Phân loại và phương pháp giải bài tập chương I

M = I γ
Từ phương trình động lực học xác định được γ (hoặc các đại lượng liên quan), từ đó xác định được các đại lượng động học, học động lực học. 
Ví dụ 1: Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm, khối lượng m = 5 kg. Đĩa có trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa. Đĩa đang đứng yên thì chịu tác dụng của lực không đổi F = 2N tiếp tuyến với vành đĩa. Bỏ qua ma sát. Tìm tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động?
Giải
Momen quán tính của đĩa đối với trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa:
	I = mR2 = .5.2,02 = 0,1 kg.m2
Momen lực tác dụng lên đĩa:
	M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay ta được:
	M = I.g ® g = 4rad/s2
Tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động là:
	w = gt = 4.5 = 20 rad/s
Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có đường kính 60cm. Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vòng đầu tiên. Momen quán tính của bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia tốc góc của bánh xe được tính:
j - j0 = gt2 
® g = 
Mô men lực tác dụng vào bánh xe: 
M = F.R = 0,7.0.3 = 0,21Nm.
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay, ta tính được mô men quán tính của bánh xe: 
M = I.g ® I = = 0,27kgm2.
Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M1 không đổi là 20Nm. Trong 10 s đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s. Sau đó mô men lực M1 ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô men của lực ma sát có giá trị không đổi trong suốt thời gian chuyển động bằng 0,25M1.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.
b) Tính mô men quán tính của bánh xe đối với trục.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:
- Giai đoạn quay nhanh dần đều: 
- Giai đoạn quay chậm dần đều: 
b) Tổng mô men lực tác dụng vào bánh xe trong giai đoạn quay nhanh dần đều: 
M = M1 + Mms = 20 – 5 = 15Nm
Mô men quán tính của bánh xe: 
I = = 10kgm2.
Ví dụ 4: Một đĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg và bán kính 7,5cm. Mô men lực cần thiết phải tác dụng lên đĩa để tăng tốc từ nghỉ đến 1500vòng/phút trong 5s là bao nhiêu? Nếu biết rằng sau đó ngừng tác dụng của mô men lực thì đĩa quay chậm dần đều cho đến khi dừng lại mất 45s. 
Giải
Mô men quán tính của đĩa là đối với trục quay trùng với trục hình trụ là: 
I = mR2 = 1,55.10-3 (kgm2)
Gia tốc góc của đĩa khi tăng tốc: 
g1 = 
Gia tốc góc của đĩa khi quay chậm dần: 
g2 = -
Áp dụng phương trình động lực học trong chuyển động của đĩa ta có:
+ Khi quay chậm dần đều đĩa chịu tác dụng của lực ma sát sinh ra mô men cản: Mms = Ig2 
+ Khi tăng tốc đĩa chịu tác dụng của mô men lực làm quay và mô men cản của lực ma sát:
MF + Mms = I g1
® MF = I g1 - I g2 = I(g1 - g2 ) 
MF = 1,55.10-3(10p+) (Nm) = 0,054Nm.
Dạng 2: Xác định gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển động của hệ vật có cả chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. 
Phương pháp giải
Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển động quay và một số vật chuyển động tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực hiện theo các bước sau:
Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
Viết các phương trình động lực học cho các vật:
+ Đối với vật chuyển động quay: M = I γ
+ Đối với các vật chuyển động thẳng: 
Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng. 
Áp dụng các phương trình được suy ra từ điều kiện của bài toán: 
 + Dây không dãn: a1 = a2 =….= rγ
 + Dây không có khối lượng thì: T1 = T2 (ứng với đoạn dây giữa hai vật sát nhau).
Dùng toán học để tìm ra kết quả bài toán. 
m
R
Hình 6
Ví dụ 1: Trên hình vẽ 6: ròng rọc là một cái đĩa đồng tính có khối lượng M =2,5kg và có bán kính R = 20cm, lắp trên một cái trục nằm ngang cố định. Một vật nặng khối lượng m = 1,2kg treo vào một sợi dây không trọng lượng quấn quanh mép đĩa. Hãy tính gia tốc của vật nặng khi rơi, gia tốc góc của đĩa và sức căng của dây . Giả thiết dây không trượt và không có ma sát ở ổ trục.
