Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Phương pháp hàm số trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Phương pháp hàm số trong giải PT-BPT-HPT
I.Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số ñể giải PT-BPT-HPT:
ðịnh lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của pt
trên D : f(x)=k không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k. Do f ñồng biến nên
*x>a suy ra f(x)>f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
*x<a suy ra f(x)<f(a)=k nên pt f(x)=k vô nghiệm
Vậy pt f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Chú ý:* Từ ñịnh lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
Bài toán yêu cầu giải pt: F(x)=0. Ta thực hiện các phép biến ñổi tương ñương ñưa phương trình
về dạng f(x)=k hoặc f(u)=f(v) ( trong ñó u=u(x), v=v(x)) và ta chứng minh ñược f(x) là hàm luôn
ñồng biến (nghịch biến)
Nếu là pt: f(x)=k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh ñó là nghiệm duy nhất.
Nếu là pt: f(u)=f(v) ta có ngay u=v giải phương trình này ta tìm ñược nghiệm.
* Ta cũng có thể áp dụng ñịnh lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất
nghiệm.
ðịnh lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn
ñb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của pt: f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f ñồng biến còn g nghịch
biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn ñến pt f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a.
Vậy pt f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
Chú ý: Khi gặp pt F(x)=0 và ta có thể biến ñổi về dạng f(x)=g(x), trong ñó f và g khác tính ñơn
ñiệu. Khi ñó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh ñó là nghiệm duy nhất.
ðịnh lí 3:Cho hàm số y=f(x) có ñạo hàm ñến cấp n và pt có m nghiệm, khi ñó pt có nhiều nhất
là m+1 nghiệm.
ðịnh lí này là hệ quả của ðịnh lí Roll.
ðịnh lí 4: Nếu hàm số y=f(x) luôn ñồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì
.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 .
 .
.
.
Giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay ñặt ẩn phụ sẽ gặp
nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm ñồng biến
và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo ñịnh lí 1 ta có ñược x=1 là nghiệm duy nhất.
Vậy ta có cách giải như sau.
ðK: 
Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
 nên hàm số f(x) luôn ñồng biến.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x>1 suy ra f(x)>f(1)=4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x<1 suy ra f(x)<f(1)=4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho.
Chú ý:* vì các hàm số y=ax+b với a>0 là một hàm ñồng biến và nếu f(x) là hàm ñồng biến thì
hàm ( với ñiều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm ñồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra
VT của pt là hàm ñồng biến.
* Khi dự ñoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận
giá trị là số chính phương.
2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến ñổi tương ñương hay ñặt ẩn phụ sẽ gặp khó
khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm ñồng biến và pt có
nghiệm x=1. Do ñó pt này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)
3) Với ñường lối như hai bài trên thì ta khó khăn ñể giải quyết ñược bài toán này. Tuy nhiên
nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là
x+2=(x+1)+1 và 2x^2+1=(2x^2)+1, do vậy nếu ñặt thì phương trình ñã
cho trở thành:
, trong ñó là một hàm liên tục và có
 nên f(t) luôn ñồng biến. Do ñó
Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
, do vậy nếu ñặt
 , khi ñó phương trình trở thành:
, trong ñó với t>0 . Ta
thấy f(t) là hàm liên tục và ñồng biến, do vậy
.
Có nhiều phương trình ñể giải nó ta dự ñoán ñược một số nghiệm và sau ñó ta chứng minh ( dựa
vào ñịnh lí 3) số nghiệm của phương trình không vượt quá số nghiệm ta vừa dự ñoán. Ta xét ví
dụ sau
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
.
.
Giải:
1) Ta thấy pt có hai nghiệm x=0 và x=1. Ta chứng minh phương trình ñã cho có không quá hai
nghiệm. ðể có ñiều này ta cần chứng minh hàm số có
g''(x)>0 (vì khi ñó theo ñ/l 3 suy ra g'(x) có nhiều nhất một nghiệm dẫn ñến g(x) có nhiều nhất
hai nghiệm), ñiều này luôn ñúng vì 
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
2) ðk: x>-1/2.
