Ôn thi Nguyên hàm và tích phân

5. Tính các tích phân bất định sau 
2. Nguyên hàm dạng : với , 
Ta xét ba trường hợp sau 
TH1 : có ba nghịêm phân biệt 
 Ta tìm sao cho : 
TH2 : 
 Ta tìm sao cho : 
TH3 : với là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực. Ta tìm sao cho : 
VD6. Tính các tích phân bất định sau 
4. Nếu là hàm bậc cao . 
 Thường xét các đa thức đơn giản hoặc có dạng đặc biệt 
VD7. Tính các tích phân bất định sau 
 HD. 
 VD7. 2. Xét tích phân bất định 
 Ta có 
 Đặt 
 Ta tìm A, B, C, D sao cho : 
 Do đó : 
VD8. Tính 
 HD : Đặt .
 Ta được : 
Nguyên hàm các hàm số lượng giác
I. Một số nguyên hàm cơ bản 
II. Nguyên hàm dạng 
 hoặc hoặc 
 Cách tính : Dùng công thức biến tích thành tổng, sau đó tính tích phân 
 VD1. Tìm các họ nguyên hàm sau 
III. Tích phân dạng 
Thường tính bằng cách sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi lượng giác 
 1. Nếu lẻ : Đặt ; nếu lẻ : Đặt .
 2. Nếu đều chẵn : Đặt . 
 3. Nếu đều chẵn và dương, dùng công thức hạ bậc để biến đổi. 
IV. Tích phân dạng với là hàm hữu tỉ. 
 Đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng cách đặt 
 Nếu thoả mãn 
 thì đặt 
 thì đặt 
 thì đặt 
V. Tích phân dạng , trong đó là một đa thức thường được tính bằng phương pháp tích phân từng phần.
Một vài ví dụ. 
VD1. Tính các tích phân bất định sau 
 VD2. CMR : Hàm số có nguyên hàm dạng 
 Trong đó là các hằng số . 
 HD : Ta tìm sao cho 
 . Từ đó suy ra đpcm.
VD3. Tính . (ĐS : ).
 ( HD : Đặt , sau đó dùng phương pháp tích phân từng phần ) 
VD4. Tính 
 HD : Đặt , , 
 ĐS : . 
 VD5. Tính ; với .
 HD : Dùng công thức 
 Ta được : . Từ đó tính được I.
Nguyên hàm các hàm siêu việt
Các nguyên hàm cơ bản 
Ví dụ 
VD1. Tính tích phân bất định sau : 
 HD. Đặt 
 Ta được : 
 Ta tìm A, B, C sao cho : 
 Do đó :
VD2. Tính . 
 HD : Biến đổi 
 Với . 
 Đặt 
 . Từ đó suy ra : . 
 VD3. Tính .
 HD. Đặt .
 Ta có : 
 . 
 VD4. Tính 
 HD : 
 Đặt 
 Ta được : 
 . 
Nguyên hàm các hàm vô tỉ đơn giản
I. Các tích phân cơ bản 
II. Một vài dạng nguyên hàm hay gặp 
 Cho là hàm hữu tỉ đối với 
1. Tích phân dạng 
 Thường được tính bằng cách đổi biến . 
2. Tích phân dạng được đưa về một trong ba dạng tích phân cơ bản sau : ; 
và bằng cách viết :
 , rồi đặt 
Các tích phân thường được tính bằng phương pháp đổi biến số. 
3. Tích phân dạng 
 Trước hết ta tìm sao cho 
 Từ đó đưa tích phân về dạng 
 Tích phân dạng được đưa về một trong ba dạng sau 
; ; bằng cách biến đổi : 
 , rồi đặt 
 4. Các phép thế Euler 
 E1 : nếu . 
 E2 : nếu . 
 E3 : nếu là nghiệm của tam thức bậc hai . 
 5. Tích phân vi phân nhị thức 
 , với 
 Nếu : Đặt với là BCNN của mẫu số của và . 
 Nếu : Đặt , là mẫu số của . 
 Nếu : Đặt , là mẫu số của . 
Các Ví dụ.
