Một số kĩ năng giải hệ phương trình

MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ .
* Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại
Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình 
Giải: Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : thay vào (1) ta được
(loại)
Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2;)
* Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình 
Giải: Điều kiện : x≥1 ; y≥0
	 PT (1)( từ điều kiện ta có x+y>0)
	 thay vào PT (2) ta được :
* Loại thứ ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
Giải .
	Biến đổi PT (2) về dạng 
	Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có từ đó ta được nghiệm 
	Thay (3) vào (1) ta được : 
	Thay (4) vào (1) ta được : 
	Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , (;0)
II. HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
Giải .
	Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT
	Đặt giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ 
	Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
Giải . Điều kiện : x +y ≠0
	HPT 
Đặt ta được hệ 
Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ 
III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu
* Loại thứ nhất : Một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu.
Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình 
Giải . 
	Từ PT (2) ta có 
	Xét hàm số có do đó f(t) nghịch biến trên 
khoảng (-1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta được PT : 
Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được 
* Loại thứ hai: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 
Giải .
	Đặt ta được hệ 
Trừ vế với vế 2 PT ta được : (3)
Xét hàm số 
Vì do đó hàm số f(t) đồng biến trên R
Nên PT (3) thay vào PT (1) ta được (4)
Theo nhận xét trên thì nên PT (4) ( lấy ln hai vế )
Xét hàm số 
hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1
IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
 Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 
Giải:
	Cộng vế với vế hai PT ta được (1)
	Ta có : 
	Tương tự mà theo bất đẳng thức Côsi nên VT(1)≤VP(1)
 	Dấu bằng xảy ra khi thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 
Giải:
	HPT 
	Nếu x>2 từ (1) suy ra y-2<0 diều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu
Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí . Vậy nghiệm của hệ là x=y=2
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I:
 Hệ phương trình có dạng 
được là hệ đối xứng loại I nếu 
Thuật toán: Bước 1: X.định hệ cần giải có phải là hệ đối xứng loại I hay không?
	Bước 2: Đặt , thay vào hệ đã cho. 
 Giải hệ ta được các cặp nghiệm:
	Bước 3: Với cặp, lúc đó: là nghiệm của phương trình:
 (điều kiện cần để hệ có nghiệm là: )
Lưu ý: Nếu hệ có nghiệm thì hệ cũng có nghiệm 
I-BÀI TẬP MINH HOẠ:
 Bài tập 1: Giải hệ: (1)
 Giải: (1)(1’)
	Đặt . Hệ (1’) tt: 
	+ Với, lúc đó là nghiệm của phương trình:
 (vô nghiệm)
	+ Với, lúc đó là nghiệm của phương trình:
	KL: Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm và (ycbt)
Nhận xét: Qua bài tập 2, chúng ta cần lưu ý kỹ năng nhận dạng của hệ.
 Bài tập 2: Giải hệ: (2)
 Gợi ý: Để ý rằng hệ (2) là hệ đối xứng loại I với cách đặt .
 Bài tập 3: (Bài toán tham số)
	Tìm để hệ sau có nghiệm: (3)
 Gợi ý: Đặt .Lúc đó hệ (3) tt: 	
 Bài toán trở thành tìm để phương trình (*) có nghiệm.
 Bài tập 4: Tìm để hệ sau có nghiệm: (4)
 Gợi ý: 
	Hệ (4). Đặt , với: 
	Hệ (4) tt:. Lúc đó: là nghiệm của phương trình: (4’)
 Bài toán trở thành, tìm để phương trình (4’) có nghiệm thoả:.
Bài tập áp dụng.
Giải các hệ phương trình sau:
a/ 	b/ 	
c/ .
(07-D) Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
(D-04) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 	
Cho hệ phương trình (*) 
a) Giải (*) khi m = 12
b) Tìm m để (*) có nghiệm.
Hệ phương trình đối xứng loại II.
Định nghĩa: Hệ phương trình được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu .
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.
Bước 2: Trừ vế với vế của phương trình này với phương trình kia trong hệ.
Bước 3: Kết hợp phương trình mới với một trong hai phương trình trong hệ ta sẽ giải được hệ phương trình.
	Trong bước này thường xuất hiện một phương trình đối xứng loại I, ta tạo ra một phương trình đối xứng loại I nữa bằng cách cộng vế với vế của hai phương trình đã cho, rồi áp dụng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I
Bước 4: Kiểm tra điều kiện có nghĩa của hệ phương trình và kết luận.
 Chú ý: Trong các nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại II thì nó thường có nghiệm (x, x).
Bài tập áp dụng:
Giải các hệ phương trình sau:
a.	 b. 	 c. 
d.	 e. ( KB-03) 
f. g. h. 
Bài Tập Tổng Hợp
Bµi 1: 
1.(B-02) Giải các hệ phương trình sau: .
2.(A-06) Giải hệ phương trình 
3.Giải hệ phương trình: 	
Bµi 2: 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ khi a=2
T×m GTNN cña F=xy+2(x+y) biÕt (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ 
 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
Gi¶i hÖ khi m=6
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
Bµi 3: Giải hệ: (KB 2003)
 HD: 
 TH 1: x=y suy ra x=y=1
 TH 2: chó ‏‎y: ‏‎ x>0 , y> 0 suy ra v« nghiÖm 
Bµi 4: Giải hệ:
 HD: Nhãm nh©n tö chung sau ®ã ®Æt 
	S=2x+y vµ P= 2x.y 
§s : (1,3) vµ (3/2 , 2)
Bµi 5: Giải hệ:
 HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hµm sè :
 trªn [-1,1] ¸p dông vµo ph­¬ng tr×nh (1) 
Bµi 6: CMR hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt 
 HD: 
 xÐt lËp BBT suy ra KQ
Bµi 7: 
 HD: B×nh ph­¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2
Bµi 8: x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
 HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ a=8	
Bµi 9: 
 HD : Rut ra 
 C« si 
 theo (1) suy ra x,y
Bµi 10: (KB 2002)
	HD: tõ (1) ®Æt c¨n nhá lµm nh©n tö chung (1;1) (3/2;1/2)
Bµi 11: T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm
 (HD: tõ (1) ®Æt ®­îc hÖ dèi xøng víi u, - v
ChØ ra hÖ cã nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh bËc hai t­¬ng øng cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu)
Bài 12: Giải các hệ phương trình sau:
 (KD 2003)
 (HD: t¸ch thµnh nh©n tö 4 nghiÖm ) 
 (HD: đÆt t=x/y cã 2 nghiÖm)
 ®Æt X = x(x+2) vµ Y = 2x+y
 (®æi biÕn theo v,u tõ ph­¬ng tr×nh sè (1) )
§Æt x=1/z thay vµo ®­îc hÖ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
 (KA 2003) (HD: x=y V xy=-1)
	CM 	v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hoÆc hµm sè kq: 3 nghiÖm
 (HD b×nh ph­¬ng 2 vÕ )
 (HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi )
Bài 13: T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
Bài 14: X¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 
 (HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ)
Bài 15: Giải các hệ sau: