Ôn thi CĐ-ĐH môn Toán

tiếp tuyến tại giao điểm x = x0 của đồ thị với trục hoành là k = .
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = cắt trục hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm này vuông góc với nhau. 
ĐS: m = 2/5.
b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
HD: Điểm cố định (-1; -2). y’(-1) = 1.
Bài 7. CMR với "mạ0 thì đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
HD: điểm cố định (0; 1), y’(0) = 1.
Bài 8. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b. Ycbt Û hệ: có nghiệm với .
ĐS: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:
Bài 9. Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành.
ĐS: m = 1.
Bài 10. Cho (C): y= (x2 - 1)2 và (P): y = ax2 - 3. Tìm a để (C) và (P) tiếp xúc nhau. Viết PT các tiếp tuyến chung của (C) và (P).
HD: a = 2, tiếp điểm là x = .
Bài 11. Tìm m để (P): y = x2 + m tiếp xúc với đồ thị hàm số: .
ĐS: k = -1.
d) Các bài toán về tương giao:
Bài 12. Tìm m đề đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành một CSC.
HD: m = 0, m = .
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.
Bài 14: Cho hàm số 
Tìm m để đường thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
HD: Ycbt Û trung điểm đoạn thẳng thuộc đường thẳng y = x.
Bài 15: Cho hàm số
Tìm m để đường thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau.
Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất.
Bài 16: Cho hàm số
Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với dường thẳng IM.
Bài 17: Cho hàm số 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 18: Cho hàm số Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
Bài 19: Cho hàm số 
Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng nhau qua đường thẳng x - y - 4 = 0.
Bài 20: Cho hàm số
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới đối với trục hoành bằng nhau.
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4, là nghiệm
	Strên= Sduói
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
Bài 21: Cho hàm số
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm. 
Bài 22. Cho hàm số 
CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Các bài tập tự luyện:
Bài 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5.
1. CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
2. Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx.
Bài 2: Tìm các điểm M ẻ đồ thị hàm số y = sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ độ tại A và B tạo thành tam giác vuông cân OAB.
Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của y = x3 + 3x2 - 9x + 5.
Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x3 + 3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với y = x.
Bài 5: Viết pttt qua M(; 1) với y = -x3 +3x -1.
Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y = .
Bài 7: CMR trên đồ thị của y = không có tiếp tuyến nào đi qua giao hai tiệm cận.
Bài 8: Qua A(-2; 5) có mấy tiếp tuyến với y = x3 - 9x2 + 17x + 2.
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x2 + mx + m) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 10. Cho hàm số . Xác định a để hàm số tiếp xúc với Parabol y = x2 + a.
Bài 11. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho các tiếp tuyến ấy vuông góc với tiệm cận xiên. Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn thẳng tiếp tuyến bị chắn bởi hai đường tiệm cận.
Bài 12. Cho hàm số có đồ thị là Cm. Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 13. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C). Qua A(1; 0) kẻ được mấy tiếp tuyến tới (C). Viết các phương trình tiếp tuyến ấy. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị song song với tiếp tuyến qua A(1; 0).
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình y = 5.
Bài 15. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 tại 4 điểm phân biệt.
Bài 16. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y = cắt đường thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 17. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Bài 18. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ^ OB.
Bài 19. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 - m cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
Bài 20. Tìm m đề đồ thị hàm số y = cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng.
Bài 9. Tính đơn điệu và cực trị
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Tính đơn điệu của hàm số:
Hàm số y = f(x) ĐB/(a; b) Û f’(x) ³ 0 "x ẻ (a; b).
Hàm số y = f(x) NB/(a; b) Û f’(x) Ê 0 "x ẻ (a; b).
Chú ý:
Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a ạ 0).
+ f(x) Ê 0 "x Û ; f(x) ³0 "x Û 
f(x) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
+ a Ê x1 < x2 Û 
+ x1 < x2 Ê a Û 
2. Cực trị của hàm số.
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x0 Û .
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 Û .
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d.
+ Hàm số có cực trị Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Khi chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + r(x).
