Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác - Nguyễn Tất Thu

 ( ĐH Khối D – 2006 ). 
Lời giải: 
Vận dụng nguyên tắc trên ta sẽ chuyển hai cung 2x và 3x về cung x 
Áp dụng công thức nhân đôi và nhân ba ta có: 
3 24cos 3cos (2cos 1) cos 1 0PT x x x x       
3 22cos cos 2cos 1 0x x x     
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Đặt cos , 1t x t  . 
Ta có: 3 2 22 2 1 0 ( 1)(2 1) 0t t t t t        
1
1
2
t
t
 

  

Từ đây các bạn tìm được 2 2 ;
3
x k x k      
Chú ý : 
* Trong SGK không đưa ra công thức nhân ba tuy nhiên các em cũng nên biết công thức 
này nếu trong lúc khó khăn có thể mang ra sử dụng vì chứng minh nó không mấy khó 
khăn 3 33 3 4 ; 3 4 3sin x sinx sin x cos x cos x cosx    
* Cách giải trên không phải là cách giải duy nhất và cũng không phải là cách giải hay 
nhất nhưng cách giải đó theo tôi nó tự nhiên và các bạn dẽ tìm ra lời giải nhất. Cách giải 
ngắn gọn và đẹp nhất đối với phương trình trên là ta biến đổi về phương trình tích như 
sau 
PT 2( 3 ) (1 2 ) 0 2 2 . 2 0cos x cosx cos x sin x sinx sin x         
22 (2 1) 0sin x cosx   giải phương trình này ta được nghiệm như trên. 
 Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 23 4 8 2 3 0cos x cos x cos x    (Dự bị Khối B – 2003 ). 
Lời giải: 
Ta chuyển cung 4x về cung x 
Ta có: 2 2 2 4 24 2 1 2(2 1) 1 8 8 1cos x cos x cos x cos x cos x        
Nên phương trình đã cho 6 4 24 12 11 3 0cos x cos x cos x     
Đặt 2 ,0 1t cos x t   . Ta có: 3 24 12 11 3 0t t t    
 
1
1
2
t
t


 

. Từ đây ta tìm được các nghiệm 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
;
4 2
x k x k     
 Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể 
chuyển về cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi . 
PT 2 3 23(2cos 2 1) (1 cos 2 ) 1 cos 2 3 cos 2 (cos 2 3cos 2 2) 0x x x x x x           . 
cos 2 0
4 2
cos 2
1
x x k
x x k
 

     
Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 (1 2 ) 2 1 2sinx cos x sin x cosx    (ĐH Khối D – 2008 ). 
Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x. 
PT 24sin cos 2sin cos 1 2cos 2sin cos (2cos 1) 2cos 1x x x x x x x x x        
 4(2cos 1)(sin 2 1) 0
2 2
3
x k
x x
x k




  
     
   

 . 
Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung. 
Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: 
Ví dụ 5 : Giải phương trình : 2 . 3 5 . 6sin x cos x sin x cos x . 
phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình 
xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! 
Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất định đó là quan hệ hiệu hai cung 
bằng nhau 2 3 5 6x x x x x     , hơn nữa hai vế của hai phương trình là tích của hai 
hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng. Thật vậy : 
Phương trình    1 1sin 5 sin sin11 sin
2 2
x x x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
6sin 5 sin11
16 8
x k
x x
x k

 
 
   
  

 Ví dụ 6 : Giải phương trình sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3x x x x x x     . 
Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, 
hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này 
có quan hệ 3 2
2
x x x  điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích. 
Phương trình (sin sin 3 ) sin 2 (cos cos3 ) cos 2x x x x x x      
2sin 2 cos sin 2 2cos 2 cos cos 2 (2cos 1)(sin 2 cos 2 ) 0x x x x x x x x x        
21 2cos 32
sin 2 cos 2
8 2
x kx
x x x k


 
       
    
Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là 
Biến đổi tích thành tổng và ngược lại 
Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến 
đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút 
gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), 
đặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau. 
 Ví dụ 7 : Giải phương trình 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   (ĐH Khối B – 2002 ). 
Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng 
thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao 
mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế 
của phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các 
hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và 
để thực hiện điều này ta liên tưởng đến công thức hạ bậc. 
Phương trình 1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
2 2 2 2
x x x x   
    
cos6 cos8 cos10 cos12x x x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
cos 0 22cos 7 cos 2cos11 cos
cos11 cos 7 ;
2 9
x kx
x x x x
x x x k x k


 
  
        

 . 
Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy 
nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó 
nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc 
để thuận tiện cho việc biến đổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn 
là nguyên tắc hạ bậc 
Ví dụ 8 : Giải phương trình 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x  ( ĐH Khối A – 2005 ). 
Phương trình (1 cos 6 )cos 2 1 cos 2 0 cos 6 .cos 2 1 0x x x x x        
2cos8 cos 4 2 0 2cos 4 cos 4 3 0x x x x        
cos 4 1
2
x x k     . 
Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay 3cos6 4cos 2 3cos 2x x x  
và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos2x . 
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về 
phương trình chỉ chứa cosx và đặt 2t cos x . Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp 
hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( 
Vì công thức nhân ba chúng ta không được học). 
 Ví dụ 9 : Giải phương trình 25sin 2 3(1 )x sinx tan x   (ĐH Khối B – 2004 ). 
Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: cos 0
2
x x k     . 
Phương trình 
2
2
sin5sin 2 3(1 sin )
cos
xx x
x
    
2
2
sin5sin 2 3(1 sin )
1 sin
xx x
x
   

2
2sin5sin 2 3 (5sin 2)(1 sin ) 3sin
1 sin
xx x x x
x
      

22sin 3sin 2 0x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
2
1 6sin sin
52 6 2
6
x k
x
x k





  
    
  

Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin 
và cos và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa 
tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình 
 Ví dụ 10 : Giải phương trình 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
 (ĐH Khối D – 2003 ). 
Điều kiện : cos 0
2
x x k     . 
Phương trình 
2
2
sin1 cos( ) (1 cos ) 0
2 cos
xx x
x
        
2
2
sin(1 sin ) (1 cos ) 0
1 sin
xx x
x
    

2
2sin (1 cos ) 0 (1 cos ) (1 cos )(1 sin ) 0
1 sin
x x x x x
x
         

2cos 1
(1 cos )(cos sin ) 0
tan 1
4
x kx
x x x
x x k



         

 . 
Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương 
trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm : 
1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa 
về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác). 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 3 tan 2sin 2x x  (ĐH Công Đoàn – 2000). 
Giải: Điều kiện : cos 0
2
x x k     
Phương trình 2sin1 3 4sin cos cos 3sin 4sin cos
cos
x x x x x x x
x
      . 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x (do 
cos 0x  ), ta được phương trình : 
2 2
2 2
1 tan3 4 tan 1 tan 3tan (1 tan ) 4 tan
cos cos
x x x x x x
x x
       
3 23tan tan tan 1 0 tan 1
4
x x x x x k             thỏa điều kiện . 
Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình 
cho 2cos x hoặc sử dụng công thức 2 2 2
2sin cos 2 tansin 2
sin os 1 tan
x x xx
x c x x
 
 
 và chuyển phương 
trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên. 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 2cot 4sin 2
sin 2
x tgx x
x
   ( ĐH Khối B – 2003 ). 
Giải: Điều kiện: sin 2 0
2
x x k    
Phương trình cos sin 14sin 2
sin cos sin cos
x x x
x x x x
    
2 2cos sin 4sin 2 .sin cos 1x x x x x    
2 2 1cos 2 2sin 2 1 0 2cos 2 cos 2 1 0 os2
2
x x x x c x           (do 
sin 2 0 os2 1x c x    ) 
3
x k     . 
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: 2
sin 2
tanx cotx
x
  và 2cot 2cotx tanx x  . 
Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 6 2sin x cos x sin x  (HVBCVT TPHCM – 2001 ). 
Giải: Ta có : 
6 6 2 2 3 2 2 2 2 23( ) 3sin cos (sin cos ) 1 sin 2
4
sin x cos x sin x cos x x x x x x       
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Nên phương trình 231 sin 2 sin 2
4
x x   
2 23sin 2 4sin 2 4 0 sin 2
3
x x x      
1 2arcsin
2 3
1 2arcsin
2 2 3
x k
x k



  
 
   

 . 
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức 4 4 21 3 1sin cos 1 sin 2 cos 4
2 4 4
x x x x     . 
6 6 23 5 3sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x     . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x       (ĐH Khối D – 
2005 ). 
Giải: Ta có: 4 4 21sin os 1 sin 2