VD1. CMR 
 C1: Sử dụng định nghĩa nguyên hàm 
 C2 : Đặt ( Phép thế E1). 
 .
 Do đó . 
VD2. Tính các nguyên hàm sau . 
 HD : Đặt .
 Ta có : 
 Vậy : . 
VD 3. Tính 
 HD : Đặt .
 Ta có : 
VD4. Tính 
 HD : Đặt . 
 Ta có : 
 và 
 . 
Một số phương pháp đặc biệt
tính tích phân bất định
Sử dụng đồng nhất thức 
a. Nếu gặp tích phân dạng sau : thì ta áp dụng đồng nhất thức : . Từ đó ta được : 
VD1. Tính 
VD2. Tìm các họ nguyên hàm sau : 
b. Tính các tích phân bất định sau : 
c. Phương pháp nhân với biểu thức liên hợp.
 VD. Tính . 
Chia cả tử và mẫu cho một biểu thức thích hợp.
 VD1. Tính 
 HD. Chia cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân cho .
 Sau đó đặt 
 Chú ý : 
 ĐS :.
phương pháp sử dụng nguyên hàm phụ.
 VD1. Tính tích phân bất định 
 HD. Để tính I , ta xét thêm . 
 Sau đó tính và . 
 VD2. Tính các tích phân bất định sau 
 và 
 bằng cách tính và . 
 HD : Ta có 
 Lại có :
 Từ đó ta được : 
Tích phân
I. Định nghĩa tích phân 
1. Công thức Newton – Leibnitz 
 Nếu là một nguyên hàm của trên thì 
Chú ý : Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến số, tức là ta có thể chọn bất kì một chữ số khác để thay cho , ví dụ  
 Vậy ta có : 
2. Các tính chất của tích phân 
 ( Tức là và )
 Nếu biến thiên trên thì 
 là một nguyên hàm của và 
tính tích phân
bằng Phương pháp đổi biến số
 Giả sử ta phải tính . 
&. Đổi biến số dạng 1.
 B1 : Đặt , giả sử 
 B2 : Biến đổi ; 
 B3 : Tìm một nguyên hàm của ;
 B4 : Tính . 
Các ví dụ. Tính các tích phân sau 
1. . (HD : Đặt , ĐS : ).
 Tổng quát : , ( Đặt , ĐS : ). 
2. . (HD. Đặt ; ĐS : ).
 Tổng quát : , ( Đặt , ĐS : )
3. . (HD. Đặt ; ĐS : ). 
 Tổng quát : , ( Đặt , ĐS : ) 
4. . (HD. Đặt ; ĐS : ).
5. . (HD. Đặt ; ĐS : ). 
6. hoặc (ĐS : , )
 HD. Ta tính .
 Đặt 
 ; 
 Từ đó : 
7. . (HD : Đặt ; ĐS :). 
8. , 
 HD. Đặt , 
 , . 
 Ta có : 
 Ta được : 
 9. CMR : , với ; (HD. Đặt ). 
&. Đổi biến số dạng 2.
 B1 : Đặt , giả sử 
 B2 : Biến đổi theo và . Giả sử : 
 B3 : Tìm một nguyên hàm của 
 B4 : Tính 
Các ví dụ. Tính các tích phân sau 
1. , (HD. Đặt ; ĐS : ). 
2. , (HD. Đặt ; ĐS : ). 
3. , (HD. Đặt ; ĐS : ) 
4. , (HD. Đặt ; ĐS : ). 
5. .
 HD. Viết I dưới dạng : 
 Đặt , 
 ; 
 . 
6. 
 HD. Đặt 
 Ta có : 
 , 
 Từ đó : 
7. 
 HD. Đặt và 
 . 
 Ta có :
 Ta tìm các số A, B sao cho : 
 Từ đó : . 
8. . (HD. Đặt ; ĐS : ).
9. . (HD. Đặt ; ĐS : ).
tính tích phân
bằng Phương pháp tích phân từng phần
 Công thức tích phân từng phần 
 Hay : 
Các ví dụ 
Tính các tích phân sau 
1. ; 2. ; 3. ; 
4. ; 5. ; 6. 
