Một số vấn đề về dãy số nguyên - Trần Việt Phương

nhiên n.
Khi đó ta thấy:
Lại có 
Suy ra Vậy là số nguyên.
Ví dụ 1.3. Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn điều kiện Xét dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên.
Lời giải
Theo giả thiết ta có : 
Từ đó suy ra (1)
Vì , nên từ (1 ) suy ra:
Nhận thấy , kết hợp với (2) ta có
Do và .
Vậy là các số nguyên với mọi 
Ví dụ 1.4. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên.
Lời giải
Từ giả thiết ta có:
 và hay 
Thay n trong (1) bằng n-1 ta được 
Từ (1) và (2) suy ra là hai nghiệm của phương trình: 
Theo định lí Viet ta có hay 
Từ suy ra mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên. 
Ví dụ 1.5. Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm k nguyên dương sao cho dãy gồm toàn số nguyên.
Lời giải
Ta có . Đặt , khi đó suy ra:
Để thì ta phải có: 
Ta có 
Từ đó suy ra: , với v là số tự nhiên chẵn thỏa mãn hay 
Thử trực tiếp ta được và 
Ngược lại với thì 
 (1)
Thay n bởi n+1 ta được: 
 (2)
Trừ theo vế với vế (1) và (2) ta được kết quả sau:
Dễ thấy dãy tăng nên với 
Do vậy dãy gồm toàn số nguyên khi và chỉ khi 
Ví dụ 1.6. Cho dãy số thỏa mãn các điều kiện sau:
Chứng minh rằng là số nguyên với mọi n=1, 2, 3, 
Lời giải
Từ tính chất d) ta có:
Từ đó suy ra:
hay (1)
Đặt: 
 (2)
Từ (2) ta có 
Khi đó: 
Theo tính chất c) suy ra 
Từ (2) suy ra 
Do và Vậy 
Ví dụ 1.7. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng:
 là số nguyên dương với mọi 
 là số chính phương với mọi 
Lời giải
Ta có và dãy số tăng ngặt.
Từ giả thiết ta có , bình phương hai vế ta được:
 (1)
Từ (1) ta cũng có (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Từ (3) và kết hợp với dãy tăng nên là số nguyên dương với mọi 
b) Từ (1) ta có 
Do đó là số chính phương với mọi 
Nhận xét: Trong một số bài toán, việc dự đoán được công thức tổng quát , nhưng chứng minh trực tiếp gặp khó khăn, ta thường xử lí như sau:
Chứng minh tồn tại duy nhất dãy thỏa điều kiện của bài toán.
Xây dựng dãy phụ  có giá trị đầu và hệ thức truy hồi giống với giá trị ban đầu và hệ thức truy hồi của  và chứng minh dãy  cũng thỏa điều kiện của bài toán. Khi đó .
Ví dụ 1.8. Cho dãy số nguyên xác định và . (1)
Chứng minh lẻ với mọi 
Lời giải
Từ giả thiết ta có , vì trong khoảng có độ dài bằng 1 có duy nhất một số nguyên nên dãy đã cho xác định là duy nhất.
Ta có ; giả sử .
Từ ta có hệ:
Ta chứng minh dãy xác định bởi: thỏa mãn (1).
Thật vậy, ta có  .
Từ công thức truy hồi của dãy suy ra 
Mặt khác 
Từ (2) và (3) suy ra: , vậy với 
Từ công thức truy hồi của dãy ta được là số nguyên lẻ.
Ví dụ 1.9. Cho dãy số nguyên dương thỏa mãn:
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
Lời giải
Từ cách cho dãy số, ta thấy dãy luôn tồn tại và duy nhất.
Xét dãy xác định bởi:
Ta chứng minh: (1)
Ta có 
Vậy (1) được chứng minh.
Ta chứng minh (2) bằng phương pháp quy nạp.
Nhận thấy dãy là dãy tăng.
Với ta có (2) đúng.
Giả sử ta có 
Suy ra (2) được chứng minh.
Dựa vào các kết quả trên ta có:
.
Hay 
Do đó: 
.
Vì tính duy nhất nên ta có: 
Vậy bài toán được chứng minh.
II.1.2.2. Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương thỏa mãn:
Bài 2. Cho dãy số được xác định như sau:
Trong đó a, b là hai số nguyên khác 0, còn d là số thực. Tìm mọi giá trị của d để mọi giá trị của dãy là số nguyên.
Bài 3. (Olympic 30-4). Cho , dãy số được xác định như sau:
Chứng minh mọi giá trị của dãy là số tự nhiên.
Bài 4. Xác định tất cả các dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện sau:
Bài 5. (Olympic 30-4). Cho dãy số xác định bởi:
Xác định p để mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bài 6. Cho dãy số thỏa mãn điều kiện sau:
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Chứng minh rằng số có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với 
II.2. Bài toán liên quan đến chia hết
II.2.1. Ví dụ
Thông thường các bài toán này được xử lí theo các hướng sau:
Hướng 1: Tìm công thức tổng quát của dãy số, sử dụng các tính chất chia hết của số học để thực hiện phần còn lại.
Hướng 2: Chuyển về nghiên cứu trên dãy các số dư.
Ví dụ 2.1. (VMO 2011). Cho dãy số nguyên được xác định bởi: 
 Chứng minh rằng .
Lời giải
	Nhận xét: Dãy cho dưới dạng truy hồi tuyến tính cấp hai nên ta có thể tìm công thức tổng quát (CTTQ) của để chứng minh bài toán.
	Nhận thấy 
Hơn nữa phương trình 
 nên ta xét dãy số nguyên phụ được xác định bởi:
Số hạng tổng quát của dãy có dạng: 
Từ , ta tìm được công thức tổng quát của dãy là:
Do đó để chứng minh ta chứng minh .
Hay , 
mà nên ta cần chứng minh 
Ta có 2011 là số nguyên tố nên theo định lí Fermat nhỏ thì 
	Vậy bài toán được chứng minh.
	Nhận xét: Từ công thức (1)
Trong (1) nếu ta thay thì ta được:
Suy ra 
	Từ đó ta có bài toán sau:
Ví dụ 2.1.1. Cho dãy số nguyên được xác định bởi: 
 Chứng minh rằng 
Trong (1) nếu ta thay bởi số nguyên tố thì ta được:
	Từ đó ta có bài toán sau:
Ví dụ 2.1.2. Cho dãy số nguyên được xác định bởi: 
 Chứng minh rằng , trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 5.
Trong (1) nếu ta thay bởi số nguyên tố , trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì ta được:
Suy ra 
	Từ đó ta có bài toán sau:
Ví dụ 2.1.3. Cho dãy số nguyên được xác định bởi: 
 Chứng minh rằng trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 5.
Ví dụ 2.2. Cho dãy số được xác định như sau:
Với mỗi số nguyên dương n, gọi số dư khi chia cho 2013. Chứng minh rằng dãy số là tuần hoàn.
Lời giải
Dãy số được xác định bởi:
 và 
Do đó được xác định thông qua 
Ta đi xét các cặp 
Vì các giá trị của là hữu hạn, còn các cặp là vô hạn nên tồn tại các số nguyên dương sao cho hay 
Đặt ta có 
Ta chứng minh 
Giả sử: , ta chứng minh 
Thật vậy: 
Giả sử :, ta chứng minh 
Thật vậy: 
Tiếp tục như vậy, ta có 
Vậy hay dãy là dãy tuần hoàn.
Tương tự ta có kết quả tổng quát sau:
 dãy số nguyên thỏa mãn trong đó là các số nguyên và m là số nguyên dương lớn hơn 1. Gọi là số dư trong phép chia cho m. Khi đó dãy là dãy tuần hoàn.
Ví dụ 2.3. (VMO 1995). Cho dãy số được xác định như sau: và 
Chứng minh rằng dãy số .
Lời giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta thấy Gọi là số dư trong phép chia cho 4. Khi đó 
Mặt khác , nên 
Ta có: 
Từ đó, ta thấy dãy tuần hoàn với chu kì 6, hay 
Suy ra 
.
Vì 
Do đó 
Suy ra 
Mặt khác, với từ công thức truy hồi ta có:  
Do đó  suy ra 
Vậy 
	II.2.2. Bài tập 
Bài 1. Cho dãy số nguyên được xác định bởi: 
Tìm tất cả các số nguyên a, b sao cho 
Bài 2. Cho dãy số nguyên được xác định bởi: 
 Chứng minh rằng 
Bài 3. Cho dãy số được xác định bởi:
Chứng minh rằng 
Bài 4. (VMO 1997). Cho dãy số nguyên dương được xác định bởi:
Chứng minh rằng 
Bài 5. (VMO 1998). Cho dãy số nguyên dương được xác định bởi:
Tìm số nguyên dương h bé nhất sao cho 
Bài 6. Cho dãy số nguyên dương được xác định bởi:
Với mọi n gọi là số dư của phép chia cho 1992. Chứng minh rằng là dãy tuần hoàn.