Giải
Các lực tác dụng lên M gây mômen đối với trục ròng rọc: 
T1
T2
P1
m
R
+
Hình 7
Các lực tác dụng lên m gồm 
Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật m: 
mg – T1 = ma (1) 
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn chuyển động quay đối với M: 
T2R = Ig = (2)
 Với , T1 = T2 = T (3)
 Từ (1) ,(2) và (3) ta có:
Gia tốc góc của đĩa :
Lực căng của dây T:
Ví dụ 2: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, được liên kết với nhau bằng một dây nhẹ, không dãn, vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I = 0,050kgm2 (hình vẽ). Biết dây không trượt trên ròng rọc. Lúc đầu, các vật được giữ đứng yên, sau đó hệ vật được thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng rọc quay quanh trục của nó được 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không đổi. Cho g = 10m/s2. Coi ma sát ở trục ròng rọc là không đáng kể. 
A
B
Hình 8
a) Tính gia tốc góc của ròng rọc.
b) Tính gia tốc của hai vật.
c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc.
d) Tính hệ số ma sát trượt giữa vật B với bàn.
Giải
A
B
TB
TA
T’A
T’B
PA
Fms
Hình 9
a) Gia tốc góc của ròng rọc được tính: 
Từ j = gt2/2 ® g = 2j /t2 = 6,28rad/s2. 
b) Gia tốc của hai vật: 
a = Rg = 0,63m/s2.
c) Lực căng của dây ở hai bên ròng rọc: 
- Đối với vật A: PA – TA = ma
® TA = mg-ma = 9,17 (N) = T’A.
- Đối với ròng rọc: (TA – TB)R = I g 
® TB = TA - I g /R = 6,03 (N)
d) Hệ số ma sát được tính:
- Đối với vật B: TB – Fms = ma ® Fms = TB – ma = 5,4 (N)
m1
m2
a
m
Hình 10
- Hệ số ma sát trượt giữa vật B và mặt bàn là: m = Fms/mg = 0,55
Ví dụ 3: Cho cơ hệ như hình vẽ. Khối lượng của các vật và ròng rọc lần lượt là: m1 = 4kg, m2 = 1 kg, m = 1 kg. Ròng rọc được xem như đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 10cm. Bỏ qua ma sát. Lấy g = 10m/s2. Cho a = 300. Hãy tính: 
a) Gia tốc của m1, m2 và gia tốc góc của ròng rọc. 
b)Lực căng của sợi dây nối với m1 và m2. 
Giải
a) Các lực tác dụng lên m1 gồm: ,, 
m1
m2
a
Hình 11
Các lực tác dụng lên m2 gồm: ,
Các lực tác dụng lên ròng rọc gây ra mô men đối với trục quay: , 
Áp dụng định luật II Niutơn cho vật m1 và vật m2 ta được:
m1g.sina - T1 = m1a1	(1)
T2 – m2g = m2a2 	(2)
Áp dụng phương phương động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc ta có: 
T1R – T2R = I.g	(3)
Mặt khác: T’1 = T1, T’2 = T2 , a1 = a2 = a = Rg, I = 	(4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có: 
g = =
a1 = a2 = a = Rg = 0,1. (m/s2).
b) Lực căng các dây được tính: 
T2 = m2(g + a2 ) = 1.(10+1,8) = 11,8 (N) 
 	T1 = m1g.sina - m1a1 = 4.10.0,5 – 4.1,8 = 12,8 (N)
Dạng 3: Xác định gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định khi mô men lực tác dụng lên vật thay đổi. 
