Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số

Phần thứ nhất:
Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số
Bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số là một bài toán hay nhưng đồng thời cũng là một bài toán khó. Trong chương trình Đại số giải tích lớp 11 bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số thường được đề cập tới với nhiều góc độ khác nhau, trong các đề thi học sinh giỏi bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số xuất hiện khiến không ít học sinh lao đao. Trong quá trình giảng dạy, ôn luyện , sưu tầm tôi xin giới thiệu một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số ở một số dạng cơ bản và mức độ khiêm tốn. Hy vọng rằng có thể giúp ích cho các bạn nào có hứng thú quan tâm.
Phần thứ hai.
Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số:
1/ Phương pháp đơn giản từng số hạng:
2/Phương pháp lùi dần các số hạng:
3/ Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng)
4/ Phương pháp quy nạp:
Vấn đề cụ thể:
Phương pháp 1: Phương pháp đơn giản từng số hạng
 Từ biểu thức Un+1=f(Un , Un-1) ta đặt Vn=Un-Un-1, ta suy ra Vn+1=g(Vn) Khi đó Vn có thể là cấp số cộng hoặc cấp số nhân. Từ đó tìm được Vn.
 Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+ +(U1-U0) + U0
 = Vn+ Vn-1++ V1+U0=Sn+U0
 Trong đó Sn tổng n số hạng đầu tiên của dãy Vn.
 Ví dụ1: Cho dãy (Un) thoả mãn điều kiện: Un+1- 2Un+Un-1=1 với . Hãy tính Un qua U0, U1 và n.
 Giải: 
 Từ điều kiện của bài toán ta suy ra: (Un+1-Un)- (Un-Un-1)=1
 Đặt Vn=Un-Un-1thì Vn+1-Vn=1(. Khi đó dãy (Vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu V1=U1-U0 và công sai d =1 nên Sn=V1+V2++Vn=. Từ đó:
 Un=(Un-Un-1)+(Un-1-Un-2)+.+(U1-U0)+U0 = Vn+Vn-1++V1+U0
 = Sn+U0=
 Chẳng hạn với U0=1, U1=1 ta có : Un=
Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: Un+1=Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 và n.
Giải: Từ giả thiết suy ra: 2Un+1=Un+Un-12(Un+1-Un)=-(Un-Un-1)
 Đặt Vn=Un-Un-1 ta có 2Vn+1=-Vn
Do đó (Vn) là một cấp số nhân có số hạng đầu V1=U1- U0 và công bội q=. Tổng n số hạng đầu của (Vn) là:
 Sn= 
Vậy:
 Un=(Un-Un-1) + (Un-1- Un-2) ++ (U1-U0) + U0
 = Sn+U0=
 Nếu: U0 =1,U1 =2 Ta có Un = . Với mỗi cặp (U0; U1) cụ thể ta được một bài toán mới.
Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định bởi: Un+1=(a+b)Un - abUn-1 
 Hãy biểu diễn Un qua U0, U1 và n.
 Giải:
 Giả thiết suy ra Un+!- aUn= b(Un - aUn-1) . Đặt Vn=Un-aUn-1(1) ta cóVn+1=bVn () ta có (Vn) là cấp số nhân có số hạng đầu V1 và công bội b nên: Vn= V1bn-1 . Từ đó ta có: U1- aU0=V1 (2) , U2- aU1=V1b (3) , U3- aU2=V1b2 (4) .
 Un- aUn-1 = V1bn-1.
 Nhân (2) với a rồi cộng cho(3) được : U2=a2U0+(a+b)V1
 Nhân (2) với a2, (3) với a rồi cộng vào (4) được: U3=a3U0+(a2+ab + b2)V1
Giả sử ta chứng minh được:
 Un= anU0 + (an-1+an-2b++abn-2 + bn-1)V1 thì theo (1) ta có:
Un+1=aUn+V1bn
 = an+1U0+(an+an-1b++abn-1+bn)V1
Vậy Un= anU0 + (an-1+an-2b++ abn-2+bn-1)(U1- aU0) 
 = (an-1+an-2b++abn-2+bn-1)U1- ab(an-2+an-3b++ abn-3+bn-2)U0
Hay gọn hơn: 
 Bài tập tương tự:
Cho dãy số (Un) thoả mãn: U0=2, U1=3, Un=3Un-2Un-1. Tìm số hạng tổng quát Un.
Cho dãy số (Un) thoả mãn:. Biểu diễn Un qua U0 và U1.
Hướng dẫn:
 1.Vn=Un-Un-1 Un=2n +1
 2. Vn+1=- Un=
 Phương pháp 2: Phương pháp lùi dần các số hạng.
 Ví dụ1: cho dãy số(Un) thoả mãn: U0=1; Un+Un-1+6 = 0 . Tìm số hạng tổng quát Un .
 Giải: ta có Un+Un-1+6 = 0 Un+3=-(Un-1+3)
 Un+3 = -(Un-1+3) = Un-2+3 = -(Un-3+3) ==(-1)n(U0 + 3) =(-1)n.4
 Vậy: Un=(-1)n.4- 3
 Ví dụ2: Cho dãy số (Un) thoả mãn: U1=2, Un+1=2-Un với n. Xác định hạng tổng quát Un .
 Hướng dẫn: Un+1=2-Un Un+1-1= - ( Un-1-1) Đáp số: Un=(-1)n-1+1
Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng hàm sinh( phương trình đặc trưng).
 Cho dãy số(Un) được xác định theo quy luật:
 aUn+1+bUn+cUn-1= 0 . Khi đó Un được xác định theo công thức: Un=. Trong đó là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c= 0, a1,a2 là các hệ số cần xác định.
Chứng minh: Theo định lý Viet Từ aUn+1+bUn+cUn-1= 0
 Từ đó: 
 Tương tự: 
Nếu lấy (2) trừ (1) ta được: 
Nếu thì theo ví dụ 3 phương pháp 1 :
Ví dụ 1: cho dãy số (Un) xác định bởi : U0=2, U1=5 và Un=5Un-1- 6Un-2 ; 
 Tìm số hạng tổng quát Un.
 Giải: Dùng phương pháp hàm sinh, xét phương trình x2-5x+6=0 có hai nghiệm là 
 Với: n=0 U0=a1+a2=2
 Với: n=1 U1=2a1+3a2=5 
 Vậy: 
Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số Phibônaxi:
 U0=0, U1=1, Un+1=Un+Un-1
 Giải: phương trình hàm sinh x2-x-1=0 có nghiệm 
 Theo phương trình hàm sinh thì Un=
 Với n=0: U0=a1+a2=0
 Với n=1: U1=
 Vậy: Un=
 =
Ví dụ 3: Cho dãy số (Un) xác định theo quy luật 
 U0=2, Un+1=3Un+ . Hãy xác định số hạng tổng quát Un
 Giải: từ giả thiết ta có: Un+1- 3Un =nên
 hay 
 Tương tự 
 Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên ta được: 
 Do Un+1>3Un=9Un-1+3 nên suy ra Un+1+Un-1=6Un hay Un+1-6Un+Un-1=0 . Theo phương pháp hàm sinh , xét phương trình x2-6x+1=0. Phương trình này có nghiệm và dạng tổng quát của Un là 
 Từ U0=2 và U1=6+ ta suy ra 
 Vậy Un=
Bài tập tương tự:
Xác định số hạng tổng quát Un biết:
U1=1,U2=3, Un+2=4Un+1-3Un
U1=a, U2=b, Un+2=-(Un+2Un+1)
U1=a, U2=b, Un+2=3Un+1+2Un
Phương pháp 4: Phương pháp quy nạp.
Ví dụ1: cho dãy số (Un) xác định bởi: U1=1, Un+1= 3Un+10 với mọi 
 Tìm số hạng tổng quát Un.
 Giải: có U1=1, U2=13=2.32-5, U3= 49=2.33-5. 
 Ta chứng minh Un=2.3n-5 với mọi n
 Thật vậy giả sử Uk=2.3k-5 ta có Uk+1= 3Uk+10= 3(2.3k-5)+10 = 2.3k+1- 5 (đpcm)
Ví dụ 2: cho dãy số (Un) xác định bởi : U1=2 và Un+1=5Un với mọi 
 Tìm số hạng tổng quát Un.
 Giải: ta có U1=2, U2=10=2.52-1, U3=50=2.53-1
 Giả sử Uk=2.5k-1, ta chứng minh Uk+1=2.5k.
 Thật vậy: Uk+1=5Uk=5.2.5k-1=2.5k (đpcm)
Ví dụ 3: Cho dãy số xác định như sau: 
 Tìm U1998.
Giải: ta có , viết lại biểu thức Un+1 dưới dạng sau: đặt thì từ (1) suy ra : 
Vì nên từ (2) theo nguyên lý quy nạp suy ra 
 Vậy: 
Do 
Thay lại vào (3) ta được 
Phần thứ ba
Một số bài toán hay
Ví dụ 1:Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm 
Giải: Rõ ràng (1)
Nếu bị chặn trên, ta đặt 
(vô lí) 
không bị chặn trên (2)
Từ (1) và (2) 
Hơn nữa từ:
Ví dụ 2:Cho dãy số xác định như sau:
Với mọi tự nhiên lớn hơn 1.Chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn của dãy số .
Giải:Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng (1) 
Thật vậy:
 Với ta có: vậy (1) đúng với .
Giả sử (1) đúng với số tự nhiên bất kì nghĩa là:
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với .Từ giả thiết quy nạp và công thức xác định dãy có:
tức là (1) đúng với và (1) được chứng minh .Ta có: 
Vậy dãy hội tụ và .
Ví dụ 3: cho dãy số (Un) xác định bởi: 
 Hãy tính 
 Giải: 
 *Bằng quy nạp ta chứng minh được: 
 *Nếu dãy (Un) bị chặn trên thì nó hội tụ. Đặt 
 Từ cho ta được :
 không bị chặn trên 
 * giả thiết 
 Nhận xét: 
 Có thể tổng quát bài toán. với mỗi bộ ta có một bài toán mới.