Ôn tập Tốt nghiệp 12 - Phần Hình giải tích

ương trình là: x-1-2y-3(z-1) = 0
	x-2y-3z+2=0
2. (1; 3;-1) và là cặp VTCP của 
= ( , , )= (3;-1;0) là VTPT của 
Phương trình là: 3(x-1)-y=0
	3x-y-3=0
3. (1; 3;-1) và là cặp VTCP của 
=( , , =(-11;2;-5) là VTPT của 
: 	Qua A (1;0;1)
	VTPT (-11;2;-5)
Phương trình là: -11(x-1)+2y-5(z-1)=0
-11x+2y-5+16=0
4. và là cặp VTCP của 
=( , , =(5;-5;5)=5(1;-1;1) là VTPT của 
: 	Qua A (1;0;1)
	VTPT (1;-1; 1)
Phương trình là: x-1-y+z-1=0
	x-y+z-2=0
Bài tập tự giải
Trong Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x-y+z-1=0
Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh 4 điểm O, A, B, C là 4 đỉnh của tứ diện.
Viết phương trình trong các trường hợp sau đây:
Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với AB
Đi qua A và song song với (P)
Đi qua A, B và vuông góc với (P)
Đi qua A, B và song song với Oy
Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với (P), vuông góc với (ABC)
Mặt phẳng trung trực đoạn BC
Vấn đề 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng
A. Tóm tắt lý thuyết:
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Trong Oxyz cho:
: A1x+B1y+C1z+D1=0
: A2x+B2y+C2z+D2=0
 VTPT của 
 VTPT của
* cắt
* //
* 
Chú ý: 
Chùm mặt phẳng
Trong Oxyz cho:: A1x+B1y+C1z+D1=0
	: A2x+B2y+C2z+D2=0
	 = d
Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng chưa d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởivà. Kí hiệu là 
Phương trình chùm mặt phẳng
Phương trình có dạng: m(A1x+B1y+C1z+D1) + n(A2x+B2y+C2z+D2)=0
Với m2+n2 0 gọi là phương trình của chùm mặt phẳng 
Chú ý: Md Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
B. Bài tập
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
1. : x+2y+3z+4=0
	: x+5y-z-9=0
2. : x+y+z+5=0
	: 2x+2y+2z+6=0
3. : x+2y+3z+1=0
	: 3x+6y+9z+3=0
Lời giải:
1. VTPT của 
	 VTPT của
Vì vậy cắt 
2. VTPT của 
	 VTPT của
3. VTPT của 
	 VTPT của
Bài 2: Cho 2 mặt phẳng 	: 2x+my+2mz-9=0
	: 6x-y-z-10=0
Xác định m để:
1. 
2. //
Lời giải:
 VTPT của 
 VTPT của
1. 
12-m-2m=0 m=4
2. //
 Hệ vô nghiệm
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3: Cho 3 mặt phẳng : 2x-y+z+1=0
	: x+3y-z+2=0
	: -2x+2y+3z+3=0
Chứng minh cắt 
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của vàvà đi qua M (1; 2;1).
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của vàvà song song với Oy.
Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến của vàvà vuông góc với .
Lời giải: 
Vì cắt 
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 
	m(2x-y+z+1)+n(x+3y-z+2)=0 
(2m+n)x+(-m+3n)y+(m-n)z+m+2n=0, với (m2+n2 0) (*)
M(1;2;1) (P)m(2-2+1+1)+n(1+6-1+2)=0
	2m+8n=0
	m=-4n
Chọn n=-1, m=4
Phương trình mặt phẳng (P) là: 4(2x-y+z+1) - (x+3y-z+2)=0
7x - 7y+5z+2=0
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng (*)
	 VTPT của (Q)
	(0; 1; 0) VTCP của Oy
(Q)// Oy 
-m+3n=0
m=3n
Chọn n=1, m=3
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 7x+2z+5=0
4. Phương trình có dạng (*)
VTPT của (R)
VTPT của 
(R) 
-4m-2n-2m+6n+3m-3n=0
3m=n . Chọn m=1, n=3
Phương trình mặt phẳng (R) là: 5x+8y-2z+7=0
Vấn đề 4: Phương trình của đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đường thẳng:	Qua M(x0;y0;z0)
	VTCP 
Phương trình tham số là: 	()
Phương trình có dạng: (dạng chính tắc)
Chú ý: N
B. Bài tập
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng trong các trường hợp sau đây:
Đi qua A(1;2;3) có VTCP 	
Đi qua B(0;0;-1) và vuông góc với mặt phẳng: 2x-y+z+9=0
Đi qua 2 điểm C(1;-1;1), D(2;1;4)
Lời giải:
1. : 	Qua A(1;2;3) 
	VTCP 
Phương trình tham số của đường thẳng là: 
2. VTPT của 
là VTPT của 
Phương trình tham số của đường thẳng là: 
3. : 	Qua C(1;-1;1)
	VTCP 
Phương trình tham số của đường thẳng là: 
Bài 2: Cho: và (P): x-2y-z+1=0
là hình chiếu vuông góc củatrên (P). Viết phương trình đường thẳng
Lời giải:
Ta có: M(1;0;1) 	
 và là cặp VTCP của (Q)
=( , , )
= (-1;0;-1) là VTPT của (Q)
(Q): Qua M(1;0;1)
	VTPT (-1;0;-1)
Phương trình (Q) là: -(x-1)-(z-1) =0
-x-z+2=0
x+z-2=0
Khi đó = (P)(Q)
A Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình.
