Ôn tập Giải tích 11 theo các chủ đề

 {SSS, SNS, SSN, SNN } A4 = {SSN }B3 = {NNN, NSN, NNS, NSS } 
B4 = {NNS } C1 = {SSS, NNN } C2 = {SSN, SNS, NSS } 
 = { SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN } 
  = (A1  B1) = (A2  B2) C1 = B1  B2 
Baøi 4 : Gieo moät ñoàng tieàn, sau ñoù gieo moät con suùc saéc. Quan saùt söï suaát hieän maët saáp (S), maët 
ngöõa (N) cuûa ñoàng tieàn vaø soá chaám suaát hieän treân con suùc saéc. Xaùc ñònh bieán coá. 
- A : “ Ñoàng tieàn xuaát hieän maët saáp vaø con suùc saéc suaát hieän maët chaün chaám” 
- B : “ Ñoàng tieàn xuaát hieän maët ngöõa vaø con suùc saéc suaát hieän maët leõ chaám” 
- C : “Maët 6 chaám xuaát hieän” 
Baøi 5 : Moät con suùc saéc ñöôïc gieo 3 laàn. Quan saùt soá chaám xuaát hieän. Xaùc ñònh bieán coá. 
- A : “ Toång soá chaám 3 laàn gieo laø 6” 
- B : “ Soá chaám trong laàn gieo thöù nhaát baèng toång soá chaám cuûa laàn gieo thöù hai vaø thöù 3” 
 Daïng 3 : CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÀ XAÙC XUAÁT COÅ ÑIEÅN 
Baøi 1 : gieo ñoàng thôøi 2 suùc saéc. Tính xaùc xuaát deã: 
1/ A : “ Toång soá nuùt xuaát hieän treân hai con laø 8 ” 
2/ B : “Toång soá nuùt xuaát hieän treân hai con coù toång laø maët soá chaün ” 
Traû lôøi : * B1  = {1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 } 
 {2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, 6 } 
  ST&BS: Vũ Ngọc Vinh
20
 {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, 6 } 
 {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, 6 } 
 {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, 6 } 
 {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, 6 } 
 n (  ) = C16 x C16 = 36 
 * B2 : A = {( 2,6 ) ; ( 3,5 ) ; ( 4, 4 ) ; ( 6, 2 ) ; ( 5,3 )}  n ( A ) = 5 
 * B3 : vaäy P (A) = n ( A ) = 5 n ( ) = 36 
2/ B1 : B = { (1,3 ) ; (1,5 ) ; (3, 1 ) ; ( 5,1 ) ; ( 2,2 ) ; (2, 4 ) ; ( 2,6 ) ; ( 4, 2 ) ; (6, 2 ) ; (3,3 ) ; ( 3,5 ) 
; (5, 3 ) ; ( 4,4 ) ; ( 4,6 ) ; (6,6 ) } 
  n (B) = 16 
 P (B) = 16 . 4 = 36 
Baøi 2 : gieo ñoàng thôøi 3 con suùc saéc. Tính xaùc xuaát deã 
 1/ A : “ Toång soá nuùt xuaát hieän cuûa 3 con laø 8 ” 
 2/ B : “ Toång soá nuùt xuaát hieän cuûa 3 con laø 10 ” 
Traû lôøi : 1/ 
 B1 :  = C16 x C16 x C16 x C16 = 216 
 B2 : Boä (1, 3, 4 ) coù 3 ! = 6 caùch = A33 = P3 
Boä ( 1,1 6 ) coù 3! = 3 caùch = A23 2! 
