Phương trình lượng giác trong đề thi đại học 2002-2010

+ -
+
. 
 HD: Điều kiện: x x xsin 0, cos 0, tan 1¹ ¹ ¹ . 
 PT Û x x x x x2(cos sin )(1 sin .cos sin ) 0- - + = Û x k
4
p p= + . 
Baøi 11. (ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x
x
2cot tan 4sin 2
sin 2
- + = . 
 HD: Điều kiện: x
x
sin 0
cos 0
ì ¹
í ¹î
. PT Û x x22 cos 2 cos2 1 0- - = Û x k
3
p p= ± + . 
Baøi 12. (ĐH 2003D) Giải phương trình: x xx2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
pæ ö
- - =ç ÷
è ø
. 
 HD: Điều kiện: xcos 0¹ . 
 PT Û x x x x(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0- + + = Û 
x k
x k
2
4
p p
p p
é = +
ê
= - +ê
ë
. 
Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: ( )x x x2cos2 cos 2 tan 1 2+ - = . 
 HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. 
 PT Û x x x2(1 cos )(2 cos 5cos 2) 0+ - + = Û x k x k(2 1) , 2
3
pp p= + = ± + 
Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: ( )x x x x3 tan tan 2sin 6 cos 0- + + = . 
 HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û x x x x k2 2(1 cos2 )(3cos sin ) 0
3
p p+ - = Û = ± + 
Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: x x x6 23cos4 8cos 2 cos 3 0- + + = . 
 HD: PT Û x x x x k x k4 2cos2 ( 2 cos 5cos 3) 0 ,
4 2
p p p- + - = Û = + = 
Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Giải phương trình: 
( ) xx
x
22 3 cos 2sin
2 4 1
2 cos 1
pæ ö- - -ç ÷
è ø =
-
. 
 HD: Điều kiện: x 1cos
2
¹ . PT Û x x x k3 cos sin 0 (2 1)
3
p p- + = Û = + + 
Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: ( )x x x
x x
2cos cos 1 2(1 sin )
sin cos
-
= +
+
. 
 HD: Điều kiện: xsin 0
4
pæ ö
+ ¹ç ÷
è ø
. 
Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM 
WWW.MATHVN.COM Trang 3 
 PT Û x x x k x k2(1 sin ) (1 cos ) 0 , 2
2
p p p p+ + = Û = - + = + 
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: xx x
x
2 cos4cot tan
sin 2
= + . 
 HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û x x x k22 cos 2 cos2 1 0
3
p p- - = Û = ± + . 
Baøi 19. (ĐH 2004B) Giải phương trình: x x x25sin 2 3(1 sin ) tan- = - . 
 HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x22sin 3sin 2 0+ - = Û 
x k
x k
2
6
5 2
6
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ë
. 
Baøi 20. (ĐH 2004D) Giải phương trình: x x x x x(2 cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin- + = - . 
 HD: PT Û x x x(2 cos 1)(sin cos ) 0- + = Û 
x k
x k
2
3
4
p p
p p
é
= ± +ê
ê
ê = - +
ë
. 
Baøi 21. (ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: ( )x x x x3 34 sin cos cos 3sin+ = + . 
 HD: 
Baøi 22. (ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: x x1 sin 1 cos 1- + - = . 
 HD: 
Baøi 23. (ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x
x x
1 12 2 cos
4 sin cos
pæ ö
+ + =ç ÷
è ø
. 
 HD: 
Baøi 24. (ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: x x x xsin 4 .sin 7 cos3 .cos6= . 
 HD: 
Baøi 25. (ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: x x x x x x2sin .cos2 sin 2 .cos sin 4 .cos+ = . 
 HD: 
Baøi 26. (ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: x x x xsin sin 2 3(cos cos2 )+ = + . 
 HD: 
Baøi 27. (ĐH 2005A) Giải phương trình: x x x2 2cos 3 .cos2 cos 0- = . 
 HD: PT Û x x22 cos 4 cos4 3 0+ - = Û x k
2
p
= . 
Baøi 28. (ĐH 2005B) Giải phương trình: x x x x1 sin cos sin 2 cos2 0+ + + + = . 
 HD: PT Û x x x(sin cos )(2 cos 1) 0+ + = Û 
x k
x k
4
2 2
3
p p
p p
é
= - +ê
ê
ê = ± +
ë
. 
Baøi 29. (ĐH 2005D) Giải phương trình: x x x x4 4 3cos sin cos sin 3 0
4 4 2
p pæ ö æ ö
+ + - - - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
 HD: PT Û x x2sin 2 sin 2 2 0+ - = Û x k
4
p p= + . 
Baøi 30. (ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: 
x x x2 2 34sin 3 cos2 1 2 cos
2 4
pæ ö
- = + -ç ÷
è ø
. 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
WWW.MATHVN.COM Trang 4 
 HD: PT Û x xcos 2 cos( )
6
p p
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
 Û x x x5 17 5; ;
18 18 6
p p p
= = = . 
Baøi 31. (ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: x x x32 2 cos 3cos sin 0
4
pæ ö
- - - =ç ÷
è ø
. 
