Một số phương trình về phần nguyên

II. Nội dung
1. Định nghĩa: Cho là một số thực, phần nguyên của là số nguyên lớn nhất không vượt quá , kí hiệu là .
 Ví dụ: 
[2,8] = 2	;	[0] = 0	;	[-0,37] = -1
[-3,51] = -4	;	 ; 
Từ định nghĩa trên ta suy ra ngay một số tính chất đơn giản sau:
Nếu thì với , 
Nếu 
 thì và 
Nếu thì 
Nếu 
.
Cũng từ định nghĩa trên nếu ta tiếp tục khám phá, thì ta sẽ được rất nhiều tính chất khác xoay quanh khái niệm này, chẳng hạn ta có 
Mệnh đề: Với thì 
 Thật vậy: giả sử với nên 
 ▪ (vì ) 
Nhưng nên 
Do đó 
 ▪ mà và nguyên nên 
Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
 Sau đây ta sẽ vận dụng định nghĩa và một vài tính chất đơn giản về phần nguyên, vào giải các phương trình liên quan. 
2. Áp dụng định nghĩa và các tính chất đơn giản vào giải phương trình liên quan đến phần nguyên của số thực.
Ví dụ 1: Giải phương trình 	(1)
(Đề thi HSG 10 – Thái Nguyên 2008)
Giải:
Ta có và cùng dấu nên từ (1) suy ra .
Mặt khác nếu thì nên (1) sai
Suy ra điều kiện cần là 
Với thì nên 
Tương tự 
Do đó phương trình (1) 
Vậy nghiệm x của phương trình (1) đã cho là: .
Ví dụ 2:
Giải phương trình : (2)
Giải:
 *) Điều kiện cần: Nếu thỏa mãn (2) thì (*)
Mặt khác ta có 
 kết hợp với (*) 
 (**)
Do nên dễ thấy từ (**) suy ra 
 *) Điều kiện đủ: khi thay vào (2) suy ra (» 1,58)
Rõ ràng 
Thử lại với thỏa mãn phương trình 
Vậy nghiệm của phương trình (2) là .
Ví dụ 3:
Giải phương trình:
 (Đề thi HSG 12 – Thái Nguyên 2006) 
Giải:
 (3)
Do 
Theo định nghĩa với 
 (chú ý vì )
Vậy 
Kết hợp với (3) 
Þ Điều kiện cần là 
Xét Þ (3) trở thành 
Trường hợp này nghiệm của (3) là 
Xét Þ (3) trở thành 
Trường hợp này nghiệm của (3) là 
Xét Þ (3) trở thành 
Trường hợp này nghiệm của (3) là 
 Vậy nghiệm của phương trình (3) là .
Ví dụ 4: 
Giải phương trình
 	(4) (Đề thi HSG12 – thái Nguyên 2006)
Giải:
 Đặt 
Theo định nghĩa 
Mà ta có 
Xét Þ (4) trở thành 
Trường hợp này nghiệm của (4) là 
Xét Þ (4) trở thành 
Trường hợp này nghiệm của (4) là 
Xét Þ (2) trở thành 
Trường hợp này nghiệm của (4) là 
Xét 
Trường hợp này nghiệm của (4) là 
Tóm lại nghiệm của phương trình (4) là
Ví dụ 5:
Giải phương trình (lấy nghiệm gần đúng)
 	(5)
 (Đề thi HSG MTBT 10 – 2004)
Giải:
(5) Þ 
Do 
Dễ thấy phương trình (5) không có nghiệm
 (5) có nghiệm 
 (5) có nghiệm 
Vậy phương trình (5) có 2 nghiệm gần đúng (có thể viết dưới dạng số đúng)
 Ví dụ 6: 
Chứng minh rằng phương trình 
 (6) 
 không có nghiệm.
Giải:
Đặt 
Áp dụng mệnh đề “Với thì ” đã nêu ở ngay sau định nghĩa, lần lượt với bằng 1, 2, 4, 8, 16, 32 và cộng lại ta được
Suy ra 
Nếu thì 
điều này không thể xảy ra vì là số nguyên
Vậy từ đó chứng tỏ phương trình (6) không có nghiệm
Ví dụ 7:
Giải phương trình:
 (7)
Giải:
 Đặt 
Ta có 
Mà 
	Ở (a) cho được một dãy bất đẳng thức cùng chiều, cộng theo vế 
	Ở (b) cho 
Khi 
Do 
Do đó phương trình (7) trở thành 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 
Ví dụ 8:
 Giải phương trình:
 (8)
Giải: 
Điều kiện 
Phương trình (8) đã cho tương đương với phương trình 
 ( kí hiệu )
Xét các trường hợp sau: , , 
Với phương trình được viết thành và vô nghiệm, vì 
Với ta có phương trình . Vì và , nên . Nhưng với ta có đẳng thức ; suy ra trong trường hợp này ta có phương trình hay 
Với ta có phương trình . 
Vì và nên , hay . Số thỏa mãn phương trình.
 Nếu , thì và phương trình có dạng dễ thấy phương trình có nghiệm 
Nếu trường hợp này nên phương trình không có nghiệm.
Tóm lại phương trình (8) đã cho có các nghiệm