Boä ( 2, 2, 4 ) coù 3 ! = 3 caùch ( A13 = 3!2! ) 
Boä ( 2,3, 5 ) coù 3 ! = 6 caùch = A33 = P3 
Boä (3, 3,4 ) coù 3!2! = 3 caùch = A23 
Boä (4, 4,2 ) coù 3!2! = 3 caùch = A23 
 n ( B ) = 27 
 * B2 : n ( B ) 27 1 
 P(B) = = = 
 n (  ) 216 8 
Baøi 3 : cho 1 ña giaùc ñeàu 8 caïnh. Chon ngaãu nhieân moät ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc. Tìm xaùc xuaát ñeå 
1 ñöôøng cheùo coù ñoä daøi nhoû nhaát 
Traû lôøi : 
 B1 : Soá caùch choïn hai ñæn trong 8 ñænh cuûa ña giaùc laø soá caïnh ña giaùc C28 = 28 caïnh 
 B2 : Soá ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc 8 caïnh laø : 
C28 – 8 caïnh= 20 ñöôøng cheùo  n () = 20 
 B3 : Soá ñöôøng cheùo coù ñoä daøi laø soá caùc caïnh cuûa hình vuoâng ( coù 2 hình vuoâng ) 4 + 4 = 8 
( Hoaëc C14 + C14 = 8 caïnh )  n ( A) = 8 
 B4 : Xaùc suaát caàn tìm n(A) 8 2 
P(A = = = 
  ST&BS: Vũ Ngọc Vinh
21
 N() 20 5 
Baøi 4 : Ba cöûa haøng baùn xe honña nhö nhau. Coù 3 ngöôøi khaùch A, B, C ñoäc laäp nhau, choïn ngaãu 
ngieân moät cöûa haøng ñeà mua xe. Tính xaùc suaát caùc bieán coá sau : 
1/ A : “ 3 ngöôøi khaùch vaøo cuøng moät cöûa haøng” 
2/ B : “ 2 ngöôøi khaùch vaøo cuøng moät cöûa haøng, ngöôøi kia vaøo cöûa haøng kia”. 
- Bieát caùc cöûa haøng ñaùnh soá 1,2,3 
Baøi 5 : Coâng ty tin hoïc caàn tuyeån 2 nhaân vieân. Coù 6 ngöôøi noäp ñôn. Trong ñoù coù 4 nam vaø 2 nöõ. 
Giaû söû khaû naêng öùng cöû cuûa 6 ngöôøi laø nhö nhau. 
Tính xaùc suaát cuûa caùc bieán coá sau: 
1/ A : “ Hai ngöôøi truùng tuyeån ñeàu laø nam” 
2/ B : “ Hai ngöôøi truùng tuyeån ñeàu laø nöõ” 
3/ C : “ Hai ngöôøi truùng tuyeån coù ít nhaát 1 nöõ” 
Baøi 6 : Coù 6 quaû caàu gioáng heät nhau ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán 6 vaø ñöïng trong 1 hoäp. Sau ñoùsaùo 
troän, ngöôøi ta laáy ra ngaãu nhieân laân löôït 4 quaû. 
1/ Saép seáp chuùng theo thöù töï laáy ra thaønh 1 haøng ngang töø traùi qua phaûi “ TÌm xaùc suaát ñew63 coù 
ñöôïc soá 1,2,3,4 ?”  A 
2/ Tìm xaùc suaát ñeå toång caùc chöõ soá = 10” B 
Baøi 7 : Goïi M laø taäp hôïp caùc soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc thaønh laäp töø caùc soá 1, 
2,3,4,5, 6. laáy ngaãu nhieân 2 phaàn töû cuûa M. tính xaùc suaát “ ñeå 1 trong 2 phaàn töû ñoù chia heát cho 6 
?”  A 
Baøi 8 : Trong 100 veù soá coù 1 veù truùng 10 trieäu ñoàng 5 veù truùng 5 trieäu ñoàng 10 veù truùng 3 trieäu 
ñoàng. Tính xaùc suaát caùc bieán coá. 
1/ “ ngöôøi ta truùng ñuùng 3 trieäu ñoàng”  A 
2/ “ ngöôøi ta truùng ít nhaát 3 trieäu ñoàng”  B  B “ coù theå truùng 3 trieäu, hoaëc 10 trieäu, hoaëc 5 
trieäu” 
Baøi 9 : Coù 12 saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøp 3 hoäp moät caùch ngaãu nhieân. Tìm xaùc suaát ñeå “ Hoäp thöù 
nhaát coù chöùa 3 saûn phaåm”  bieán coá A thuaän lôïi 
Baøi 10 : Coù 12 haønh khaùch leân 4 toa taøu moät caùch ngaãu nhieân. Tìm xaùc suaát “ Moät toa taøucoù 6 
haønh khaùch, 2 toa coøn laïi moãi toa coù 6 haønh khaùch” Bieán coá thuaän lôïi A . 