Phương pháp giải
Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác định gia tốc góc khi vật ở một vị trí đặc biệt nào đó. Vì mô men lực thay đổi nên gia tốc góc cũng thay đổi. Để làm bài tập loại này ta cũng làm giống như dạng 1 đó là:
Xác định mô men lực tác dụng lên vật
Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay	
Dùng toán học tìm kết quả. 
A
O
Hình 12
•
Ví dụ 1: Thanh đồng chất OA khối lượng m và chiều dài l có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng với trục quay (O) nằm ngang. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang rồi thả cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm bắt đầu thả.
Giải 
A
O
Hình 13
•
Tại thời điểm thả để thanh chuyển động (thanh đang nằm ngang), mô men lực làm thanh quay là:
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay ta có :
 M = Ig ® 
 	với 
Gia tốc dài của đầu A thanh tại thời điểm bắt đầu thả:
m
m
l1
l2
Hình 14
Ví dụ 2: Có hai vật nặng, mỗi vật có khối lượng m = 100g treo vào hai đầu của một thanh không trọng lượng, độ dài l1+l2 với l1=20cm và l2=80cm. Thanh được giữ ở vị trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau đó được buông ra. Tính gia tốc của hai vật nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu chuyển động. Lấy g = 10m/s2.
Giải
Các lực tác dụng lên m1 và m2 như hình vẽ 13. 
Áp dụng định luật II Niu tơn cho m1 và m2 ta được:
m2g - T2= m2a2	(1)
T1 - m1g = m2a1	(2)
Đối với thanh: T2l2-T1l1 = 0	(3)
Mặt khác: 	(4)
l1
l2
T1
T2
P1
P2
Hình 15
Từ (1),(2),(3),(4) với lưu ý m1=m2 = m =100g ta có: 
a1 = 
a2 = 
T1= m1(g+a1) = 
T2= m2(g-a2) = 
Bài tập áp dụng dạng tự luận 
α
Hình 16
1. Một bánh xe bán kính 0,20m được lắp vào một trục nằm ngang không ma sát. Một sợi dây không khối lượng quấn quanh bánh xe và buộc vào một vật, khối lượng 2,0kg. Vật này trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 200 so với mặt phẳng ngang với gia tốc 2,0m/s2. Lấy g = 10m/s2. Hãy tính:
a) Lực căng của dây.
b) Mô men quán tính của bánh xe .
c) Tốc độ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ được 2,0s. 
Đáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm2; c) 10rad/s2.
2. Một thanh mảnh đồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh một trục thẳng góc với thanh và đi qua điểm giữa của nó. Tìm gia tốc góc của thanh nếu mô men lực tác dụng lên thanh là M = 0,1Nm.
Đáp số: g = 2,25rad/s2
3. Một trụ đặc đồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh một trục nằm ngang trùng với trục của trụ. Trên trụ có quấn một sợi dây không giãn trọng lượng không đáng kể. Dầu tự do của đây có treo một vật nặng khối lượng M= 20kg. Để vật nặng tự do chuyển động. Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của sợi dây.
Đáp số: a = 2,8m/s2; T = 140,2N
m2
m1
Hình 17 
4. Hai vật khối lượng 2,00kg và 1,5 kg được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh vắt qua một ròng rọc gắn ở mép một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng rọc có mô men quán tính 0,125kg.m2 và bán kính 15cm. Giả sử rằng dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt bàn và ở trục ròng rọc là không đáng kể. Hãy tính:
a) Gia tốc của 2 vật. 
b)Lực căng ở hai nhánh dây.
Đáp số: a) a1 = a2 = 3,24m/s2; b)T1=13,1N; T2=4,86N
5. Thanh mảnh có chiều dài l, khối lượng m có trục quay nằm ngang cách một đầu của thanh đoạn l/4. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang, sau đó buông cho thanh chuyển động. Tính gia tốc của thanh trong 2 trường hợp:
a) Ngay sau khi buông tay (thanh nằm ngang).
b) Thanh làm với phương đứng góc 300.
Đáp số: a) ; b) .
6. Một đĩa tròn đồng ch