7. ; 8. ; 9. 
HD. 
VD3. Xét tích phân 
 Đặt 
 Đặt 
 . 
VD6. Xét tích phân 
 Đặt 
 Đặt 
VD8. Xét tích phân .
 Đặt 
ĐS các câu còn lại : 1. ; 2. ; 4.;
 5. ; 7. ; 9. . 
Tích phân các hàm hữu tỉ 
Các ví dụ.
Bài 1. Tính 
 Đáp số : a. ; b. ; c. ; 
 d. ; e. ; f. .
Bài 2. Tính và 
 Đáp số : ; . 
Bài 3. Tính 
 Đáp số : a. ; b. ; c. ;
 d. ; e. ; f. .
Bài 4. Tính 
Đáp số : a. ; b. ; c. ; d. .
Tích phân các hàm lượng giác
Các ví dụ : Tính các tích phân sau 
Hướng dẫn và đáp số.
VD1. Ta có : 
 Do đó 
 Đặt 
 , 
 Từ đó : 
VD2. Xét tích phân .
Ta có : 
 Đặt ; .
 Từ đó : 
VD3. Xét tích phân 
 Đặt 
 Do đó : 
VD4. Xét 
Ta có : 
 Đặt ; 
 .
VD5. . Xét tích phân .
Ta có : 
 Đặt ; .
 Từ đó : 
 Ta tìm A, B, C sao cho 
 Ta được . 
 Do đó : 
 .
VD6. Xét tích phân 
Ta có : 
Từ đó tính được : . (Do ).
VD7. Xét tích phân 
Ta có : 
Nếu : Ta có 
Nếu . 
 Đặt 
 .
VD8. HD. , đặt .
 Đáp số :
VD9. Xét tích phân 
Ta có : 
 Đặt 
 Từ đó ta được .
Tích phân 
các hàm siêu việt và vô tỉ đơn giản
Các ví dụ : Tính các tích phân sau 
1. 
HD. Đặt .
 ; và 
Ta được : 
 Đặt 
 Do đó : 
2. (HD : Đặt , ĐS : ) 
3. . (HD : Đặt , ĐS : )
 4. , (). 
 HD. Đặt, , ĐS : 
5. . (HD. Đặt , ĐS : ). 
6. . 
HD. Đăt và 
 Đặt .
7. . (HD. Đặt . 
 Sau đó đặt . ĐS : ). 
8. 
HD. Đặt
 Khi 
Tích phân hàm dưới dấu trị tuyệt đối
Các ví dụ 
VD1. Tính các tích phân sau 
 Đáp số : a. ; b. , ; c. ; 
 d. ; e. ; f. . 
HD. VD1.c. Xét tích phân 
Vì 
Nên : 
VD1.f. Xét tích phân 
 Xét hàm , có .
 Lại có , nên 
 Từ đó tính được I.
VD2. Tính tích phân sau tuỳ theo giá trị của a 
 HD : Ta xét hai trường hợp 
 TH1 : Nếu 
 TH2 : Nếu 
VD3. Tính tích phân sau tuỳ theo giá trị của a 
HD : Ta xét ba trường hợp 
 TH1 : Nếu 
 TH2 : Nếu 
 TH3 : Nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 Vậy : 
Các tích phân đặc biệt 
Một số tính chất đặc biệt của tích phân 
1. Nếu là hàm số lẻ trên đoạn ( với ) thì 
CM : Đặt , và 
 Do là hàm số lẻ 
 . 
 ví dụ. Tính các tích phân sau 
 ; 
2. Nếu là hàm số chẵn trên đoạn ( với ) thì 
 . 
3. Tích phân dạng , với là hàm số chẵn trên đoạn , (). 
Cách giải : 
 Đặt , và 
 Do là hàm số chẵn 
 Vậy : (do là hàm chẵn).
 ví dụ. Tính các tích phân sau 
. (ĐS : ). . (ĐS : ). 
