Ôn tập Phương trình đại số & bất phương trình đại số

 phương trình bậc hai: 2 2x 2(m 2)x m 12 0− + + + = . Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để 
 phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
 (A) m 1= (B) m 2= (C) m 3= (D) m 4= 
Bài 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3x 10 0+ − = . Giá trị của tổng 
1 2
1 1
x x
+ là 
(A) 3
10
 (B) 3
10
− (C) 10
3
 (D) 10
3
− 
Bài 5: Phương trình: 2x mx m 1 0− + − = có hai nghiệm dương phân biệt khi 
(A) m 1> (B) m 1≥ (C) m 1 và m 2> ≠ (D) m 1 và m 2≥ ≠ 
ĐÁP ÁN: 
Bài 1: Phương trình 2(m 1)x 2mx m 0− + + = có hai nghiệm phân biệt khi : 
 (A) m 0> (B) m 0≥ (C) m 0 và m 1> ≠ (D) m 0 và m 1≥ ≠ 
Bài 2: Phương trình : 2mx 2(m 3)x m 5 0+ − + − = vô nghiệm khi : 
 (A) m 9> (B) m 9≥ (C) m 9< (D) m 9 và m 0< ≠ 
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: 2 2x 2(m 2)x m 12 0− + + + = . Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để 
 phương trình có hai nghiệm phân biệt là: 
 (A) m 1= (B) m 2= (C) m 3= (D) m 4= 
Bài 4: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 3x 10 0+ − = . Giá trị của tổng 
1 2
1 1
x x
+ là 
(A) 3
10
 (B) 3
10
− (C) 10
3
 (D) 10
3
− 
Bài 5: Phương trình: 2x mx m 1 0− + − = có hai nghiệm dương phân biệt khi 
(A) m 1> (B) m 1≥ (C) m 1 và m 2> ≠ (D) m 1 và m 2≥ ≠ 
 8
II. Phương trình trùng phươngï: 
1.Dạng : 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ (1) 
2.Cách giải: 
 ) Đặt ẩn phụ : t = x2 ( 0≥t ). Ta được phương trình: 02 =++ cbtat (2) 
 Giải pt (2) tìm t. Thay t tìm được vào t = x2 để tìm x 
 Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm 
 của phương trình (1) 
Áp dụng: 
Ví du 1ï: 
Giải phương trình : 
2
3 89x 2532x
2x
−= với x 0;x 1> ≠ 
Ví dụ 2: 
1) Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 
a) mxx =−− 32 24 
b) 4 2( 2) 4 1 0x m x m− + + + = 
2) Cho phương trình: 4 2( 2) 4 1 0x m x m− + + + = 
 Tìm m để phương trình cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng 
III . Phương trình bậc ba: 
 1. Dạng: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( 0a ≠ ) 
 2 .Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1) 
)Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x0 
)Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân 
 tử và đưa pt (1) về dạng tích số : 
 (1) ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0 
 0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
=⎡⇔ ⎢ + + =⎣
)Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có). 
Bổ sung kiến thức: 
 Định lý Bezu (Bơ-du) 
 “Đa thức P(x) cĩ nghiệm 0x x= khi và chỉ khi P(x) chia hết cho 0x x− 
Áp dụng: 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
 a) 041292 23 =−+− xxx 
 b) 14223 −=+−+ xxxx 
 c) 3 22 7 28 12 0x x x+ − + = 
 9
Ví dụ 2: 
Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 
 a) 223 23 −+=+− mmxxx 
 b) 3 2(2 1) 0x m x mx m− + + + = 
 c) 3 22( 1) (7 2) 4 6 0x m x m x m− + + − + − = 
 d) 3 2( 4) (4 ) 0mx m x m x m− − + + − = 
 e) 3 2 2(1 ) 3 2 0x m x mx m+ − − + = 
Ví dụ 3: Cho phương trình : 3 23 3 3 2 0x mx x m+ − − + = 
 Tìm m để phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt 1 2 3, ,x x x sao cho 
2 2 2
1 2 3A x x x= + + đạt GTNN. 