Chứng minh rằng tồn tại vô số số x của dãy sao cho:
II.3. Dãy số với số chính phương
	II.3.1. Ví dụ
Ví dụ 3.1. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng mọi thì là số chính phương.
Lời giải
Cách 1: Ta có 
Kết quả trên gợi ý ta xét dãy: 
Với , suy ra:
Ta chứng minh: 
Ta có (1) đúng với .
Giả sử , ta có:
Tiếp theo ta chứng minh . (2)
Thật vậy: 
Ta có: 
	Từ đó ta có điều phải chứng minh.
	Cách 2: Xét phương trình đặc trưng 
Suy ra 
Dựa vào ta có 
Suy ra 
Do đó 
Đặt , ta chứng minh với mọi thì 
Từ công thức tổng quát của ta có được hệ thức truy hồi: 
Vì sử dụng phương pháp quy nạp và dựa vào công thức truy hồi ta chứng minh được với 
	Vậy là số chính phương với mọi 
	Cách 3: Ta có 
Thay n bởi n+1 ta có: 
Từ (4) và (5), ta có là nghiệm của phương trình .
Khi đó là số chính phương nên tồn tại số sao cho
Do đó .
Ta có .
Mặt khác bằng quy nạp ta chứng minh được 
Nên từ (6) suy ra với .
	Vậy là số chính phương với mọi 
	Từ các cách giải bài toán trên, ta có các kết quả của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai như sau:
	Tính chất: Cho dãy khi đó:
 là hai nghiệm của phương trình: .
 là số chính phương.
Đặc biệt với , ta có:
.
 là hai nghiệm của phương trình: .
 là số chính phương.
	Nhận xét: Từ các tính chất trên cho .
Khi đó là nghiệm của phương trình , suy ra 
Với công thức truy hồi: , ta cho .
Do đó nên ta có (đây là ví dụ 1.5).
Xuất phát từ , ta có .
Suy ra là số chính phương.
 	Vậy là số chính phương. Từ đó chúng ta có bài toán sau:
Ví dụ 3.2. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng mọi thì là số chính phương.
Lời giải
Ta chứng minh công thức truy hồi 
Từ giả thiết bài toán suy ra 
Khi đó 
Do , nên là số chính phương.
Ví dụ 3.3. Cho dãy số được xác định như sau: 
Tìm để là số chính phương.
Lời giải
Xét phương trình đặc trưng: .
Suy ra có dạng 
Vì ta có hệ sau:
Từ đó ta có:
.
Nên suy ra:
Vì là số chính phương nên 
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu thì 
Nếu thì 
Nếu và thì ta xét dãy với:
Ta có là nghiệm của phương trình đặc trưng .
Nên thỏa mãn .
Mà suy ra 
Do đó ta có không là số chính phương.
Nếu ta có:
Xét dãy với: 
Ta có thỏa mãn .
Mà nên 
Suy ra , khi đó là số chính phương.
Vậy là số chính phương khi và chỉ khi n là số tự nhiên lẻ hoặc 
Ví dụ 3.4. Cho dãy số nguyên thỏa mãn: .
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên không phụ thuộc vào sao cho là số chính phương.
Lời giải
Đặt 
Từ giả thiết suy ra 
Khi đó 
Suy ra .
Vậy là hằng số không phụ thuộc vào n. Gọi hằng số đó là 
Ta được 
Vậy là số chính phương.
	II.3.2. Bài tập 
Bài 1. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng là số chính phương.
Bài 2. Cho dãy số được xác định như sau: 
Tìm n để là số chính phương.
Bài 3. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng là các số chính phương.
Bài 4. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng mọi số hạng lẻ của dãy số là số chính phương.
Bài 5. Cho dãy số được xác định như sau: 
Chứng minh rằng 
 là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n.
 là các số chính phương .
II.4. Các bài toán về phần nguyên
	II.4.1. Ví dụ 
	Các bài toán về phần nguyên, chủ yếu dựa vào tính chất của phần nguyên để đánh giá và kết hợp với tính chất số nguyên.
V