Ôn tập Toán - Chủ đề Đại số 10

Bài 1. Phương trình bậc hai
A.Tóm tắt kiến thức 
1.Phương trình bậc hai
1.1.Dạng của phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 với a 0
1.2.Nghiệm của phương trình bậc hai
	Biểu thức : = b2 -4ac ( hay ’=b’2 –ac với b’ = b/2)
	* < 0 : pt vô nghiệm
	* = 0: pt có nghiệm kép
	* > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt 
ghi chú : nếu ac < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
1.3.Định lý viet.
	*Nếu phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0 có hai nghiệm x1 ,x2 thì 
	S = x1 +x2 = ; x1x2 = .
	*Nếu x1 +x2 = S , x1x2 = P và S2 -4P 0 thì x1,x2 là nghiệm của phương trình : 
	x2 –Sx +P = 0
ghi chú: 
	Nếu a +b +c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a.
	Nếu a -b +c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a.
	Nếu pt có 2 nghiệm x1 và x2 thì ax2 +bx +c =a( x –x1)(x-x2).
2.Phương trình bậc bốn đưa về phương trình bậc hai
2.1.Dạng 1.
	ax4 +bx2 +c = 0 ( a0) (phương trình trùng phương)
	Đặt t = x2 với t 0 ta có phương trình : at2 +bt +c = 0
2.2.Dạng 2.
	(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k	trong đó a+b =c +d ; k 0.
	đặt t = ( x+a)(x+b).
2.3.Dạng 3.
	(x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0) 
	Đặt t = x + 
2.4.Dạng 4.
	ax4 +bx3 +cx2 bx +a = 0	với a 0
	Chia 2 vế cho x2 và đặt ta có phương trình : at2 +bt +c +2a = 0
	Ghi chú: nếu t = x + thì ta có đều kiện 
	Giải tương tự cho phương trình : ax4 +bx3 +cx2 dx +e = 0 với 
B.Phương pháp giải toán
ví dụ 1: Tìm m để phương trình : x2 -10x +9m = 0	(1)
a)có hai nghiệm.
b)x1- 9 x2 =0
Hướng dẫn: 
	a) .
	b) áp dụng định lí viet ta được m = 0; m = 1.
Ví dụ 2.Tìm m để phương trình : x2 +(m-1)x +m + 6 = 0	(1) 
Có hai nghiệm thoả mãn x12+x22 = 10
Hướng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phương có 2 nghiệm.
	Ta được m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3 .
Ví dụ 3 định m để phương trình : x2 -2(m+1)x –m- 1 = 0	 (1) 
	Có hai nghiệm x1 ,x2 và A = x12 +x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn: 
	*Điều kiện pt có 2 nghiệm là 
	*A = = 4[(m+2)2 -1] vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2.
Ví dụ 4 Gải các phương trình:
	a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 	ĐS: x = 4 ; x = -8.
	b) x4 + ( x-1)4 = 97.	ĐS: x = 3 ; x = -2.
	c) 6x4 -35x3 +62x2 -35x +6 = 0	ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3.
Ví dụ 5 Cho phương trình : 
	mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0
	Tìm m để phương trình :
	a) Có hai nghiệm trái dấu.	ĐS: 0 < m < 3.
	b) Có hai nghiệm dương phân biệt.	ĐS: m< 0; 3< m <4.
	c) Có đúng 1 nghiệm âm.	ĐS: 0 < m < 3.
Ví dụ 6 Cho phương trình 
	( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0
	Định m để phương trình trên
a)có 4 nghiệm phân biệt.
b)có 3 nghiệm phân biệt.
c)có 2 nghiệm phân biệt.
d)có 1 nghiệm phân biệt.
e) vô nghiệm .	ĐS: m 3/2.