Chú ý 
Ta có thể áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng kỷ thuật sử dụng sơ đồ HOÓCNE, 
để giải các phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm được một nghiệm của đa thức) 
 Ví dụ: 
Giải các phương trình: 
1) 018215 234 =−++− xxxx 
2) 4 3 27 6 0x x x x+ − − + = 
3) 4 3 22 4 5 6 0x x x x+ − − − = 
IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ 
1.Dạng I: 4 2 0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠ 
 ) Đặt ẩn phụ : t = x2 
2. Dạng II. ( )( )( )( ) ( k 0 )x a x b x c x d k+ + + + = ≠ trong đó a+b = c+d 
 ) Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b) 
Ví dụ : Giải phương trình: ( )( )( )( )1 3 5 7 9x x x x+ + + + = 
3.Dạng III: 4 4( ) ( ) ( k 0 )x a x b k+ + + = ≠ 
 ) Đặt ẩn phụ : t = 
2
a bx ++ 
Ví dụ : Giải phương trình: ( ) ( )4 43 5 2x x+ + + = 
 10
4.Dạng IV: 4 3 2 0ax bx cx bx a+ + ± + = 
 Chia hai vế phương trình cho x2 
 ) Đặt ẩn phụ : t = 1x
x
± 
Ví dụ : Giải phương trình: 4 3 22 3 16 3 2 0x x x x+ − + + = 
 11
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
I. Bất phương trình bậc nhất: 
1. Dạng : (1) 0>+ bax (hoặc ≤<≥ ,, ) 
2. Giải và biện luận: 
 Ta có : (2) )1( bax −>⇔ 
 Biện luận: 
• Nếu 0>a thì 
a
bx −>⇔)2( 
• Nếu 0<a thì 
a
bx −<⇔)2( 
• Nếu 0=a thì (2) trở thành : bx −>.0 
 * 0≤b thì bpt vô nghiệm 
 * 0>b thì bpt nghiệm đúng với mọi x 
Áp dụng: 
Ví dụ1: Giải và biện luận bất phương trình : 21 mxmx +>+ 
Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình sau: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
≥−
≥+
013
04
092
x
x
x
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: 
2x 1 x 4
5x 2m 1 x m
− ≤ +⎧⎨− + − < +⎩ 
II. Dấu của nhị thức bậc nhất: 
1. Dạng: 0)(a )( ≠+= baxxf 
2. Bảng xét dấu của nhị thức: 
x ∞− 
a
b− ∞+ 
ax+b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 
Áp dụng: 
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức sau: 
1) )32)(1)(3( xxxA −+−= 
2) 
)12)(2(
7
−−
+=
xx
xB 
 12
III. Dấu của tam thức bậc hai: 
1. Dạng: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
2. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai: 
3. Điều kiện không đổi dấu của tam thức: 
 Định lý: Cho tam thức bậc hai: 0)(a 2)( ≠++= cbxaxxf 
• ⎩⎨
⎧
>
0a
0
 Rx 0)(xf 
• ⎩⎨
⎧
<
<Δ⇔∈∀<
0a
0
 Rx 0)(xf 
• ⎩⎨
⎧
>
≤Δ⇔∈∀≥
0a
0
 Rx 0)(xf 
• ⎩⎨
⎧
<
≤Δ⇔∈∀≤
0a
0
 Rx 0)(xf 
Áp dụng: 
Ví dụ1 : Cho )2(3)1(2)1()( 2 −++−−= mxmxmxf 
 Tìm m để Rx ∈∀> 0)(xf 
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì 
2
2
2x x 3a2 3
x x 4
− +− ≤ ≤+ + thỏa với mọi x∈\ 
IV. Bất phương trình bậc hai: 
 1. Dạng: 02 >++ cbxax ( hoặc ≤<≥ ,, ) 
x ∞− 1x 2x ∞+ 
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
acb 42 −=Δ 
x ∞− 
a
b
2
− ∞+ 
f(x) Cùng dấu a 0 Cùng dấu a 
x ∞− ∞+ 
f(x) Cùng dấu a 
0<Δ 
0=Δ 
0>Δ 
 13
 2. Cách giải: Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái rồi chọn nghiệm thích hợp. 
Áp dụng: 
Ví dụ1 : Giải các hệ bất phương trình: 
a) 
⎩⎨
⎧
>++−
>−
011011
0113
2 xx
x
b) ⎪⎩
⎪⎨⎧ >++−
>+−
032
0273
2
2
xx
xx
Phương pháp: Giải từng bất phương trình của hệ rồi chọn nghiệm chung (phần giao của các tập 
nghiệm của từng bất phương trình trong hệ). 