. ( ĐS : ) . (ĐS : ) 
4. Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó ta luôn có 
 CM : Đặt , , khi . 
ví dụ. Tính các tích phân sau
. (ĐS : ). .(ĐS : ) 
 TQ : , với . (ĐS : ). 
.(ĐS : ) . (ĐS : ) 
5. Nếu liên tục trên đoạn thì và 
 CM : Đặt 
 KQ1 : Nếu liên tục trên đoạn thì 
 ( CM : đặt ) 
 KQ2 : Nếu liên tục trên đoạn thì 
 ( CM : đặt ) 
ví dụ. Tính các tích phân sau
 . (ĐS : ). . (ĐS : 0). 
 . (ĐS : ). . (ĐS : ). 
6. Nếu liên tục trên đoạn thì 
 CM : Đặt .
Kết quả : Nếu liên tục trên đoạn và thì 
 . 
ví dụ. Tính các tích phân sau
7. Nếu liên tục trên đoạn , () thì 
 CM : Xét , đặt 
Ví dụ. Tính . (ĐS : ). 
8. Nếu liên tục trên R, tuần hoàn với chu kỳ T thì
 . 
 CM : Ta có 
 Xét 
 Đặt , . Từ đó có đpcm. 
Ví dụ. Tính tích phân . (ĐS : ).
Công thức truy hồi 
Các ví dụ 
Bài 1. Cho . CMR : . 
HD. Đặt 
Ta được : 
 đpcm. 
Bài 2. Cho . CMR : . Tính . 
HD. Đặt 
Ta được : 
 Cho n lần lượt các giá trị 1, 2, 3,  , ta được 
 Mà 
 Do đó, từ .
Bài 3. Cho . CMR : . 
HD. Đặt : đpcm.
Bài 4. Cho . CMR : .
HD. Đặt : đpcm.
Bài 5. a. Tính 
 b. CMR : . 
Bài 6. CMR: 
HD. Xét hhai triển Newton 
và tích phân . đpcm. 
Bài 7. CMR: 
Xét khai triển Newton 
và tích phân . đpcm. 
Bài 8. Cho . Hãy biểu diễn qua 
HD. Ta có 
 Đặt 
Ta được : 
Bài 9. Cho tích phân . 
 a. CMR : b. Tính , và biểu diễn qua .
HD. 
a. Ta có 
 , .
 hay . 
b. Ta có 
 , 
 Lại có : 
 , . 
Bài 10. a. CMR : 
 b. Đặt . Hãy biểu diễn qua 
 HD. a. Đặt ; 
 b.Ta có : 
 Đặt 
 Ta được : 
 . Từ đó : . 
Bài 11. Biểu diễn qua 
 ĐS : 
Bài 12. Cho tích phân . 
 Tìm hệ thức liên hệ giữa và ; Tính theo .
 CMR : 
HD. Ta có : 
 Đặt 
 Do đó : 
 , hay . 
 Từ đó, cho n lần lượt các giá trị bằng 1, 2, 3  ta được 
 Mà , nên từ 
 Từ khai triển Newton : 
 Lấy tích phân hai vế ta được đpcm. 
Bài 13. Cho là một số nguyên dương. 
 a. Tính 
 b. Tính tổng . 
HD. 
a. Ta có : 
b. Từ khai triển Newton của 
 Lấy tích phân hai vế ta được : 
Bài 14. Cho là một số nguyên dương. Tính tổng 
 .
HD. Từ khai triển Newton 
 Lấy tích phân hai vế của biểu thức trên với cận từ 1 đến 2, ta được 
 . 
Bài 15. Cho , 
 Tính , với biểu diễn qua . Từ đó tính . 
HD. 
Ta có : 
Ta lại có 
 Vậy : . 
 Giả sử 
 Do đó từ 
Bài 16. CMR : 
HD. Xét hai khai triển Newton
Do đó : 
Lấy tích phân với cận từ 0 đến 1 hai vế của , ta được 
Lại có : 
 và 
Do đó : 
Bất đẳng thức tích phân
Bài 1. Chứng minh rằng : Với hàm liên tục trên , ta luôn có 
Bài 2. Chứng minh rằng 
HD. 
a. , ta có