Ôn thi Đại học và Bồi dưỡng học sinh giỏi - Phương trình và bất phương trình đại số

xảy ra . 
5) Phương pháp 5: Chứng minh nghiệm duy nhất 
6) Phương pháp 6: Đưa về hệ 
7) Phương pháp 7: Đưa về tổng các số không âm. 
8) Phương pháp 8:Tính chất chia hết của nghiệm 
9) Phương pháp 9: Sử dụng đồ thị và các kiến thức về tam thức bậc hai. 
10) Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm số 
B. BÀI TẬP. 
I. Dạng 1: Giải phương trình. 
 1) (Dự bị 2 khối D 2006) : 2x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1         , x R . 
 2) (Dự bị 1 khối B 2006) : 23x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2        , x R . 
 3) (Dự bị 1 khối B 2005) : 3x 3 5 x 2x 4     . 
 4) ( ĐH KD-2005) 2 x 2 2 x 1 x 1 4      ; 
 5) ( ĐH KD-2006) : 22x 1 x 3x 1 0     , x R 
 6)   1 x 1 1 x 2x 5 x      ; 7) 2 22x 3x 5 2x 3x 5 3x      
 8) 10x 1 x 3 1    ; 9) 3x 5 x 1 4    
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 2 
 10) 2x 5 x 2 2x 1     ; 11) 1 x 12x 1 x 1
2 x 1
      
. 
 12)
21 2x 1 x 22x 1
2
    . 
II. Dạng 2: Giải bất phương trình. 
 1) (Dự bị 2 khối B 2005) : 28x 6x 1 4x 1 0     ; 
 2) (Dự bị 1 khối D 2005) : 2x 7 5 x 3x 2     ; 
 3) ( ĐH KD - 02)  2 2x 3x 2x 3x 2 0    ; 
 4) ( ĐH KA-05) 5x 1 x 1 2x 4     ; 
 5) ( ĐH KA-04) 
 22 x 16 7 xx 3
x 3 x 3
   
 
 ; 
III. Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm . 
Thông thường ở dạng này ta sử dụng một trong các phương pháp sau: 
 * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến của hàm số. 
 * PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thị hàm số. 
 1) (Dự bị 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình: 4 2x 1 x m   có nghiệm. 
 2) (Dự bị 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình: 
 2m x 2x 2 1 x(2 x) 0        
 có nghiệm x 0;1 3    . 
 3) ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình 4 23 x 1 m x 1 2 x 1     có nghiệm 
thực . 
 4) ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị của mọi m, phương trình 
2x 2x 8 m(x 2)    có 2 nghiệm thực phân biệt . 
 5) ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình : 
4 42x 2x 2 6 x 2 6 x m       m R có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 
 6) (Khối D-2004). CMR: 
phương trình sau có đúng một nghiệm: 5 2x x 2x 1 0    . 
 7) ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm : 
 2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x            
 . 
 8) ( ĐH KB-2006): Tìm m để pt: 2x mx 2 2x 1    
 có 2 nghiệm thực phân biệt 
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 3 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH . 
Để giải hệ phương trình và hệ bất phương trình , ngoài những phương pháp như: 
- cộng đại số; thế; đồ thị; sử dụng định thức cấp hai. 
- Chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp bất đẳng thức. 
I. Dạng 1: Giải hệ phương trình. 
 1) (Dự bị 1 khối D 2006) :
 
2 2x xy y 3(x y)
32 2x xy y 7 x y
    

    
,  x,y R . 
 2) (Dự bị 2 khối B 2006) :
  
  
2 2x y x y 13
2 2x y x y 25
   

   

,  x,y R . 
 3) (Dự bị 2 khối A 2006) :  
3 3x 8x y 2y
2 2x 3 3 y 1
   

  
,  x,y R . 
 4) (Dự bị 1 khối A 2006) : 
   
  
2x 1 y y x 4y
2x 1 y x 2 y
    

    

,  x,y R . 
 5) (Dự bị 1 khối A 2005) : 
 
2 2x y x y 4
x x y 1 y(y 1) 2
    

    
, 
 6) (Dự bị 2 khối A 2005) : 2x y 1 x y 1
3x 2y 4
     

 
. 
 7) (Dự bị 2 khối A 2007) : 
4 3 2 2x x y x y 1
3 2x y x xy 1
   

  
. 
 8) ( ĐH KA-2008): 
 
52 3 2x y x y xy xy
4
54 2x y xy 1 2x
4
      

     
,  x,y R . 
 9) ( ĐH KB-2008): 
4 3 2 2x 2x y x y 2x 9
2x 2xy 6x 6
    

  
,  x,y R . 
 10) ( ĐH KD-2008): 
2 2xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y
    

   
,  x,y R . 
 11) ( ĐH KB-2002) 
3 x y x y
x y x y 2
   

   
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 4 
 12) (ĐH KD-2002) 
3x 22 5y 4y
x x 14 2 yx2 2
  
  
 
 . 
 13) ( ĐH Khối A -2003) 
1 1
x y
x y
32y x 1
  
 




 . 
 14) (ĐH KB- 03) 
2y 2
3y 2x
2x 2
3x 2y










 15) ( ĐH KA-2006) 
x y xy 3
x 1 y 1 4
   

   
II. Dạng 2: 
Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm. 
 1) (Dự bị 1 khối D 2005) :Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 
2x x 1 2 x 17 7 2005x 2005
2x (m 2)x 2m 3 0
      