Bài tập số 1
1.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 
	a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = 0 	ĐS: m > 1/2.
	b) mx2 –( 2m+1)x +m -5 = 0	ĐS: 
2.Cho phương trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0	(1)
	a) Định m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2.	ĐS: .
	b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x1,x2 .	ĐS: P – S -1 = 0
	c) Tính theo m,biểu thức A = x13 +x23 .	 ĐS:A=2(1+2m)(16m2+4m-5).
	d)Định m để pt(1) có x1 = 3x2.	ĐS: .
	e)viết pt bậc hai có nghiệm là x12 và x22 .	ĐS:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0
3.Cho phương trình : x2 -6x +m -2 = 0
	Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.	ĐS: 2 < m < 11.
4.Cho phương trình : 	mx2 +2(m +3)x +m = 0
	Định m để phương trình : 
	a) Có hai nghiệm cùng dấu.	ĐS:
	b) Có hai nghiệm âm phân biệt 	ĐS: m > 0.
5.Giải các phương trình :
	a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36. ĐS: 0;-3; .b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16. ĐS: -5;-3.
	c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0.	ĐS: 1; d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.ĐS:1 ;2.
	Bài 2.Hệ phương trình 
Vấn đề 1:Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
Phương pháp giải: 
	+Từ phương trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia.
	+Thế vào phương trình bậc hai còn lại để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
Ví dụ 1.giải hệ 	ĐS: (-9;-19/3);( 8;5).
Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.
-ta qui ước gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phương trình của hệ là đối xứng đối với x,y.
Phương pháp giải: 
+Đặt S = x +y; P = xy. đưa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình của hệ là đối xứng đối với x,y.
+Tìm S,P . x,y là nghiệm của phương trình tổng tích
	X2 –SX+P = 0.
Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S2 - 4P 
Ví dụ 2.Giải hệ 	ĐS: (1;2) ,(2;1).
Ví dụ 3 Giải hệ 
Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì hệ có nghiệm (y0;x0).
Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.
-Ta quy ước gọi một hệ hai phương trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia.
Phương pháp giải: 
	+Trừ vế với vế các phương trình đã cho.
+Phương trình trên sẽ được đưa về phương trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y.
+ứng với từng trường hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ để có một hệ con,giải hệ con này .
+Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 4 Giải hệ 	 ĐS: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2).
Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.
ĐN: Hệ 2 ẩn x,y được gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng 
Phương pháp giải:
	+Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không?
	+ khi x 0,ta đặt y = kx
	*Thế vào hệ ,khử x,ta được 1 phương trình bậc hai theo k .
	*Giải tìm k,ứng với mỗi trường hợp của k ta tìm được (x,y).
Ví dụ 5 Giải hệ 	
ĐS: .
Bài tập số 2
1.Giải hệ :
	a) ĐS: (4;-2) ,. b) ĐS:(1;3),(5;-5).
2.Giải hệ : 
	a) 	ĐS: (3;1),(1;3). b) 	ĐS: (1;2),(2;1).
	c) 	ĐS: (3;5),(5;3).	d)	 ĐS: (1;1).
	e) 	ĐS: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3).
3.Giải hệ:
	a) 	ĐS: (0;0),(-3;-3).
	b) 	ĐS: (0;0),(1;-1),(-1;1),(),
	c) 	ĐS: (1;2),(2;1), (-1;-2), (-2;-1)
	d)	ĐS: (1;4), (-1;-4)
4.Giải hệ:
	a)	ĐS: 
 Bài 3: Giải bất phương trình
Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phương trình hữu tỉ.
A-Xét dấu biểu thức E
+ Viết E dưới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất.
+ Lập bảng xét dấu.
B- Giải bất phương trình hữu tỉ
+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế
+ Rút gọn biểu thức có được
+ Xét dấu biểu thức đó
+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm.
Ví dụ 1: 	Xét dấu	E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3)
x2 – 4 có 2 nghiệm là -2; 2
x2 – 4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3
Lập bảng xét dấu .
Ví dụ 2: giải bất phương trình :	(1)
HD: (1) 
	Lập bảng xét dấu,ta được tập nghiệm x 6.