 HD: PT Û x x x x x x x x3 3 2 2cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0+ + + - - = 
 Xét 2 trường hợp: 
 a) Nếu xcos 0= thì PT Û x
x x3
cos 0
sin sin 0
ì =
í
- =î
 Û x k
2
p p= + . 
 b) Nếu xcos 0¹ thì ta chia 2 vế của PT cho x3cos . 
 Khi đó: PT Û x
x
cos 0
tan 1
ì ¹
í =î
 Û x k
4
p p= + . 
 Vậy: PT có nghiệm: x k
2
p p= + hoặc x k
4
p p= + . 
Baøi 32. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình : ( )x x x x x2 2 3sin .cos2 cos tan 1 2sin 0+ - + = . 
 HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x22sin sin 1 0+ - = Û 
x k
x k
2
6
5 2
6
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ë
. 
Baøi 33. (ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : xx x
x
2
2
cos2 1tan 3tan
2 cos
pæ ö -
+ - =ç ÷
è ø
 HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x3tan 1= - Û x k
4
p p= - + . 
Baøi 34. (ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: xx
x
3 sintan 2
2 1 cos
pæ ö
- + =ç ÷
è ø +
 . 
 HD: Điều kiện: xsin 0¹ . PT Û x2sin 1= Û 
x k
x k
2
6
5 2
6
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ë
. 
Baøi 35. (ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: x x x xsin 2 cos2 3sin cos 2 0+ + - - = . 
 HD: PT Û x x x(2sin 1)(sin cos 1) 0- - - = Û 
x
x
1sin
2
2sin
4 2
p
é
=ê
ê
æ öê - =ç ÷ê è øë
 Û 
x k
x k
x k
x k
2
6
5 2
6
2
2
2
p p
p p
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ê
ê
= +ê
ê = +ë
. 
Baøi 36. (ĐH 2006A) Giải phương trình: ( )x x x x
x
6 62 cos sin sin .cos 0
2 2sin
+ -
=
-
. 
 HD: Điều kiện: x 2sin
2
¹ . PT Û x x23sin 2 sin 2 4 0+ - = Û x k
4
p p= + . 
 Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x m5 2
4
p p= + . 
Baøi 37. (ĐH 2006B) Giải phương trình: xx x xcot sin 1 tan .tan 4
2
æ ö
+ + =ç ÷
è ø
. 
Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM 
WWW.MATHVN.COM Trang 5 
 HD: Điều kiện: xx xsin 0, cos 0, cos 0
2
¹ ¹ ¹ . 
 PT Û x x
x x
cos sin 4
sin cos
+ = Û x 1sin 2
2
= Û 
x k
x k
12
5
12
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ë
. 
Baøi 38. (ĐH 2006D) Giải phương trình: x x xcos3 cos2 cos 1 0+ - - = . 
 HD: PT Û x x2sin (2 cos 1) 0+ = Û 
x k
x k2 2
3
p
p p
é =
ê
= ± +ê
ë
. 
Baøi 39. (ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: x x x x3 3 2 3 2cos3 .cos sin3 .sin
8
+
- = . 
 HD: PT Û x 2cos4
2
= Û x k
16 2
p p
= ± + . 
Baøi 40. (ĐH 2006A–db2) Giải phương trình: x x2sin 2 4sin 1 0
6
pæ ö
- + + =ç ÷
è ø
. 
 HD: PT Û ( )x x xsin 3 cos sin 2 0+ + = Û 
x k
x k7 2
6
p
p p
é =
ê
= +ê
ë
. 
Baøi 41. (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: ( ) ( )x x x2 2 22sin 1 tan 2 3 2 cos 1 0- + - = . 
 HD: Điều kiện: xcos2 0¹ . PT Û ( )x x2cos2 tan 2 3 0- = Û x k
6 2
p p
= ± + . 
Baøi 42. (ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: x x x xcos2 (1 2 cos )(sin cos ) 0+ + - = . 
 HD: PT Û x x x x(sin cos )(cos sin 1) 0- - + = Û 
x k
x k
x k
4
2
2
2
p p
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ê
ê = +ë
. 
Baøi 43. (ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: x x x3 3 2cos sin 2sin 1+ + = . 
 HD: PT Û x x x x(cos sin )(1 cos )(sin 1) 0+ - + = Û 
x k
x k
x k
4
2
2
2
p p
p
p p
é
= - +ê
ê =ê
ê = - +êë
. 
Baøi 44. (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: x x x x3 24sin 4sin 3sin 2 6 cos 0+ + + = . 
 HD: PT Û x x x2(sin 1)( 2 cos 3cos 2) 0+ - + + = Û 
x k
x k
2
2
2 2
3
p p
p p
é
= - +ê
ê
ê = ± +
ë
. 
Baøi 45. (ĐH 2007A) Giải phương trình: ( ) ( )x x x x x2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2+ + + = + 
 HD: PT Û x x x x(sin cos )(1 sin )(1 cos ) 0+ - - = Û 
x k
x k
x k
4
2
2
2
p p
p p
p
é
= - +ê
ê
ê = +
ê
ê =ë
. 
www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng 
WWW.MATHVN.COM Trang 6 
 Baøi 46. (ĐH 2007B) Giải phương trình: x x x22sin 2 sin 7 1 sin+ - = . 
 HD: PT Û ( )x xcos4 2sin3 1) 0- = Û 
x k
x k
x k
8 4
2
18 3
5 2
18 3
p p
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ê
ê
= +êë
. 
Baøi 47. (ĐH 2007D) Giải phương trình: x x x
2
sin cos 3 cos 2
2 2
æ ö
+ + =ç ÷
è ø
. 
 HD: PT Û x x1 sin 3 cos 2+ + = Û x 1cos
6 2
pæ ö
- =ç ÷
è ø
 Û 
x k
x k
2
2
2
6
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = - +
ë
Baøi 48. (ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: x x x
x x
1 1sin 2 sin 2 cot 2
2sin sin 2
+ - - = . 
 HD: Điều kiện xsin 2 0¹ . PT Û ( )x x x2cos2 2 cos cos 1 0+ + = Û x k
4 2
p p
= + . 
Baøi 49. (ĐH 2007A–db2) Giải phương trình: 
 x x x x x22 cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )+ + = + . 
 HD: PT Û x x22 cos 3cos 0
6 6
p pæ ö æ ö
- - - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Û x k2
3
p p= + . 
Baøi 50. (ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: 5 3sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x xæ ö æ ö
- - - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
p p
 HD: PT Û 
x
x
3
cos 2 cos 2 0
2 4
pæ öæ ö
+ + =ç ÷ç ÷
è øè ø
 Û 
x k
x k
x k
2
3 3
2
2
2
p p
p p
p p
é
= +ê
ê
ê = +
ê
ê = +ë
. 
Baøi 51. (ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: x x x x
x x
sin 2 cos2 tan cot
cos sin
+ = - . 
 HD: Điều kiện: xsin 2 0¹ . PT Û x xcos cos2= - Û x k2
3
p p= ± + . 
Baøi 52. (ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: x x2 2 sin cos 1
12
pæ ö
- =ç ÷
è ø
 HD: PT Û x 5sin 2 cos sin
12 12 12
p p pæ ö
- = =ç ÷
è ø
 Û x k hay x k
4 3
p pp p= + = + . 
Baøi 53. (ĐH 2007D–db2) Giải phương trình: x x x(1–tan )(1 sin 2 ) 1 tan+ = + . 
 HD: Điều kiện: xcos 0¹ . PT Û x x x(cos sin )(cos2 1) 0+ - = Û x k
x k
4
p p
p
é
= - +ê
ê =ë
. 
Baøi 54. (ĐH 2008A) Giải phương trình: x
x
x
1 1 74sin
sin 43sin
2
p
p
æ ö
+ = -ç ÷
è øæ ö
-ç ÷
è ø
. 
Trần Sĩ Tùng WWW.MATHVN.COM 
WWW.MATHVN.COM Trang 7 
 HD: Điều kiện: x x 3sin 0, sin 0
2
pæ ö
¹ - ¹ç ÷
è ø
. 
 PT Û x x
x x
1(sin cos ) 2 2 0
sin cos
æ ö
+ + =ç ÷
è ø
 Û 
x k
x k
x k
4
8
5
8
p p
p p
p p
é
= - +ê
ê
ê = - +
ê
ê
= +êë
Baøi 55. (ĐH 2008B) Giải phương trình: x x x x x x3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cos- = - . 
 HD: PT ( )x x xcos2 sin 3 cos 0+ = Û x k x k;
4 2 3
p p p p= + = - + . 
Baøi 56. (ĐH 2008D) Giải phương trình: x x x x2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2 cos+ + = + . 
 HD: PT Û x x(2 cos 1)(sin 2 1) 0+ - = Û x k x k2 2 ;
3 4
p pp p= ± + = + . 
Baøi 57. (ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p ) của phương trình: 
x x x2 2 34sin 3 cos2 1 2 cos
2 4
pæ ö
- = + -ç ÷
è ø
. 
 HD: PT Û x x x2 cos 3 cos2 sin 2- = - Û ( )x xcos 2 cos
6
p p
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
 Û x k hay x h5 2 7 2
18 3 6
p p p p= + = - + 
 Do x (0; )pÎ nên chỉ chọn x x x5 17 5; ;
18 18 6
p p p
= = = . 
Baøi 58. (ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: x x x32 2 cos 3cos sin 0
4
pæ ö
- - - =ç ÷
è ø
. 
 HD: PT Û x x x x x x x x3 3 2 2cos sin 3cos .sin 3cos .sin 3cos sin 0+ + + - - = 
 Xét 2 trường hợp: 
 a) Nếu xcos 0= thì PT Û x
x x3
cos 0
sin sin 0
ì =
í
- =î
 Û x k
2
p p= + . 
 b) Nếu xcos 0¹ thì ta chia 2 vế của PT cho x3cos .