 Chọn z=t
 hay A (2-t; -t) với t
Vậy phương trình tham số của là 	
Bài 3: Cho 2 đường thẳng
: 	: 
Viết phương trình đường vuông góc chung của , 
Lời giải:
M M (1-t; 2+2t; 3t)
	VTCP 
N N (1+t’;3-2t2; 1)
VTCP của 
MN là đường thẳng vuông góc của , 
Với t= M (); 	t’= N ()
 là đường vuông góc chung của và 
: Qua M ()
	VTCP 
Phương trình tham số của là 
Bài 4: Cho A(-4; -2; 4) và :
Viết phương trình qua A cắt và vuông góc với 
Lời giải:
VTCP của 
B(-3+2t;1-t;-1+4t) 
Ta có: 
2(1+2t)-1(3-t)+4(-5+4t)=0
21t=21
t=1
Với t=1
: Qua A(-4; -2; 4)
VTCP 
Phương trình tham số của là: 
Bài 5: Cho : y+2z=0
: 	: 
Viết phương trình nằm trong và cắt và 
Lời giải:
A=
Tọa độ A là nghiệm của hệ
A(1;0;0)
B=tọa độ B là nghiệm của hệ.
B(8;-8;4)	
: 	Qua A(1; 0; 0)	
	VTCP 
Phương trình tham số của là: 
Vấn đề 5: Vị trí tương đối của đưởng thẳng và mặt phẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong Oxyz cho (P): Ax+By+Cz+D=0
	: 
Xét phương trình A()+B()+C()+D=0 (*)
Phương trình (*) ẩn số là t
Phương trình (*) có 1 nghiệmcắt (P) tại 1 điểm
Phương trình (*) vô nghiệm// (P)
Phương trình (*) đúng với (P)
Chú ý: Ta có thể dùng phương pháp sau đây để xết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
 không vuông góc với cắt (P)
	Trong đó VTCP; VTPT của (P); M
B. Bài tập
Xét vị trí tương đối của : 
Lần lượt với các mặt phẳng sau:
: x+y+z+2=0
: 4x+8y+2z-7=0
: x-y+2z+5=0
(P): 2x-2y+4z-10=0
Lời giải:
: 	Qua M(1;2;3)
	VTCP (2;4;1)
1. VTPT của 
	=2+4+1=70cắt 
2. VTPT của
	=8+32+2=420cắt 
	Mặt khác, =2
3. VTPT của
4. 
Bài 2: Cho : 
	: x+2y+z-1=0
Chứng minh cắt . Tìm tạo độ giao điểm
Lời giải:
Phương trình tham số là: 
Thay x=1+2t; y=-1+t; z=-t vào phương trình ta được:
	(1+2t)+2(-1+t)-t-1=0
3t=2
t=
Vậy cắt tại M ()
Vấn đề 6: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho 2 đường thẳng :	 với VTCP 
và : với VTCP 
Xét hệ: (*)
 cắt có nghiệm duy nhất
 // cùng phương 
	Hệ (*) vô nghiệm
 cùng phương 
	Hệ (*) vô số nghiệm
B. Bài tập
Bài 1: Cho 2 đường thẳng : 
	: 
Xét vị trí tương đối của và .