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình: x 5 2x 1 2
2x 1 x 5
+ −+ >− + 
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 0)3(2)32(2 =+++− mxmx 
Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số: 2
2
2x 3y 2x x 6
x 5x 4
−= + − +
− +
V. So sánh một số α với các nghiệm của tam thức bậc hai cbxaxxf ++= 2)( ( 0≠a ) 
 Định lý: 
[ ]1
1
1
1
Tam thức co ù hai nghiệm x thỏa 
 a.f( ) 0
 x
0
Tam thức co ù hai nghiệm x thỏa 
 a.f( ) 0
 x
S
2
2
2
2
2
,x
x
,x
x
0
⎡ ⎤ ⇔ α <⎢ ⎥< α <⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧⎢ ⎥⎪Δ >⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎪⇔ α >⎨⎢⎢ ⎥< < α⎣ ⎦ ⎪⎢⎪ −α <⎢⎩⎣ ⎦
1
1
1
0
Tam thức co ù hai nghiệm x thỏa 
 a.f( ) 0
 x
S
2
Tam thức co ù hai nghiệm x thỏa
một nghiệm thuộc khoảng ( ; ) và 
nghiệm
2
2
2
,x
x
0
,x
⎥⎥⎥
⎡ ⎤⎧⎢ ⎥⎪Δ >⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎪⇔ α >⎨⎢ ⎥⎢ ⎥α ⎢ ⎥⎩⎣ ⎦
α β [ ] 
 còn lại nằm ngoài đoạn [ ; ] 
f( ).f( ) 0
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⇔ α β <⎢ ⎥⎢ ⎥α β⎣ ⎦ 
Áp dụng: 
Ví dụ : Cho phương trình: 02322 =−+− mmxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 211 xx << 
 14
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 
Bài 1: Cho phương trình: mmx
x
xx 22
2
422 −+=−
+− (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (m>1) 
Bài 2: Cho phương trình: 053)1(2 =−++− mxmx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt ( 5 m 3 m 7
3
 ) 
Bài 3: Cho phương trình: 0
1
2
=−
++
x
mxmx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ( 1 m 0
2
− < < ) 
Bài 4: Cho phương trình: 0124 =−+− mmxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (m 1 m 2)> ∧ ≠ 
Bài 5: Cho phương trình: 0))(1( 2 =++− mmxxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 1(m 0 m 4 m )
2
 ∧ ≠ − 
Bài 6: Cho phương trình : 0)1(3)1(2 =−+−+ mxmmx (1) 
 Với giá trị nào của m thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
9
711
2
2
2
1
=+
xx
 1(m )
2
= 
Bài 7: Cho phương trình: 0
3
2
3
1 23 =++−− mxmxx (1) 
 Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệmphân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn 1523
2
2
2
1 >++ xxx 
 (m 1 m 1) 
--------------------Hết-------------------- 
 15
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
ĐỀ SỐ 1: 
Câu 1: Tập hợp các giá trị m để phương trình: x m 2mx 1
x 1 x 1
−− + =− − có nghiệm là 
 (A) 1 ;
3
⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (B) 
1;
3
⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (C) ( )1;+∞ (D) 
1 ;
3
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ 
Câu 2: Tập xác định của hàm số 2y 4x 3 x 5x 6= − + + − là 
 (A) [ )1;+∞ (B) 3 ;
4
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ (C) 
3 ;1
4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (D) 
6 3;
5 4
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình: 
2
2
2x 3x 4 1
x 2
− + >+ là 
 (A) ( ) ( ); 1 2;−∞ − +∞∪ (B) ( ) ( ); 2 1;−∞ − − +∞∪ 
(C) ( ) ( );1 2;−∞ +∞∪ (D) ( ) ( );2 4;−∞ +∞∪ 
Câu 4: Phương trình: 2 2(m 1)x x 2m 3 0+ − − + = có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 
 (A) 2m
3
> (B) 3m
2
< (C) 3m
2
> (D) 3m
2
> − 
Câu 5: Hệ bất phương trình : 
2x 1 0
x m 3
− >⎧⎨ − <⎩ vô nghiệm khi và chỉ khi 
 (A) 5m
2
< − (B) 5m
2
≤ − (C) 7m
2
< (D) 5m
2
≥ − 
ĐÁP ÁN: 
Câu 1: Tập hợp các giá trị m để phương trình: x m 2mx 1
x 1 x 1
−− + =− − có nghiệm là 
 (A) 1 ;
3
⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (B) 
1;
3
⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠ (C) ( )1;+∞ (D) 
1 ;
3
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ 
Câu 2: Tập xác định của hàm số 2y 4x 3 x 5x 6= − + + − là 
 (A) [ )1;+∞ (B) 3 ;
4
⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠ (C) 
3 ;1
4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (D) 
6 3;
5 4
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ 
Câu 3: Tập