     
. 
 2) (Dự bị 1 khối B 2007) :Chứng minh rằng hệ phương trình 
yxe 2007
2y 1
xye 2007
2x 1
  


   
có đúng hai nghiệm thỏa điều kiện x>0, y>0. 
 3) ( ĐH K-D:2007) Tìm m để hệ 
1 1x y 5
x y
1 13 3x y 15m 103 3x y
    

     

 có nghiệm thực . 
 4) (CĐ Khối A+B+D: 2008) Tìm m để hệ phương trình x my 1
mx y 3
 
  
có nghiệm (x;y) thỏa: Điều kiện x.y<0. 
 5) ( ĐH KD-2004) 
x y 1
x x y y 1 3m
  

  
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 5 
PHÀN II. MỘT SỐ BÀI TỔNG HỢP (hay & khĩ) 
1. 2001x4004
2002
2001x8
33



 
2. xx32x2....x2x  
3. Tìm m để phương trình :     m5x3x1x 2  
cĩ 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn: 1x
1
x
1
x
1
x
1
4321
 
4. 









08y12y6z
08z12z6x
08x12x6y
23
23
23
5. 1x3x2x91x5 23  
6. Cho dcba;bdca0  
GPT: 2222 dxcxbxax  
7. m1xx1xx 22  . Tìm m để phương trình cĩ nghiệm 
8. 






21214.30y2001x
21212001y4.30x
9. 












8
1xyz
4
3xzyzxy
2
3zyx 222
10.  22x1978119781x  
11. 2
2
x1
xx2
x
x1

 
12. Tìm m để hệ phương trình sau cĩ đúng 2 nghiệm:
 






2myx
256yx
88
8
13. 3 34 xx4.65x16  
14. Tìm nghiệm dương của phương trình: 
x
1x3
x
11
x
1xx2  
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 6 
15. 1x16128x32x
327
3333  
16.    1x28x31x11x23 22  
17. Cho hệ phương trình 
 
 
2 2
2
2 1
4
x y a
x y
   

 
a) Giải hệ phương trình với a = 2. 
 b) Tìm các giá trị của a để hệ cĩ nghiệm duy nhất 
18. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ PT sau : 





233 zyx
zyx
19. Cho f(x) = ax2 + bx + c . Biết phương trình f(x) = x vơ nghiệm. Chứng minh rằng phương 
trình af2(x) + bf(x) + c = x vơ nghiệm 
20. (Olympic 99) Giải phương trình 2 4 233 1 1
3
x x x x      . 
21. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 3 32 3 3 2x x   . 
22. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 4 2 2x x x    
23. (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 2 24 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x         . 
24. Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 32 4
2
xx x   , x ≥ - 1. 
25. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 32( 3 2) 3 8x x x    . 
26. (Olympic 95-05) Giải phương trình 215 (30 4 ) 2004( 30060 1 1)
2
x x x    
27. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 25 14 9 20 5 1x x x x x       . 
28. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt. 
3 21 1 12( 1) 4(1 ) 4 6 0x x xm m m
xx x x
         . 
29. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 3 3 244 4 4(1 ) (1 ) 1 (1 )x x x x x x x x         . 
30. (Olympic 95-05) Giải phương trình 
2 2 219 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)x x x x x x x          . 
31. (Olympic 95-05) Giải phương trình 2 28 816 10 267 2003x x x x      . 
32. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm duy nhất. 2 21 1x x x m x     . 
33. (Olympic 95-05) Giải phương trình: 22 15 32 32 20x x x    
34. (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm duy nhất. 
22 4 8 2x x x x m       . 
35. (Olympic 06) Giải phương trình 2 2( 1) 2 3 1x x x x     . 
36. (Olympic 06) Giải phương trình 2 21 1 1 2
2
x x x    . 
37. (Olympic 06) Giải phương trình 
2 2 24( )( 3 2007) 2005 4 4 30 1 2006x x x x x x x x         . 
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 7 
38. (Olympic 04_11) Giải phương trình 
2
3 1
1
xx
x
 

39. (Olympic 06) Giải phương trình 1 3 1 0
4 2
x
x x
  
 
. 
40. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 29 16 2 2 4 4 2x x x     . 
41. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 
2 2 2(1 3) 2 (1 3) 2 3 2 2 2x x x x x x           . 
42. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 
2
35
121
xx
x
 

. 
43. Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
( 1)( 1) 8 0
1
41 1
x y xy
x y
x y
    

     
. 
44. Giải hệ phương trình 
1 1 120 11 2008
1
x y z
x y z
xy yz zx
                   
   
45. (Olympic 05) Giải hệ phương trình 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) (3 1)
( ) (4 1)
( ) (5 1)
x y z x x y z
y z x y y z x
z x y z z x y
    

   
    
. 
46. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình 
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z x
    

   
    
47. (Olympic 06) Giải hệ phương trình . 
2 2
2 2
2 2
6 (1 9 )
6 (1 9 )
6 (1 9 )
x y x
y z y
z x z
  

 
  
. 
48. Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình 
2
2
2
2
2 2
25
3
9
3
16
yx xy
y z
z xz x
   

  

   


 Tính giá trị P = xy + 2yz + 3zx. 
49. Giải hệ phương trình 
121 2
3
121 6
3
x
y x
y
y x
    

      
 ƠN THI ĐẠI HỌC & BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
 Ngọc Vinh 8 
50. (Olympic 2000) Giải hệ phương trình 
53 2 4
42
53 2
42
y
y x
x
y x
    

      
51. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
21 1
21 1
x y y
y x x
    

   
52. Cho hai số x, y ≠ 0 thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy. Tìm GTLN của