Phân loại và phương pháp giải Toán 12 - Bài 4: Tiệm cận và Điểm uốn của đồ thị hàm số - Lê Văn Đoàn

Bài 4: Tiệm cận và Điểm uốn của đồ thị hàm số
¾¾¾ & ¾¾¾
Tâm đối xứng
Tiệm cận xiên
O
U
x
y
·
Điểm uốn
·
O
x
I
y
O
I
x
y
Tiệm cận đứng
Tiệm cận ngang
y
O
x
Œ Lý thuyết giáo khoa
I – Tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Định nghĩa
Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 
Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 
Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 
2. Lưu ý
Trường hợp là hàm số phân thức hữu tỷ.
Nếu có nghiệm thì đồ thị có tiệm cận đứng ( là điểm tại đó hàm số không xác định Þ là tiệm cận đứng).
Nếu bậc bậc thì đồ thị có tiệm cận ngang.
Nếu bậc bậc thì đồ thị có tiệm cận xiên.
Số tiệm cận đứng của hàm số phân thức là số nghiệm của hệ 
Đồ thị có tiệm cận ngang thì không có tiệm cận xiên và ngược lại.
Để xác định các hệ số trong phương trình của đường tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức:
. Nếu thì TCX trở thành TCĐ.
Thông thường đối với hàm dạng: thì ta tìm cận xiên bằng cách chia đa thức, lấy phần nguyên là tiệm cận xiên do (phần dư) = 0.
Hàm số bậc ba và bậc bốn không có các đường tiệm cận.
II – Điểm uốn của đồ thị hàm số
1. Định nghĩa
Điểm được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho trên một trong hai khoảng và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm về phía trên đồ thị còn trên điểm kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
2. Tính chất
Nếu hàm số có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm và đổi dấu khi x đi qua thì là một điểm uốn của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số bậc ba luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị.
v Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Tìm các đường tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
a/ 	b/ 	c/ 	d/ 
e/ 	f/ 	g/ 	h/ 
Ví dụ 2. Tìm các đường tiệm cận của các hàm số
a/ 	b/ 
@ Nhận xét:
Xét hàm số 
Nếu: đồ thị hàm số không có các đường tiệm cận.
Nếu: đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và .
Đồ thị hàm số có tiệm cận là đường thẳng .
Ví dụ 3. Hãy biện luận số tiệm cận của hàm số theo 
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng 
Ví dụ 5. Cho hàm số . Tìm để khoảng cách từ tọa độ O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất ?
Ví dụ 6. Cho hàm số 
Tìm để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị bằng 450 
Tìm để đồ thị có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho ΔAOB có diện tích bằng 4.
Ví dụ 7. Cho hàm số có đồ thị . Chứng minh rằng:
Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đến hai đường tiệm cận không đổi.
Không có tiếp tuyến nào của đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
Ž Bài tập rèn luyện
Bài toán liên quan đến các đường tiệm cận
Bài 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số sau
1/ 	2/ 	3/ 	4/ 
5/ 	6/ 	7/ 	8/ 
9/ 	10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/ 	16/ 
Bài 2. Tìm các tiệm cận của các hàm số sau
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/ 
16/ 	17/ 	18/ 
19/ 	20/ 	21/ 
Bài 3. Tìm các tiệm cận của các hàm số sau
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/ 
16/ 	17/ 	18/ 
19/ 	20/ 	21/ 
22/ 	23/ 	24/ 
25/ 	26/ 	27/ 
28/ 	29/ 	30/ 
31/ 	32/ 	33/ 
Bài 4. Tùy theo giá trị của tham số . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (Biện luận số tiệm cận).
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
Bài 5. Tìm các tiệm cận của các hàm số sau
1/ 	2/ 	3/ 
Bài 6. Tìm giá trị của tham số để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 	6/ 
Bài 7. Tìm để đồ thị hàm số sau có tiệm cận xiên
1/ 	2/ 
Bài 8. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục tọa độ Oxy
1/ 	 	2/ 	3/ 
Bài 9. Tìm để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích S đã được chỉ ra
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
Bài 10. Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số.
1) 	2) 	3) 
Bài 11. Định để hàm số có tiệm cận đứng đi qua với 
Bài 12. Tìm để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng .
Bài 13. Cho hàm số . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất ?
Bài 14. Cho hàm số .
1/ Tìm để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị bằng 450.
2/ Tìm để đồ thị có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho ΔAOB có diện tích bằng 4 ?
Bài toán liên quan đến điểm uốn của đồ thị
Bài 15. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 	6/ 
Bài 16. Tìm giá trị của tham sốđể đồ thị của hàm số sau có điểm uốn I được chỉ ra
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 	6/ 
7/ 	8/ 
Bài 17. Tìmđể đồ thị hàm số có ba điểm uốn.
1/ 	2/ 
Bài 18. Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	 8/ 	9/ 
Bài 19. Tìmđể đồ thị của các hàm số:
1/ có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm 
2/ có điểm uốn nằm trên đường thẳng 
3/ có điểm uốn nằm trên trục.
Bài 20. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bé nhất.
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
¾¾¾ & ¾¾¾
Œ Cơ sở lý thuyết
 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số.
Tính 
Tìm các điểm tại đó đạo hàm hoặc không xác định.
Tìm các giới hạn Þ tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên, ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số
Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
Tính 
Tìm các điểm tại đó và xét dấu 
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như: giao điểm của đồ thị với trục tọa độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc tìm tọa độ giao điểm ấy phức tạp thì có thể bỏ qua). Ngoài ra, ta tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị nhằm vẽ hình chính xác hơn.
Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
 Bài tập rèn luyện
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau đây:
1/ 	2/ 	3/ 	
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/ 
16/ 	17/ 	18/ 
19/ 	20/ 	21/ 	
22/ 	23/ 	24/ 
25/ 	26/ 	27/ 
Bài 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau đây:
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/ 
16/ 	17/ 	18/ 
Bài 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau đây:
1/ 	2/ 	3/ 	4/ 
5/ 	6/ 	7/ 	8/ 
9/ 	10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/ 	16/ 
17/ 	18/ 	19/ 	20/ 
21/ 	22/ 	23/ 	24/ 
Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số hữu tỉ sau đây:
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
10/ 	11/ 	12/ 
13/ 	14/ 	15/