Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Phương pháp hạ bậc

HẠ BẬC 
Mục đích yêu cầu 
Mục đích của phần này là sử dụng công thức Ơ - leđể biến đổi từ dạng cosnx , sinnx hay 
là cosnx.sinpx về dạng tổng chứa các số hạng ở dạng acos xα hay là bsin xβ , hay còn gọi 
tắt là” hạ bậc “ 
Ví dụ 
VD1 : Hạ bậc ( ) 4cosf x x= 
Giải : Ta có ( ) 4cosf x x= 
( )
4
2
ix ixe e
f x
− +
=  
 
( ) 4 2 2 441 4 6 42
ix ix ix ixf x e e e e− − = + + + +  
( ) ( ) ( )4 4 2 21 4 6
16
ix ix ix ixf x e e e e− − = + + + +  
( ) [ ]1 2cos4 4.2cos 2 6
16
f x x x= + + 
Cuối cùng : 4
1 1 3
cos cos 4 cos 2
8 2 8
x x x= + + 
VD2 : Viết biểu thức ( ) 2 4cos sing x x x= dưới dạng tổng của những hạng tử bậc nhất 
Tương tự như ví dụ trên ta có ( )
2 4
.
2 2
ix ix ix ixe e e e
g x
i
− −   + −
=    
   
Khai triển chúng : 
( ) 2 2 4 2 2 46 41 2 . 4 6 42
ix ix ix ix ix ixg x e e e e e e
i
− − −   = + + − + − +    
( ) 6 4 2 2 4 661 2 4 22
ix ix ix ix ix ixg x e e e e e e− − = − − + − − +  
( ) ( ) ( ) ( )6 6 4 4 2 21 2 4
64
ix ix ix ix ix ixg x e e e e e e− − − = + − + − + +  
( ) ( ) ( ) ( )1 2cos 6 2.2cos 4 2cos 2 4
64
g x x x x= − − +   
Cuối cùng ta được : 
( ) 2 4 1 1 1 1cos sin cos6 cos4 cos2
32 16 32 16
g x x x x x x= = − − + 
Một vài công thức cần nhớ : 
Khai triển nhị thức Newton ( )na b+ ta có : 
( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + 
( )4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b+ = + + + + 
( )5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a b a a b a b a b ab b+ = + + + + + 
( )6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 66 15 20 15 6a b a a b a b a b a b ab b+ = + + + + + + 
Các hệ số của các khai triển trên được xác định qua sơ đồ dưới đây (được gọi là tam giác 
Pascal) : 
Giải thích tam giác Pascal : 
Hai cạnh bên được hình thành bởi toàn số 1 
Số ở “tâm” bằng tổng hai số nằm ở hàng ngay trên nó 
VD : 15 ở hàng thứ 6 bằng 10 + 5 
 6 ở hàng thứ 4 bằng 3 + 3 
1. Dùng công thức Ơ - le, chứng minh rằng : 
sin2x = 
1 cos2
2
x−
 và cos2x = 
1 cos2
2
x+
2. Viết các biểu thức sau dưới dạng sina xα + sinb xβ : 
a) ( ) 3sinf x x= ; 
b) ( ) 6sing x x= ; 
c) ( ) 4 2cos .sinh x x x= . 
3. Viết biểu thức sau dưới dạng tổng của các sina xα hay sinb xβ : 5cos3 .sinx x 
4. Trong lượng giác : 
a) Sử dụng công thức Ơ - lechứng minh rằng : 
( ) ( )1cos .cos cos cos
2
a b a b a b= + + −   
b) Biến đổi tích thành tổng 
* sina.sinb 
* sina.cosb 
* cosa.cosb.cosc