Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề 6: Tích phân và ứng dụng

ln x x a C+ + + 
cotgx ln sin x C+ 
Phöông phaùp 1: 
• Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân 
haøm cô baûn 
• Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi 
löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. 
Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 
 1. 3 1( ) cos
1
f x x
x x
= + + − 2. 2
2x 5f(x)
x 4x 3
−= − + 
76
Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân 
Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. 5cos sinx xdx∫ 2. costgx dxx∫ 3. 1 ln x dxx+∫ 
I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN
1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [ ];a b . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 
 thì: 
 [ ]( ) ( ) ( ) ( )b ba
a
f x dx F x F b F a= = −∫ ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz) 
2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: 
• Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : ( ) 0
b
a
f x dx =∫ 
• Tính chaát 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ 
• Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân [ ];a b thì: ( )b
a
cdx c b a= −∫ 
• Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0b
a
f x dx ≥∫
• Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì 
 ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ 
• Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤ thì 
 ( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ − 
• Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ ];a b thì 
 [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b
a a
b
a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
• Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø k laø moät haèng soá thì 
 . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫
• Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ ];a b vaø c laø moät haèng soá thì 
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
• Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân [ ];a b cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa 
laø : ( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ =
 77
Ngô Bá Giang – Chuyên ñề tích phân và ứng dụng 
Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 
78
1) 
1
3
0
x dx
(2x 1)+∫ 2) 
1
0
x dx
2x 1+∫ 3) 
1
0
x 1 xdx−∫ 4) 1 2
0
4x 11 dx
x 5x 6
+
+ +∫ 
5) 
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
−
− +∫ 6) 
3 3
2
0
x dx
x 2x 1+ +∫ 7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+∫ 8) 32
0
4sin x dx
1 cosx
π
+∫ 
9)
4
2
0
1 sin 2xdx
cos x
π
+∫ 10) 2 4
0
cos 2xdx
π
∫ 11) 2
6
1 sin 2x cos2xdx
sin x cosx
π
π
+ +
+∫ 12)
1
x
0
1 dx
e 1+∫ . 
13) dxxx )sin(cos
4
0
44∫ −
π
 14) ∫ +
4
0 2sin21
2cos
π
dx
x
x 15) ∫ +
2
0 13cos2
3sin
π
dx
x
x 16) ∫ −
2
0 sin25
cos
π
dx
x
x 
17) ∫ −+−
0
2
2 32
4 dx
xx
 18) ∫ ++−
1
1
2 52xx
dx 
Baøi 2: 
1) 
3
2
3
x 1dx
−
−∫ 2) 
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫ 3) 5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −∫ 4) 
2
2
2
1
2
1x 2
x
+ −∫ dx 
5) 
3
x
0
2 4dx−∫ 6) 
0
1 cos2xdx
π
+∫ 7) 2
0
1 sin xdx
π
+∫ 8) dxxx∫ −2
0
2 
Baøi 3: 
1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f(x) A sin x B= π + thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän 
 vaø 'f (1) 2=
2
0
f(x)dx 4=∫ 
2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : 