 Daïng 4 : TÍNH CHAÁT XAÙC SUAÁT 
A/ Toùm taét lyù thuyeát 
 * Tính chaát 1 : 
P () = 0 ; P() = 1 
 * tính chaát 2 : 
0 ≤ P (A) ≤ 1 ; bieán coáA 
  ST&BS: Vũ Ngọc Vinh
22
 * Tính chaát 3 : A vaø B laø 2 bieán coá baát kyø 
P A  B = P(A) + P (B) - P A  B 
 * Tính chaát 4 : Neáu A vaø B laø 2 bieán coá xung khaéc 
P A  B =  
  
P A  B = P(A) + P (B 
 *Tính chaát 5 : Neáu A vaø B laø 2 bieán coá ñoäc laäp 
( Söï saûy ra bieán coá naøy khoâng aûnh höôûng bieán coá kia ) 
P A  B = P(A) . P (B) 
 * Tính chaát 6 : A vaø B laø hai bieán coá ñoäc laäp 
 A vaø B cuõng laø hai bieán coá ñoäc laäp 
 A vaø B cuõng laø hai bieán coá ñoäc laäp 
 * Tính chaát 7 : ( xaùc suaát coù ñieàu kieän ) 
 xaùc suaát cuûa bieán coù B ñöôïc tính trong ñieàu kieän bieán coá A ñaõ saûy ra 
P (B/A) = P (A/B)/ P (A) 
 * Tính chaát 8 : 
P (A) = 1 - P (A) ; thuoäc bieán coá A 
Baøi 1 : Moät lôùp coù 60 sinh vieân trong ñoù coù 40 sinh vieân hoïc tieáng Anh, 30 sinh vieân hoïc tieáng 
Phaùp vaø 20 sinh vieân hoïc caû tieâng Anh vaø Phaùp. Choïn ngaãu nhieân 1 sinh vieân. Tính xaùc suaát caùc 
bieán coá sau : 
1/ A : “ Sinh vieân ñöôïc choïn hoïc tieáng Anh” 
2/ B : “ Sinh vieân ñöôïc choïn chæ hoïc tieáng Phaùp” 
3/ C : “ Sinh vieân ñöôïc choïn hoïc caû tieâng Anh laãn tieáng Phaùp” 
4/ D : “ Sinh vieân ñöôïc choïn khoâng hoïc tieâng Anh vaø tieáng Phaùp” 
Traû lôøi : 
 * B1: Tìm khoâng gian maãu   n() 
 = {(sinh vieân 1 )..(sinh vieân 60)}n() = 60 
 * B2: Tìm bieán coá thuaän lôïi A  n(A) P(A) 
A = {(sinh vieân 1 )..(sinh vieân 40)}n(A) = 40 
 P(A) = n(A)/ n(B) = 40/60 = 2/3 
 * B3: Tìm bieán coá thuaän lôïi B  n(B) P(B) 
B = {(sinh vieân 21 )..(sinh vieân 40)} U {(sinh vieân 51 )..(sinh vieân 60)} 
 n(B) = 30 
 P(B) = n(B)/ n() = 30/60 = ½ 
 * B4 : Tìm bieán coá thuaän lôïi C  n(C) P(C) 
------20------------10-------------------10--------> 
  ST&BS: Vũ Ngọc Vinh
23
Sinh vieân chæ sinh vieân hoïc sinh vieân khoâng hoïc sinh chæ hoïc 
Hoïc tieáng Anh Anh laãn Phaùp Anh laãn Phaùp Tieáng Phaùp 
C = {(sinh vieân 21)..(sinh vieân 40)} n(C) = 20 
 P(C) = n(C)/ n() = 20/60 = 1/3 
 * B5 Tìm bieán coá thuaän lôïi D  n(D) P(D) 
P(D) = 1 – P (A  B) = 1 – [ P(A) + P(B) – P (A  B ) ] = 1- ( 2/3 + 1/2 - 1/3 ) = 1/6 
Baøi 2 : Gieo con suùc saéc caân ñoái vaø ñoàng chaát 2 laàn tính xaùc suaát sao cho toång soá chaám trong 
2laàn gieo laø soá chaün. 
