 4
2
;
2 21
 xtxt
Do 2|| x nên 02 t không thỏa điều kiện 0t
Với 
2
x
t  thì :    
 

3
24
48
0
2
42 22
2 x
xx
xx
x ( thỏa mãn điều kiên 2|| x )
Ví dụ 11 :Giải phương trình 361122  xxx
Lời giải : ĐK : 1x
Đặt 01  xt ,phương trình đã cho trở thành :
x
t
ttxt
66
036122

* Với
x
t
t
66  , ta có :   66  tx (vô nghiệm vì : 0;0  VPVT )
* Với
x
t
t
66  , ta có : tx)6(6 
Do 6x không là nghiệm của phương trình nên : 
x
x
x
t




6
6
1
6
6
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : 3x (thỏa mãn)
Tổng quát: Giải phương trình: 22 2 baxbaxx 
Ví dụ 12 : Giải phương trình:    128311123 22  xxxx
Lời giải :
Đặt 112 2  tx 
Phương trình đã cho viết thành :
      03383831313 2222  xxtxtxtxtxt
Từ đó ta tìm được 
3
x
t  hoặc xt 31
Giải ra được : 0x
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể
là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . 
Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải 
quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
Ví dụ 13 : Giải phương trình: 342007342008 2  xxxx
Lời giải : ĐK : 
4
3x
Đặt 034  tx phương trình đã cho trở thành : 020072008 22  txtx
Giải ra : tx  hoặc 
2008
t
x  (loại)
* tx  ta có : 



3
1
0342
x
x
xx
Vậy 3,1  xx là các nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ 14 : Giải phương trình:   122114 33  xxxx
www.VNMATH.com
6Lời giải : ĐK : 1x
Đặt 13  xt ,Phương trình đã cho trở thành       012142141212 22  xtxttxxt
Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! 
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : Giải phương trình: 
4
9
2
32  xx (1)
Lời giải : ĐK :
2
3x
Đặt 0
2
3  tx phương trình (1) trở thành :
   






 
2013
0
013
4
9
2
3
3
3
2
2
tt
t
ttttt
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt  ;0,cos2  ttx để đưa về dạng :
2
1
3cos t
Tổng quát: Giải phương trình: 22 aaxx  với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 :Giải phương trình:    16223 323 xxxx 
Lời giải : ĐK : 2x
Viết lại (1) dưới dạng :      202223 33  xxxx
Đặt 02  xt , Khi đó (2) trở thành :
   










22
2
2
02023 2323
xx
xx
tx
tx
txtxtxtx





















322
2
084
0
02
0
2
2
x
x
xx
x
xx
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 322,2  xx
Ví dụ 17 : Giải phương trình : 015  xx
Lời giải : ĐK :  6;1x (1)
Đặt 01  xt (2) , phương trình đã cho trở thành :
552  tt (3)    05402010 2224  ttttttt
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
2
1711x
Ví dụ 18 : Giải phương trình:   2112006   xxx
Lời giải : ĐK :  1;0x (1)
Đặt 101  txt , Khi đó :  222 1,1 txtx  ,phương trình đã cho trở thành :
                010031212007111120061 222222222  tttttttttt
Vì 10  t nên 010032  tt
Do đó phương trình tương đương với : 101  tt
Do vậy 0x (thỏa (1))
www.VNMATH.com
72. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 19 : Giải phương trình: 3912154 22  xxxxx
Lời giải :
Đặt 12;154 22  xxbxxa
   0139 2222  babababaxba

































65
56
0
3
1
292
39
3
1
01
0
x
x
x
xa
xba
x
ba
ba
Vậy tập nghiệm của pt là 




65
56
;0;
3
1
S
Ví dụ 20 : Giải phương trình:   83232 32  xxx (1)
Lời giải : ĐK : 



2
12
x
x
(*) 
Đặt 2,422  xvxxu ta có : 2322  xxvu
Lúc đó (1) trở thành :      vuvuvuuvvu 202232 22  (Do 02  vu )
Tìm x ta giải : 1330462242 22  xxxxxx (Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm : 1332,1 x
Ví dụ 21 : Giải phương trình: 15209145 22  xxxxx
Lời giải : ĐK : 5x
Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:
              045454354215410524951 222  xxxxxxxxxxxxx (2)
Đặt 0,,4,542  vuxvxxu ,thì :
(2)   










056254
095
32
0320532
2
2
22
xx
xx
vu
vu
vuvuuvvu
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 8;
2
615
21 
 xx
Ví dụ 22 : Giải phương trình:      4 24 34 34 2 1111 xxxxxxxx 
Lời giải : ĐK : 10  x
Đặt :












1
0
0
1 44
4
4
vu
v
u
xv
xu
Từ phương trình ta được :
    



1
0
01232322
vu
vu
vuvuvuvuuvvuvu ( Do 0 vu )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
2
1
;1;0  xxx
3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 : Giải phương trình: 218817 3 23 23  xxxxx
www.VNMATH.com
8Lời giải :
Đặt 3 23 23 18,8,17  xxcxxbxa ta có :
   
       



2818817
182
22333
3
xxxxxcba
cbacba
Từ (1) và (2) ta có :         033333  accbbacbacba
Nên :    









ac
cb
ba
accbba 0
từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :  9;1;0;1S
Ví dụ 24 : Giải phương trình: 03492513 3333  xxxx (1)
Lời giải :
Đặt 333 92,5,13  xcxbxa ,ta có: 34333  xcba
khi đó từ (1) ta có :       03333  accbbacbacba
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình :
5
8
;4;3  xxx
IV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 : Giải phương trình: 552  xx
Lời giải : ĐK : 5x
Đặt 0,5  txt Ta có : 52  tx
  






















































2
211
2
211
1
5
0
5
01
5
0
5
5
5
2
2
2
22
2
2
2
x
x
tx
tx
tx
tx
txtx
tx
xttx
tx
xt
tx
Tổng quát: Giải phương trình: aaxx 2
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* Nội Dung :     cxfbxfa nm 
* Cách giải :
Đặt :    nm xfbvxfau  ,
Như vậy ta có hệ :





bavu
cvu
nm
Ví dụ 26 : Giải phương trình: 54057 44  xx (1)
Lời giải : ĐK : 5740  x
Đặt 44 40,,57  xvxu
Khi đó :(1)     












0528102
5
9722
5
97
5
2222244 uvuv
vu
vuuvvu
vu
vu
vu
www.VNMATH.com
9





























2
3
3
2
6
5
44
6
5
v
u
v
u
uv
vu
uv
uv
vu
 (Do hệ





44
5
uv
vu
vô nghiệm)
Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .
Ví dụ 27 : Giải phương trình: 
4
4
2
1
12  xx
Lời giải : ĐK : 120  x
Đặt :





vx
ux
4
12 với 





4 120
120
v
u (*)
Như vậy ta được