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫ 
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : 
 1) DAÏNG 1:Tính I = baèng caùch ñaët t = u(x) 
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx∫
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: [ ] ∫=∫ )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Caùch thöïc hieän: 
Böôùc 1: Ñaët t dxxudtxu )()( '=⇒=
Böôùc 2: Ñoåi caän : 
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=⇒=
=
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc 
 [ ]∫= b fI (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) ∫= )(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxu
Ngô Bá Giang – Chuyên ñề tích phân và ứng dụng 
Tính caùc tích phaân sau: 
1) 
2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫ 2) 2 5
0
cos xdx
π
∫ 3) 4 2
0
sin 4x dx
1 cos x
π
+∫ 4)
1
3 2
0
x 1 x dx−∫ 
5) 
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+∫ 6) 4 4
0
1 dx
cos x
π
∫ 7) e
1
1 ln xdx
x
+∫ 8) 4
0
1 dx
cosx
π
∫ 
9) 
e 2
1
1 ln xdx
x
+∫ 10) 11) 1 5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫ 6 2
0
cosx dx
6 5sin x sin x
π
− +∫ 12) 
3 4
0
tg x dx
cos2x∫ 
13) 
4
0
cos sin
3 sin 2
x x dx
x
π
+
+∫ 14) ∫ +
2
0 22 sin4cos
2sin
π
dx
xx
x 15) ∫ −+ −
5ln
3ln 32 xx ee
dx 16) ∫ +
2
0
2)sin2(
2sin
π
dx
x
x 
17) ∫3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx 18) ∫ −4
0
8 )1(
π
dxxtg 19) ∫ +
−2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx 20) ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
π
dx
x
xx 
21) ∫ +
2
0 cos1
cos2sin
π
dx
x
xx 22) ∫ +2
0
sin cos)cos(
π
xdxxe x 23) ∫ −+
2
1 11
dx
x
x 24) ∫ +
e
dx
x
xx
1
lnln31 
25) ∫ +
−4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x 
 2) DAÏNG 2: Tính I = baèng caùch ñaët x = 
b
a
f(x)dx∫ (t)ϕ 
Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI b
a
)(')()(
Caùch thöïc hieän: 
Böôùc 1: Ñaët dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒=
Böôùc 2: Ñoåi caän : α
β
=
=⇒=
=
t
t
ax
bx
Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc 
 (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) [ ]∫=∫= β
α
ϕϕ dtttfdxxfI b
a
)(')()(
Tính caùc tích phaân sau: 
1) 
1
2
0
1 x dx−∫ 2) 1 2
0
1 dx
1 x+∫ 3) 
1
2
0
1 dx
4 x−∫ 4)
1
2
0
1 dx
x x 1− +∫ 
5)
1
4 2
0
x dx
x x 1+ +∫ 6) 
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +∫ 7) 
2
22
2
0
x dx
1 x−∫ 8) 
2
2 2
1
x 4 x dx−∫ 
 79
Ngô Bá Giang – Chuyên ñề tích phân và ứng dụng 
9) 
2
3
2
2
1 dx
x x 1−∫ 10) 
3 2
2
1
9 3x dx
x
+∫ 11) 1 5
0
1
(1 )
x dx
x
−
+∫ 12) 
2
2
2
3
1
1
dx
x x −∫ 
13) 
2
0
cos
7 cos2
x dx
x
π
+∫ 14) 
1 4
6
0
1
1
x dx
x
+
+∫ 15) 20
cos
1 cos
x dx
x
π
+∫ 16) ∫ ++−
0
1
2 22xx
dx 
17) ∫ ++
1
0 311 x
dx 18) ∫ −
−2
1 5
1 dx
x
xx 
II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: 
Tính caùc tích phaân sau: 
1)
8
2
3
1
1
dx
x x +∫ 2) 
7 3
3 2
0 1
x dx
x+∫ 3) 
3
5 2
0
1x x dx+∫ 4) ln2 x
0
1 dx
e 2+∫ 
5) 
7
3
3
0
1
3 1
x dx
x
+
+∫ 6) 
2
2 3
0
1x x d+∫ x 7) ∫ +
32
5 2 4xx
dx 
III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: 
Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: 
 [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
 Hay: [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv .
Caùch thöïc hieän: 
Böôùc 1: Ñaët 
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=⇒=
=
Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : [ ]∫ ∫−=b
a
b
a
b
a vduvuudv .
