Ôn thi Đại học môn Toán - Chủ đề: Số phức và ứng dụng

Số phức và ứng dụng
Số phức, kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Đối với chương trình phổ thông nói chung và các bài toán olympic nói riêng, số phức cũng có những ứng dụng hết sức ấn tượng. Loạt bài giảng này cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số phức và các ứng dụng của số phức trong giải toán. Một điều mấu chốt cần hiểu là: số phức cũng đơn giản thôi!
Bài 1. (31/5/2009)
1. Sơ lược về lịch sử số phức
Lịch sử phát triển các khái niệm số theo chu trình N à Z à Q à R à C được thúc đẩy bởi sự phát triển của thực tế sản xuất và toán học. Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc đó cần các số tự nhiên. Số âm xuất hiện khi bắt đầu có chuyện nợ nần, có chuyện trừ số nhỏ cho số lớn. Số hữu tỷ xuất hiện khi phải thực hiện các phép chia  không hết. Còn số vô tỷ xuất hiện khi người ta thấy cạnh huyền của tam giác vuông cân cạnh 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực.
Rất thú vị là số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc hai kiểu như x2 + x + 1 = 0, x2 + 1 bằng 0. Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và không có gì để bàn. Thế nhưng với phương trình x3 -3x + 1 thì khác. Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm. Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do D < 0. Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này. Ta dùng số phức, dùng nghiệm phức để cuối cùng tìm ra các nghiệm thực. Tựa như con kiến đang đi trên một đường thẳng thì gặp một vũng nước lớn ngáng đường. Có con kiến sẽ quay trở lại, có con kiến đi vào nước để bị chìm, nhưng có con kiến biết đi vòng (sang chiều thứ hai) để sau đó quay trở lại với con đường cũ.
Lịch sử số phức gắn liền với những cái tên như Bombelli, Rene Descartes, Euler, De Moivre, Wallis, Hamilton, Gauss, Cauchy . Về lịch sử số phức có thể xem bài viết của Orlando Merino ở địa chỉ
www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf
Câu hỏi. Các tập hợp số thường được ký hiệu là N (natural numbers), Q (quotient), R (real numbers), C (complex numbers). Vậy tại sao tập hợp các số nguyên lại được ký hiệu là Z? 
2. Dạng đại số của số phức
	Số phức là các số có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực, còn i là đơn vị ảo. Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là C. Vậy
	C = { a+bi | a, b Î R}
Trên tập hợp C, ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân số phức như sau
	(a + bi) + (a’+b’i) = (a+a’) + (b + b’)i
	(a + bi).(a’+b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’+a’b)i
Dễ dàng kiểm tra được các phép toán + và . đều có tính giao hoán và kết hợp. Phép cộng có phần tử trung hoà là 0 và phép nhân có phần tử trung hoà là 1.
Từ định nghĩa ta suy ra i2 = (0 + 1.i).(0 + 1.i) = (0.0-1.1) + (0.1+0.1)i = -1. 
Các số phức thường được ký hiệu ngắn gọn bằng chữ cái z. Ta thường viết “Cho số phức z = a + bi”.
Với số phức z = a + bi thì a được gọi là phần thực của z và được ký hiệu là a = Re(z), b được gọi là phần ảo của z và được ký hiệu là b = Im(z).
Với số phức z = a + bi thì số phức được gọi là phức liên hợp của z. Ta có các tính chất cơ bản sau đây
Đại lượng được gọi là mô-đun của số phức z và được ký hiệu là |z|. Ta có các tính chất cơ bản sau (chứng minh!)
|z.z’| = |z|.|z’|
|z + z’| £ |z| + |z’| 
Một một số phức z khác 0 đều có nghịch đảo của nó. Cụ thể từ đẳng thức 
ta dễ dàng suy ra
Từ đây ta cũng suy ra quy tắc chia hai số phức như sau
Phép luỹ thừa các số phức được thực hiện bằng phép nhân tuần tự.
Cuối cùng, ta xét bài toán khai căn số phức. Ví dụ, tìm căn bậc hai của số phức 1 + i, tức là tìm số phức z = x + iy sao cho z2 = 1 + i. Ta có
	z2 = 1 + i ó x2 – y2 + i.2xy = 1 + i
ó	x2 – y2 = 1, 2xy = 1. Giải hệ này ta tìm được 2 giá trị của z là 
Bằng phương pháp này, ta có thể tìm được căn bậc hai của một số phức z bất kỳ. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp tương tự cho các căn bậc lớn hơn gặp nhiều khó khăn. Rất may mắn là để giải quyết vấn đề căn bản này, ta có thể sử dụng dạng lượng giác. 	
Câu hỏi. Hãy tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi.
3. Dạng lượng giác của số phức 
Số phức z = a + bi có thể biểu diễn như điểm M có toạ độ (a, b) trong mặt phẳng Oxy. Ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo và Oxy là mặt phẳng phức. Đặt và gọi j là góc giữa OM và Ox thì ta có
	a = rcosj, b = rsinj
Từ đó z = r(cosj + isinj). Đây chính là dạng lượng giác của số phức z. Góc j được gọi là argument của số phức z.
Để thấy rõ sự tiện lợi của dạng lượng giác, ta hãy xem kết quả của phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác. 
Giả sử z = r(cosj + isinj), z’ = r’(cosj’ + isinj’) thì 
	z.z’ = r(cosj + isinj)* r’(cosj’ + isinj’) = rr’[(cosjcosj’ - sinjsinj’) + i(cosjsinj’ + cosj’sinj)] = r[cos(j+j’) + isin(j+j’)].
Như vậy phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác rất đơn giản: các môđun được nhân với nhau và các argument được cộng với nhau. Tương tự với phép nghịch đảo và phép chia:
Nếu áp dụng tuần tự quy tắc nhân nói trên, ta dễ dàng chứng minh được công thức sau
	[r(cosj + isinj)]n = rn(cos nj + sin nj)
Công thức này được gọi là công thức Moivre.
Sử dụng công thức này, ta có thể dễ dàng tính luỹ thừa của một số phức. Chẳng hạn nếu cần tính (1+i)100, ta viết
Từ đó
Chính sự đơn giản của phép luỹ thừa sẽ giúp chúng ta có thể khai căn được các số phức. Giả sử ta cần tìm căn bậc n của số phức z = r(cosj + isinj). Ta tìm căn dưới dạng w = r(cosx + isinx). Theo định nghĩa, w là căn bậc n của z khi và chỉ khi wn = z. Từ đó, áp dụng công thức Moivre, ta được
	 rn(cosnx + isinnx) = r(cosj + isinj) 
Từ đó suy ra 
với k nguyên. Do tính tuần hoàn của hàm số sinx và cosx, các giá trị k cách nhau một bội số của sẽ cho ta các số phức w bằng nhau, vì vậy chỉ cần chọn k = 0, 1, , n-1 là đủ. Ta có thể kết luận 
Định lý. Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. z = r(cosj + isinj) với r ¹ 0 là một số phức. Khi đó có đúng n căn bậc n của z, là
4. Một vài ứng dụng của số phức
Số phức tìm được ứng dụng trong hầu khắp các chuyên ngành của toán học. Đối với toán phổ thông, số phức có ứng dụng trong đại số, lượng giác, tổ hợp, hình học. Dưới đây ta xem xét hai ví dụ nhỏ. Các ứng dụng khác của số phức sẽ được đề cập trong các bài tiếp theo. 
Ví dụ 1. Cho dãy số {xn} xác định bởi x0 = 1, x1 = 2, xn+1 = xn – xn-1 với mọi n = 1, 2,  Tìm công thức tổng quát tính xn.
Lời giải. Phương trình đặc trưng x2 – x + 1 = 0 có hai nghiệm là . Từ đó xn có dạng trong đó c1, c2 là các hằng số. Thay n = 0, 1 vào, ta được hệ phương trình
	c1 + c2 = 1, 
Từ đó tìm được 
Như thế 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong mặt phẳng tam giác. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng A, B, C hoặc tâm I đường tròn nội tiếp tam giác.
Bình luận. Bài toán này có lời giải hình học khá phức tạp. Cụ thể là cần đến kết quả sau: 
	AB.MC2 + BC.MA2 + CA.MB2 ³ AB.BC.CA.	
(Dùng tâm tỉ cự)
Sau đó dùng phép nghịch đảo.
Lời giải dùng số phức rất ngắn gọn và ấn tượng. Chỉ cần dùng một hằng đẳng thức đại số quen thuộc và biểu diễn hình học của số phức.
Lời giải. Ta có hằng đẳng thức
	(1)
Đúng với mọi a, b, c đôi một khác nhau và với mọi m. Hằng đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách để ý vế trái là một tam thức bậc 2 theo m và có giá trị bằng 1 tại 3 điểm phân biện a, b, c, do đó đồng nhất 1. 
Để chứng minh bất đẳng thức đề bài, ta đặt tam giác ABC lên mặt phẳng phức và gọi m, a, b, c tương ứng là toạ vị của M, A, B, C tương ứng. Khi đó MA = |m-a|, MB = |m-b|, |MC| = |m-c|, AB = |a-b|, BC = |b-c|, CA = |c-a|. Áp dụng bất đẳng thức tam giác từ (1) suy ra
và đó chính là điều phải chứng minh.
Việc xét điều kiện xảy ra dấu bằng xin dành cho các bạn như một bài tập.
5. Câu hỏi và bài tập
1. Ứng dụng công thức Moivre. 
Hãy tính a) (1+cosj+isinj)n b) căn bậc 3 của -i
2. Lại là Moivre. 
Chứng minh rằng nếu x+1/x = 2cosj thì xn+1/xn=2cosnj 
3. Phương trình với hệ số phức. 
Giải các phương trình sau 
a) 2(1+i)x2-4(2-i)x-5-3i=0
b) (x+i)n = (x-i)n 
4. Giải phương trình bậc 3 bằng số phức. 
Phương trình x3 + px + q = 0 với p, q là các số thực có thể giải bằng cách đặt x = u + v, thay vào phương trình, ta được u3 + v3 + (3uv + p)(u+v) + q = 0. Từ đó nếu chọn uv sao cho 3uv + p = 0 thì u3 + v3 + q = 0. Suy ra u3, v3 là nghiệm của phương trình X2 + qX – p3/27 = 0. Nếu D = q2 + 4p3/27 ³ 0 thì mọi thứ ổn. Nhưng nếu D < 0 thì sao? Hãy dùng số phức để xử lý tình huống này.
5. Các hệ số nhị thức. 
Tìm công thức rút gọn các tổng sau