, trong ñó là hàm liên tục và ñồng biến. Do ñó
Xét hàm số , ta có: , suy ra pt
g’(x)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn ñến pt g(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x=0 và
x=1 là hai nghiệm của pt g(x)=0
nên phương trình ñã cho có hai nghiệm x=0 và x=1.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
.
Giải:
ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau
 * Chứng minh phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm: ðể chứng minh ñiều này, ta cần chứng
chứng minh f(x) liên tục trên D và tồn tại hai số a,b sao cho f(a).f(b)<0
 * Tiếp theo ta chứng minh f(x) là hàm luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Trở lại bài toán:
Xét hàm số .Ta có f(x) là hàm liên tục trên R và f(0).f(2)<0, dẫn ñến
pt f(x)=0 luôn có nghiệm
Giả sử là nghiệm của phương trình f(x)=0, khi ñó . Từ ñây ta
suy ra ñược . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với x>=1
Ta có nên f(x) là hàm ñồng biến.
Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm f(x) thì chúng ta không thể có ñược f(x) là hàm ñồng
biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác ñịnh của x. ðiều này ta có ñược là nhờ vào bản thân của
phương trình.
*ðể chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác ñó là khảo
sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra ñược ñồ thị của hàm f(x)
chỉ cắt Ox tại một ñiểm.
 Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính ñơn ñiệu vào giải một số dạng toán về 
phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn. Thông qua các ví dụ ñó hi vong các em có
thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng ñược những dạng phương trình nào có thể
dùng ñồng biến, nghịch biến . Bây giờ ta ñi xét một số bài toán về Bất Phương trình.
Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:
.
.
Giải:
1) ðK: .
Xét hàm số 
Ta dễ dàng chứng minh ñược f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6.
Do ñó 
Kết hợp với ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là: .
2) ðK: .
Xét hàm số , ta có
 suy ra f(x) là hàm ñồng biến
Mặt khác: 
Do vậy Bpt 
Kết hợp ñiều kiện ta có nghiệm của Bpt là 
 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 
Giải:
Từ (2) ta suy ra ñược |x|,|y|<=1.
, trong ñó
 với |t|<=1, ta có f(t) là hàm nghịch biến và liên tục trên [-1;1]
nên . Thay x=y vào (2) ta có ñược
 là ngiệm của hệ ñã cho.
Ví dụ 6: Giải hệ pt: .
Giải: Từ pt(1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có : 
 (vì hàm số f(t)=sint-3t là hàm liên tục và nghịch biến trên
.)
Thay x=y vào (2) ta ñược nghiệm của hệ là: .
Chú ý: *Qua hai ví dụ trên ta thấy cả hai cùng chung một phương pháp, là một phương trình của
hệ có dạng f(x)=f(y), dẫn ñến ta khảo sát tính ñơn ñiệu của hàm số f(t)
* Một chú ý khi sử dụng tính ñơn ñiệu là chúng ta chỉ có ñược
 khi f(t) liên tục và ñơn ñiệu
Ví dụ 7:Giải hệ phương trình: .
Giải: ðặt t=2x-y. Khi ñó (1) trở thành:
 (*)
Ta thấy vế trái (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm ñồng biến và t=1 là một nghiệm của (*).
Do vậy (*) có nghiệm duy nhất t=1
t=1 hay 2x=y+1, thay vào (2) ta ñược: (Vì hàm
 là hàm liên tục và ñồng biến, ñồng thời f(-1)=0).
Vậy nghiệm của hệ là:(x;y)=(0;-1).
Ví dụ 8: Giải hệ: .
.
Giải: Xét hàm số 
Khi ñó hệ có dạng : .
ta có: nên f(t) là hàm ñồng biến
Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ và x=Max{x,y,z} khi ñó, ta suy ra
Vậy , thay vào hệ ta ñược phương trình:
. Ta dễ dàng chứng minh ñược phương trình này có nghiệm duy
nhất x=1
Vậy x=y=1 là nghiệm của hệ ñã cho.
Bài tập:
 Bài 1: Giải các phương trình sau: 
 Bài 2: Giải các bất phương trình sau
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
 .
 .
 .
 .
.
.
.
.
.
.
Bài 4: Giải và biện luận phương trình