Bài tập 	
1.Giải các bất phương trình:
	a) x2 -7x +10 < 0	ĐS: 2 < x < 5.	b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) 0.	ĐS: .
	c)	ĐS: x > 1/2.	d) 	ĐS: x <1; 1< x <2 ; x 
2.Giải các bất phương trình sau :
	a) 	ĐS: x < 0 ; 1 < x < 3/2.
	b) 	ĐS: x 3.
	c) 	ĐS: 
	d) 	ĐS: 
3. Giải các bất phương trình sau :
	a) x(x+1) < 	ĐS: -3 < x <2.	b) x2 +(x+1)2 	ĐS: .
	c) x(x+1)(x+2)(x+3) < 24.	ĐS: -4 < x< 1.
Vấn đề 2.Giải hệ bất phương trình
	*Giải từng bất phương trình
	*kết hợp nghiệm còn lại ta được nghiệm của hệ .
Ví dụ 1. Giải hệ :	
Giải : giải (1) :
	Giải (2) :
Kết hợp (1) và (2) ta được ĐS: 
Bài tập: 
1.Giải các hệ bất phương trình 
	a) 	ĐS: 1/2 < x < 4.	b) ĐS: VN
	c) 	ĐS: .
Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R.
Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > 0 , 
Giải: 
m = 0 suy ra f(x) = 4x > 0 do đó m = 0 không nhận được.
m 
f(x) > 0 , 
Ví dụ 2.Định m để bất phương trình sau vô nghiệm 
	(m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0	(1)	HD: 
Bài tập 
1) f(x) = x2-mx +m +3 
2) f(x) = mx2 –mx -5 < 0 , 
	.
Bài 4. Phương trình –Bất phương trình chứa căn thức
Vấn đề1.Luỹ thừa các vế.
	Chú ý: 
Ví dụ 1.Giải bất phương trình : 	ĐS: x = -5/4.	
Ví dụ 2.Giải phương trình: 	ĐS: x = 8.
Vấn đề 2. Đổi biến đưa về phương trình hữu tỉ.
Ví dụ: (x + 1)(x + 4) – 3	ĐS: x = -7; x = 2
Vấn đề 3. Đưa về hệ phương trình hữu tỉ bằng cách đặt ẩn số phụ.
Ví dụ: 	ĐS: x = 7
Vấn đề 4. Đưa về phương trình chứa trị tuyệt đối.
 	Ví dụ: 	ĐS: -1
Vấn đề 5. Bất phương trình chứa căn thức.
Các dạng căn bản
và
	Ví dụ: Giải bất phương trình :
	Ví dụ: Giải bất phương trình: 
	.
	 Bài tập tương tự
I.Giải các phương trình :
	1) 	ĐS: -2.	2) 	ĐS: 3.
	3) 	ĐS: 3;-1/2.	4) 	ĐS: 1;3.
	5)ĐS: -6;-5;-11/2.	6) ĐS: -1.
	7) ĐS: 0.	8) 	ĐS: 1;-1/3.
	9) 	ĐS: 4;-4.	10) ĐS: -17;23.
	11) 	ĐS: 15.
	12) 	ĐS: -3;4.
II.Giải các bất phương trình :
	1) ĐS: .2) ĐS: 
	3) 	ĐS: 	
4)	ĐS: 
	5) 	ĐS: 
Một số đề thi Đại học
I.Phương trình 
1. Giải phương trình:	
2.Giải phương trình : 	
3.Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : 
4.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 + m = 2
5.Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m ,phương trình sau 
 có 2 nghiệm phân biệt: 	x2 +2x - 8 = .
II. Bất phương trình 
1.	2. 
3.	2x2 +4x +3 > 1.	4. 
5. 	6. 
7. 	8.
9.Tìm m để bất phương trình : 	 có nghiệm 
III. Hệ phương trình 
1. 	2. 
3. .	4. 
5. 	6.
7. 	8.
9.
10.Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm duy nhất .
11.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 
	..