Lời giải:
: 	Qua M (1;-2;5)
	VTCP 
: 	Qua M (1;-2;5)
	VTCP 
Ta thấy 
Bài 2: Cho 2 đường thẳng : 
	: 
Xét vị trí tương đối , 
Viết phương trình (, )
Lời giải:
1. : 	Qua M (1;-1;5)
	VTCP 
	: 	Qua M (4; t; 3)
	VTCP 
Ta thấy 
2. Gọi là mặt phẳng chứa , 
Ta có là cặp VTCP của 
( , , )=(-8;7;-5) là VTPT của 
: 	Qua M (1;-1;5)
	VTPT 
Phương trình là:
 	-8(x-1)+7(y+1)-5(z-5)=0
	-8x+7y-5z+40=0
Bài 3: Cho 2 đường thẳng: 
: 
: 
Chứng minh cắt . Tìm tọa độ giao điểm
Viết phương trình (, )
Lời giải:
1. Phương trình :
Xét hệ hệ có nghiệm duy nhất
 cắt tại H(3;2;6)
2. và là cặp VTCP của (, )
=( , , )=(12;-6;-6) là VTPT của (, )
(, ): 	Qua H(3;2;6)
	VTPT (-2;-1;-1)
Phương trình (, ) là:
	2(x-3)-(y-2)-(z-6)=0
2x-y-z+2=0
Bài 4: Cho 2 đường thẳng : 
	: 
Chứng minh chéo 
Viết phương trình chứa và song song 
Lời giải:
1. : 	Qua M(1;-1;5)
	VTCP 
Phương trình tham số : 
Ta thấy 
Xét hệ: hệ vô nghiệm
chéo 
Gọi là mặt phẳng cần tìm
Ta có và là cặp VTCP của 
=( , , )=(4;-1;-5) là VTPT của 
: 	Qua M(1;-1;5)
	VTPT (4;-1;-5)
Phương trình là: 
	4(x-1)-(y+1)-5(z-5)=0
4x-y-5z+20=0
Vấn đề 7: Khoảng cách
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong Oxyz cho M(x0;y0;z0)
(P): Ax+By+Cz+D=0
d(M,(P))=
Chú ý:
trong đó M
trong đó M
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho M(x0; y0; z0)
	: 	
trong đó H là hình chiếu của M lên 
Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
Cho 2 đường thẳng chéo nhau , 
	* 
AB là đoạn vuông góc chung của và 
	* trong đó 
B. Bài tập
Bài 1: Cho 2 mặt phẳng 
: x+2y+2z+11=0
: x+2y+2z+2=0
Chứng minh //
Tính 
Lời giải:
1. Vì 
2. M(-11,0,0) 
Bài 2: Cho (P): 2x+3+z-17=0 và A(2;3;4). Tìm điểm MOz biết 
Lời giải:
M(0;0;z0) Oz
z2-6z+9=0
z=3
Vậy M(0;0;3)
Bài 3: Cho : 3x-2y-z-5=0
: 
Chứng minh 
Tính 
Lời giải:
1. Ta có 
Ta thấy 
2. 
Bài 4: Cho A(1;2;1)
:
H là hình chiếu của A trên . Tìm tọa độ H
Tính 
Lời giải:
1. 
Vậy H(-17/9;11/9;-11/9)
2. 
Bài 5: Cho 2 đường thẳng : và :
Chứng minh chéo 
Tính 
Lời giải:
1. có là VTCP
	 có là VTCP
Ta thấy . M(1;-1;1) , N(2;-2;3) 
Xét hệ: 
 hệ vô nghiệm
chéo 
2. là mặt phẳng chứa và song song 
 và là cặp VTCP của 
( , , )=(-1;-2;1) là VTPT của 
: 	Qua N(2;-2;3)
	VTPT (-1;-2;1)
Phương trình là:
	-(x-2)-2(y-+2)+z-3=0
-x-2y+z-5=0
Vấn đề 8: Mặt cầu
A. Tóm tắt lý thuyết
Mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) bán kính R. Phương trình (S) là:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
2. Phương trình: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0
Điều kiện: a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) bán kính 
Cho (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2
(P): Ax+By+Cz+D=0
(P) tiếp xúc (S) d(I,(P))=R
B. Bài tập
Bài 1: Cho 2 điểm A(6,2,-5), B(-4,0,7)
Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là AB
Viết phương trình tiếp xúc mặt cầu đường kính AB tại điểm A
Lời giải:
1. 
Phương trình mặt cầu là: (x-6)2+(y-2)2+(z+5)2=248
2. I là trung điểm của AB khi đó I(1,1,1). 
(S) là mặt cầu cần tìm. (S) có tâm là I(1,1,1) và bán kính R=
Phương trình (S) là:
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=62
3. 
: 	Qua A(6,2,-5)
	VTPT (5,1,-6)
Phương trình là: 5(x-6)+y-2-6(z+5)=0
5x+y-6z-62=0
Bài 2: Cho (P): 2x-3y+4z-5=0
(S): x2+y2+z2+3x+4y-5z+6=0
	1. Xác định và tính bán kính của mặt cầu (S)
	2. Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). Xác định bán kính và tâm của đường tròn (C)
Lời giải:
x2+y2+z2+3x+4y-5z+6=0
Tâm I(). Bán kính R=
Phương trình (S) là (x-1)2+(y-1)2+ (z-1)2=62
	2.
 (P) cắt (S) theo đường tròn (C)
Khi đó, tâm của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của I trên (P).
Bán kính R’=
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)
: Qua I
Vuông góc với (P)
Khi đó, là VTPT của 
Phương trình tham số của là:
Hay 
Bán kính R’=
Bài 3: Cho 4 điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4,;1;0)
Chứng minh 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Lời giải:
1. và là cặp VTCP của (ABC)
( , , )
	= (-18;-36;0)=-18(1;2;0) là