 Böôùc 3: Tính [ vaø ]bavu. ∫b
a
vdu
Tính caùc tích phaân sau: 
 1) 
2
5
1
ln xdx
x∫ 2) 
2
2
0
x cos xdx
π
∫ 3) 1 x
0
e sin xdx∫
 4) 
2
0
sin xdx
π∫ 5) 6) e 2
1
x ln xdx∫ 3 2
0
x sin xdx
cos x
π
+∫ 
 80
Ngô Bá Giang – Chuyên ñề tích phân và ứng dụng 
 7) 8) 2
0
xsin x cos xdx
π∫ 4 2
0
x(2 cos x 1)dx
π
−∫ 9) 
2
2
1
ln(1 x)dx
x
+∫ 
 10) 11) 12) 
1
2 2x
0
(x 1) e dx+∫
e
2
1
(x ln x) dx∫ 2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+∫ 
 13) 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x +∫ 14) 
1
2
0
xtg xdx∫ 15) ∫ −1
0
2)2( dxex x
 16) 17) ∫ +
1
0
2 )1ln( dxxx ∫
e
dx
x
x
1
ln 18) ∫ +2
0
3 sin)cos(
π
xdxxx 
 19) 20) ∫ ++
2
0
)1ln()72( dxxx ∫ −
3
2
2 )ln( dxxx
MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN TÍCH PHAÂN QUAN TROÏNG VAØ ÖÙNG DUÏNG 
Baøi 1: 1) CMR neáu f(x) leû vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : 
a
a
f(x)dx 0
−
=∫ 
 2) CMR neáu f(x) chaün vaø lieân tuïc treân [-a;a] (a>0) thì : 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=∫ ∫
Baøi 2: 1) CMR neáu f(t) laø moät haøm soá lieân tuïc treân ñoïan [0,1] thì: 
 a) 
2 2
0 0
f(sin x)dx f(cos x)dx
π π
=∫ ∫ 
 b) 
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
π ππ=∫ ∫ 
AÙP DUÏNG: Tính caùc tích phaân sau: 
 81
1) 
n2
+
n n
0
cos x dx vôùi n Z
cos x sin x
π
∈+∫ 2) 
42
4 4
0
cos x dx
cos x sin x
π
+∫ 3) 
62
6 6
0
sin x dx
sin x cos x
π
+∫ 
4) 5) 5
0
xsin xdx
π∫ 2 2
2
4 sin
x cosx dx
x
π
π−
+
−∫ 6) 
1 4
2
1
sin
1
x x dx
x−
+
+∫ 
7) 2
0
xsin x dx
4 cos x
π
−∫ 8) 4 30 cos sinx x xd
π∫ x 
Baøi 3:CMR neáu f(x) lieân tuïc vaø chaün treân R thì +
0
( ) ( ) vôùi R vaø a > 0
1x
f x dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈+∫ ∫ ; a 1≠ 
AÙP DUÏNG : Tính caùc tích phaân sau: 
 2) 
1 2
1
1
1 2x
x dx
−
−
+∫ 3) 
2sin
3 1x
x dx
π
π− +∫ 1) 
1 4
1 2 1
x
x dx
− +∫
Ngô Bá Giang – Chuyên ñề tích phân và ứng dụng 
IV .ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG:
 Coâng thöùc: 
 82
1C
y
2C
y
2C
x
1C
x
]dxxgxfS )()(
 [∫ −= b
a
[ ]∫ −= b
a
dyygyfS )()(
Tính dieän tích cuûa caùc hình phaúng sau: 
1) (H1):
2
2
xy 4
4
xy
4 2
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 2) (H2) : 
2y x 4x 3
y x 3
⎧ = − +⎪⎨ = +⎪⎩
 3) (H3):
3x 1y
x 1
y 0
x 0
− −⎧ =⎪ −⎪ =⎨⎪ =⎪⎩
4) (H4): 5) (H
2
2
y x
x y
⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩
5): 2
y x
y 2 x
⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩
 6) (H6):
2y x 5 0
x y 3 0
⎧ + − =⎨ + − =⎩
7) (H7):
ln xy
2 x
y 0
x e
x 1
⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪ =⎪⎩
 8) (H8) : 
2
2
y x 2x
y x 4
⎧ = −⎪⎨
x= − +⎪⎩
 9) (H9):
2 3 3y x x
2
y x
⎧
2
= + −⎪⎨⎪ =⎩
10) (H10): 11) 
2y 2y x 0
x y 0
⎧ − + =⎨ + =⎩ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
 12) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Δ
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC x
V. ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN TÍNH THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY. 
 Coâng thöùc: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=Δ
=Δ
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)( 1 yfxC =
)(:)( 2 ygxC =
ay =
by =
O
y
x
x
)(H
a b
)(:)( 1 xfyC
a= =
)(:)( 2 xgyC
bx =
O
=
Ngô Bá Giang – Chuyên ñề tích phân và ứng dụng 
b
a
x
y
0=x
O
)(:)( yfxC =
by =
ay =
a b0=y
)(:)( xfyC =ax =
bx =
x
y
O
 [ ] dxxfV b
a
2
)(∫= π [ ] dyyfV b
a
2
)(∫= π
Baøi 1: Cho mieàn D giôùi haïn bôûi hai ñöôøng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 
 Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo