Ôn chương 2 - Hình học 11

 ta có I và L là hai điểm chung của (SBC) và (I,d) nên (SBC) ầ (I,d) = NK
- Phát biểu cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt
2. Giải bài toán: Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox, Oy và hai điểm A, B không nằm trên mặt phẳng (Ox, Oy). Biết rằng đường thẳng AB và (Ox, Oy) có điểm chung. Một mặt phẳng a thay đổi chứa AB, cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi a thay đổi.
Giaỷi: 
3.vớ du 4/ 51
Giải bài toán: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD, G là trọng tâm của . Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD)
4. baứi4 /53
Chữa bài tập 4 trang 53 (SGK)
- Trình bày lời giải: Gọi I là trung điểm của CD thì GA ẻ BI và GB ẻ AI. Gọi G = AGA ầ BGB ta có: 
 nên GAGB // AB và áp dụng định lí Ta let trong mặt phẳng (ABI) ta có: 
 = 3
Lí luận tương tự, ta có CGC và DGD cũng cắt AGA tại G’ và G” và 
Suy ra G º G’ º G”
5. 
Giải bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Tìm giao của mặt phẳng ( MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của (MNP) với các mặt của hình chóp.
6. baứi 5/53 
a) Gọi E =AB ầ CD ta có (MAB) ầ (SCD) = ME
Gọi N = ME ầ SD ta có N = SD ầ (MAB)
b) Gọi I = AM ầ BN ta có: I = AM ầ BN, AM thuộc (SAC), BN thuộc (SBD) 
và (SAC) ầ (SBD) = SO nên I ẻ SO
7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. hãy tìm những đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo với đường thẳng AB.
8.
Giải bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
9. Giải bài toán: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng chứa IJ và cắt AD, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng tứ giác IJMN là hình thang. Tìm vị trí của M,N để tứ giác IJMN là hình bình hành ?
10. 
Chữa bài tập 1 trang 59 ( SGK )
11. Giải bài toán: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.
12.
Giải bài toán: Cho tứ diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi a là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Dựng thiết diện tạo bởi a và tứ diện ABCD.
13. Chữa bài tập 1 trang 63
a) Chứng ninh được OO’ // DF, OO’ // CE và suy ra được OO’ // (ADF), OO’ // (BCE)
b) áp dụng được định lí Talet đảo trong (IDE) để chứng minh được MN // DE suy ra MN // (IDE)
14. Chữa bài tập 2 trang 79 ( SGK)
15. Giải bài toán: Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy các điểm A1, A2, trên cạnh CA lấy các điểm B1, B2 , trên cạnh AB lấy các điểm C1, C2 sao cho 6 điểm đó nằm trên cùng một đường tròn. Gọi x và x’ là các đường thẳng lần lượt qua A1, A2 và vuông góc với BC. y và y’ là các đường thẳng lần lượt qua B1, B2 và vuông góc với CA. z và z’ là các đường thẳng lần lượt qua C1, C2 và vuông góc với AB.Chứng minh rằng nếu x, y, z đồng quy thì x’, y’, z’ cũng đồng quy
giaỷi: 
Gọi ( C ) là đường tròn tâm O đi qua 6 điểm 
A1, A2, B1, B2, C1, C2. Gọi = x ầ ( C ) thì
A2 là đường kính của ( C ) nên:
Đ0: A2 ị x x’ qua A2 và x’ // x
hay x’ // BC
Tương tự :
Đ0: y y’ đi qua B2, vuông góc với AC
 z z’ đi qua C2, vuông góc với AB
Theo giả thiết x, y, z đồng quy tại S thì S’ ảnh
của S qua Đ0 là điểm chung của x’, y’, z’ tức là x’, y’, z’
đồng quy
16.
Giải bài toán: Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong cùng một mặt phẳng.
a) Tìm giao tuyến của các m/p sau: (AEC) và (BFD) ; (BCE) và (ADF)
b) Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đ/thẳng AM với (BCE)
c) C/m hai đường thẳng AC và BF là hai đường thẳng không thể cắt nhau
a) Gọi G = AC ầ BD, H = AE ầ BF ta có:
 (AEC) ầ (BFD) = HG
Gọi I = AD ầ BC và K = AF ầ BE ta có:
 (BCE) ầ (ADF) = IK
b) Gọi N = AM ầ IK ta có N = AM ầ (BCE)
17. Giả bài toán: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, BC và CD. O là tâm của hình bình hành.
a) Tìm thiết diện của hình chóp khi nó bị cắt bởi mặt phẳng (MNP)
b) Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng (MNP) 
giaỷi:
a) Gọi E = AB ầ NP ; F = AD ầ NP ;
R= SBầME; Q= SD ầ MF thiết diện là ngũ giác MQPNR
b) Gọi H = NP ầ AC; I = MH ầ SO ta có:
 I = SO ầ (MNP)
HAI MAậT PHAÚNG SONG SONG
18. Giải bài toán: Cho tứ diện S.ABC. Hãy dựng mặt phẳng a qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC)
19. Giải bài toán: Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là các tia phân giác ngoài của các góc . HoiSX, Sy, Sz có cùng thuộc một mặt phẳng không ? Tại sao ?
20. Chữabài tập 2 trang 71 - SGK.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM // A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng ( AB’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( AB’C’) và ( BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng ( AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
a) MM’ // BB’ và MM’ = BB’ ị tứ giác AA’M’M là hình bình hành. ị AM // A’M’.
b) A’M ầ ( AB’C’) = I với I = A’MầAM’
c) d = C’O = ( AB’C’) ầ ( BA’C’); O = AB’ ầ A’B
d) G = C’O ầ AM’. G là giao của hai trung tuyến.
21. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Qua trung điểm M của cạnh AA’, dựng mặt phẳng ( a ) song song với 2 đáy của hình hộp. Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai đáy ABCD, A’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OD và O’C’.
a) Xác định giao điểm K của IJ và mặt phẳng ( a ).
b) Điểm K cia IJ theo tỉ số nào ?
giaỷi:
a) Dựng mặt phẳng ( ) chứa IJ // ( ABB’A’ ) mặt phẳng này cắt ( a ) theo giao tuyến EF. 
EF ầ IJ = K là điểm cần dựng.
b) áp dụng định lí Ta - lét cho 3 mặt phẳng ( a ), ( ABCD ), ( A’B’C’D’) và 2 cát tuyến AA’, IJ ta có: 
22. Cho 2 điểm M, N di động trên 2 nửa đường thẳng chéo nhau Ax và By.
a) Hãy chỉ ra một mặt phẳng ( P ) chứa By và song song với Ax. Đường thẳng kẻ từ M song song với AB cắt mặt phẳng ( P ) tại E. Tìm tập hợp điểm E.
b) Khi M và N di động sao cho AM = BN, chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
a) Dựng Bz // Ax ị Ax // ( By, Bz ), 
( P ) º ( By, Bz ).
 Lại có Ax // Bz nên ( Q ) º ( Ax, Bz ).
Vẽ ME // AB ( E ẻ Bz ) ị E thuộc giao tuyến của ( P ) và ( Q ). M º A ị E º B nên tập hợp các điểm E là tia Bz.
b) AM = BN và AM = AE nên cân tại B.
Dựng các đường phân giác trong và ngoài của góc B là Bt và Bt’ thì do Bt ^ Bt’ và NE ^ Bt nên suy ra được Bt’ // NE. Suy ra ( AB, Bt’ ) = ( R ) cố định. Do ME // AB ị ME // ( R ), NE // ( R ) nên ( MNE ) // ( R ) ị MN // ( R ) cố định.
pheựp chieỏu song song
23. Chữa bài tập 3 trang 71 - SGK.
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có các cạnh bên là AA’, BB’, CC’, DD’.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( BDA’) và ( B’D’C ) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) Chứng minh G1, G2 chia đoạn AC’ thành 3 phần bằng nhau.
d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng ( A’IO ) với hình hộp đã cho.
24. Hình vẽ sau có phải là hình biểu diễn của lục giác đều không ? Tại sao ? 
Trong đó AB song song và bằng ED, BC song song và bằng EF, AF song song và bằng CD còn các tứ giác ABOF, ABCO, EDOF, CDEO là các hình thang.
Từ tính chất của đa giác đều, phân tích để thấy được hình vẽ đã cho không phải là hình biểu diễn của một lục giác đều.
25. Các hình biểu diễn sau biểu diễn hình nào ?
26. Cho 2 mặt phẳng ( P ) // ( Q ) và AC // BD. Hình vẽ sau đây có đúng không ? Tại sao ?
OÂN TAÄP CHệễNG
27. Chữa bài tập 1 trang 95 - SGK.
Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: ( AEC ) và ( BFD ); ( BCE ) và ( ADF ).
b) Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng ( BCE ).
c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF là hai đường thẳng không cắt nhau.
- Vẽ hình biểu diễn.
a) Gọi G = AC ầ BD; H = AE ầ BF. Ta có:
( AEC ) ầ ( BFD ) = HG. Tương tự gọi I = AD ầ BC; K = AF ầ BE ta có ( BCE ) ầ ( ADF ) = IK.
b) Gọi N = AM ầ IK thì N = AM ầ ( BCE )
c) Giả sử AC và BF cắt nhau thì 2 hình thang đã cho cùng thuộc một mặt phẳng: mâu thuẫn.
28. Chữa bài tập 2 trang 95 - SGK.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của đoạn SA, BC và CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi nó bị cắt bởi mặt phănge ( MNP ).
Gọi O là tâm của hình bình hành, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP ).
Gọi E = AD ầ NP; F = AB ầ NP; R = SD ầ ME Q = SB ầ MF. Thiết diện là ngũ giác NPQMR.
Gọi H = NP ầ AC; I = SO ầ MH ta có:
 I = SO ầ ( MNP ).
29. Chữa bài tập 3 trang 96 - SGK.
Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( SAD ) và ( SBC ).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( AMN ).
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cát bởi mặt phẳng ( AMN ).
a) Gọi E = AD ầ BC. 
Ta có ( SAD ) ầ ( SBC ) = SE.
b) Gọi F = SE ầ MN; P = SD ầ AE. Ta có:
P = SD ầ ( AMN )
c) Thiết diện là tứ giác AMNP
30. Chữa bài tập 4 trang 96 - SGK.
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD.
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng ( IJK ). 
Chứng minh rằng DE = DC.
b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng ( IJK ).
Chứng minh rằng FA = 2FD.
c) Chứng minh FK // IJ.
d) Gọi M và N lần lượt là hai điểm bất kỳ trên AB và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ( IJK ).
a) Gọi E = JK ầ CD. Ta có E = CD ầ ( IJK ).
Trong ( BCD ), kẻ DD’ // JK ( D’ ẻ BC ) ta có:
 nên D’ là trung điểm của JC, suy ra D là trung điểm của CE
b) Gọi F = AD ầ IE, ta có F = AD ầ (