Nếu x0 là điểm cực trị thì yCT = r(x0) ị y = r(x) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c:
+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.
+ Vì y’ = 2x(2ax2 + b) nên hàm số có 3 cực trị Û phương trình 2ax2 + b = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau qua trục Oy.
* Đối với hàm số :
+ Hàm số có cực trị Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ạ . Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu Û 
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu Û 
+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y(x0) =.
+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là .
Một số ví dụ :
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD: 
1) ĐK Û y’ ³ 0 với "x Û g(x) = 3x2 - 6x + m ³ 0 với "x Û D’ Ê 0 Û 9 - 3m Ê 0 Û m ³ 3.
2) ĐK Û y’ ³ 0 với "x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: D’ Ê 0 Û m ³ 3 ị y’ ³ 0 "x ị y’ ³ 0 với "x > 1.
+ TH2: D’>0 thì y’ ³ 0 với "x > 1 Û g(x) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 < x2 Ê 1. 
ĐS: m ³ 3.
Cách 2: Dùng PP hàm số. 
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = ĐB trên khoảng (1; +Ơ).
HD: Hàm số xác định với "xẻ(1; +Ơ).
.
ĐK Û y’ ³ 0 với "x > 1 Û g(x) = x2 + 6x + 9 - m2 ³ 0 với "x > 1 Û m2 Ê x2 + 6x + 9 "x > 1 Û m2 Ê mint(x) = x2 + 6x + 9 "x > 1. 
ĐS: -4 Ê m Ê 4.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +Ơ).
HD: Hàm số xác định với "x > 1 Û 2m Ê 1 Û m Ê 1/2.
.
ĐK Û y’ ³ 0 với "x > 1 Û g(x) = x2 - 4mx + m2 ³ 0 với "x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: D’ Ê 0 Û m = 0.
+ TH2: D’>0 Û m < 2 - .
* Các ví dụ về cực trị của hàm số:
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị: 
Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3(2m - 1)x + 1.
Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y’ = 3x2 - 6x + 3(2m - 1).
ĐK Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û Dy’ > 0 Û m > -1.
Bài 2. Cho hàm số:
 y = 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x1 < -1 <x2.
HD: ĐK Û 1.f’(-1) < 0 Û m < -3.
Bài 3. Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
HD: ĐK Û . ĐS: m = 3.
Bài 4. Cho hàm số .
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
HD: y’ = x2 -2mx - 1, y’ = 0 Û x2 -2mx - 1 = 0 (1). Có D= m2 + 1 > 0 "m ị hàm số luôn có CĐ và CT.
Chia y cho y’ ta được:
.
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x1; y1), B(x2; y2) với x1, x2 là nghiệm của (1) thì: 
y1 = ;
y2 = ;
AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (4m2 + 4)[1+ ] ³ .
ị AB ³ ; AB min Û m = 0.
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị:
Bài 5. Tìm m để hàm số y = có CĐ, CT và .
HD: y’ = 
HS có CĐ và CT Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 4 Û 
Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
y1 = -2x1 +3, y2 = -2x2 + 3.
Û m = 3.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = có CĐ, CT và .
ĐS: m ẻ .
Bài 7. Tìm m để hàm số :
y = 
có CĐ, CT và yCĐ.yCT là nhỏ nhất.
ĐS: yCĐ.yCT nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5.
Bài 8. CMR hàm số y = luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa chúng không đổi.
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng Oxy.
Bài 9. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của trục Ox.
HD: ; 
ĐK Û 
ĐS: 0 < m < 4.
Bài 10. Tìm m để hàm số y = có 2 cực trị cùng phía.
ĐK Û .
Bài 11. Cho hs: . Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV.
HD: 
ĐK Û .ĐS: .
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2x - y -10 = 0.
Bài 2: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 3: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
Bài 4: Cho hàm số 
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 5: Cho hàm số 
CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn luôn có điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng .
Bài 6: Cho hàm số:
Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số. 
Bài 7: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn .
Bài 8: Cho hàm số .
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 9: Cho hàm số y=. 
1) Khảo sát khi m =2. 
2) Tìm m để hàm