Traû lôøi : * B1 : Tìm khoâng gian maãu   n() 
 = {{1,1 } ;{1,2 } ; {1,3 } ; { 1,4 } ; {1,5 } ; {1,6 } 
 {2,1 } ; {2,2 } ; { 2,3 } ; {2,4 } ; {2,5 } ; {2, 6 } 
 {3,1 } ; {3,2 } ; { 3,3 } ; {3,4 } ; {3,5 } ; {3, 6 } 
 {4,1 } ; {4,2 } ; { 4,3 } ; {4,4 } ; {4,5 } ; {4, 6 } 
 {5,1 } ; {5,2 } ; { 5,3 } ; {5,4 } ; {5,5 } ; {5, 6 } 
 {6,1 } ; {6,2 } ; { 6,3 } ; {6,4 } ; {6,5 } ; {6, 6 }} 
 n() = C16 . C16 = 6.6 = 36 caùch 
 * B2 : Kyù hieäu bieán coá A : “Laàn ñaàu tieân xuaát hieänmaët chaün chaám”  n(A)- P(A) 
A = { (2,1);..(2,6) 
 (4,1);..(4,6) 
 (6,1);(6,6) } 
P(A) n(A) = 36/2 = 18 caùch  P(A)= n(A)/ n() = 18/36 = ½ 
 *B3 : Kyù hieäu bieán coá B “ laàn thöù 2 suaát hieän maët chaün chaám  n(B)  P(B) 
B = [{1,2 } ; {1,4 } ; {1,6 } 
{3,2 } ; {2,4 } ; {2,6 } 
{4,2 } ; {3,4 } ; {3,6 } 
{5,2 } ; {4,4 } ; {4,6 } 
{6,2 } ; {5,4 } ; {5,6 } 
{2,2 } ; {6,4 } ; {6,6 } 
 nB = 36/2 = 18 caùch  P(B)= n(B)/ n() = 18/36 = ½ 
 * B4 : Kyù hieäu C : “ Toång soá chaám 2 laàn gieo laø chaün ” 
 n(C) - P(C) 
Chaám chaün + Chaám chaün = Chaám chaün 
 A . B = [{2,2 } ; {2,4 } ; {2,6 } 
 {3,2 } ; {4,4 } ; {4,6 } 
 {6,2 } ; {6,4 } ; {6,6 }] 
  ST&BS: Vũ Ngọc Vinh
24
 n(AB) = 9 . P(AB)= n(AB)/ n() = 9/36 = ¼ . Hoaëc P(A.B)= P(A) + P(B) = ½ + ½ = ¼ 
Vì A vaø B laø hai bieán coá ñoäc laäp .Chaám leõ + chaám leõ = chaám chaün 
 A . B = { (1,1 ) ; (1,3 ) ; (1,5 ) 
 (3,1 ) ; (3,3 ) ; (3,5 ) 
 (5,1 ) ; (5,3 ) ; (5,5 ) 
 n(A.B) = 9 caùch  P(A.B)= n(A.B)/ n() = 9/36 = ¼ 
Hoaëc P(A.B) = P(A)+ P(B) = [1- P(A) ] [ 1 - P(B)] = (1- ½ ) (1- ½ ) = ½ . ½ = ¼ 
 P(C) = P(A.B)+ P(A.B)= ¼ + ¼ = ½ 
Baøi 3 : Moät toå coù 7 nam vaø 3 nöõ. Choïn ngaãu nhieân 2 ngöôøi. Tìm xaùc suaát caùc bieán coá. 
a) A : “caû hai ñeàu laø nöõ” 
b) B : “ khoâng coù nöõ naøo” 
c) C : “ coù ít nhaát 1 ngöôøi laø nöõ” 
d) D : “ coù ñuùng 1 ngöôøi laø nöõ” 
Traû lôøi : 
a) PA = n(A) / n() = C23 . C 07 / C210 = 3/45 = 1/15 
b) PB = n(B) / n() = C23 . C 07 / C210 = 21/45 = 7/15 
c) PC = 1 - PB = 1 – 7/ 15 = 8/15 
d) PD = n(D) / n() = C17 . C13/ 45 = 21/45 = 7/15 
Baøi 4 : Moät hoäp chöùa 10 quaû caàu ñoû ñöôïc ñaùnh soá 1 ñeán 10 , 20 quaû caàu xanh ñöôïc ñaùnh soá töø 1 
ñeán 20. laáy ngaãu nhieân 1 quaû. Tính xaùc suaát sao cho quaû ñöôïc choïn. 
a) “ ghi soá chaüm”  bieán coá A 
b) “ maøu ñoû”  bieán coá B 
c) “ maøu ñoûvaø nghi soá chaün”  bieán coá C 
d) “ maøu xanh vaø nghi soá leõ”  bieán coá D 
Ba