Một số đề thi Tốt nghiệp, Cao đẳng và Đại học về tích phân

2
2 1
dx
x x 
 
5) a/ 
3
2
0
9 x dx b/ 
3 2
2
1
9 3x
dx
x

 
6) a/ 
0
4
4
4
x
dx
x



 b/ 
3
0
3
3
x
dx
x


7) a/ 
7 /2
11/4
( 2)(5 )x x dx  b/ 
2
2
3/ 2
4 3x x dx   
Bài 2. Tính các tích phân sau : 
1) a/ I = 
3
5 2
0
1x x dx b/ J = 
1
0
1x xdx 
2) a/ I = 
1
2
1/ 2
1 x dx

 b/ J = 
1
2 3
0
(1 )x dx 
3) a/ I = 
3
2
2 1
dx
x x 
 b/ J = 
1 2
2
2 /2
1 x
x

 
4) a/ 
1
0 1
dx
x
 b/ 
2 2
3 3
0 1
x dx
x
 
5) a/ 
1
0 1
x
dx
x 
 b/ 
1
3 2
0
1x x 
Bài 3. Tính các tích phân sau : 
1) a/ 
/ 2
0
sin
1 3cos
x
dx
x


 b/ 
/ 4
2
0
cos
(1 sin )
x
dx
x


2) a/ 
/ 2
3
0
cos .x dx

 b/ 
/ 2
5
0
sin .x dx

 
3) a/ 
/ 2
7
0
.cox x dx

 b/ 
/ 2
0
1 3sin cos .x x dx

 
4) a/ 
/3
3
0
cos cos .x x dx

 b/ 
/ 2
0
sin
dx
x

 
5) a/ 
/ 4
2
/4
1
cos
tgx
dx
x



 b/ 
/ 2 3
0
4sin .
1 cos
x dx
x


Bài 4. Tính các tích phân sau : 
1) I = 
/ 2 3
2
0
sin .cos
1 cos
x x
dx
x


2) I = 
/ 6
2
0
cos
6 5sin sin
x
dx
x x

 
3) I = 
/ 2
0
cos
7 cos 2
x
dx
x


 
4) a/ 
2
0
sin xdx

 b/ 
/ 2
0
sin cos 1
dx
x x

 
5) a/ 
3 4
0
.
cos2
tg x dx
x
 b/ 
/ 3
2
/6
.
cos sin .cos
tgx dx
x x x

 
 
6) I = 
/ 2
4
0
sin 2
1 sin
x
dx
x


7) I = 
/ 3
2
/6
cos
11 7sin cos
x
dx
x x

  
 
8) I = 
/ 2 3
3
/3
sin sin
cot .
sin
x x
gx dx
x



 
9) I = 
2
0
.sin
9 4cos
x x
dx
x


10) I = 2
0
.sin .cosx x xdx

 
11) I = 
/ 2 4
4 4
0
cos
cos sin
x
dx
x x


12) I = 
1
2004
1
sin .x x dx

 
Bài 5. Tích các tích phân sau : 
1) a/ 
3
1
1 ln
e
x
x

 b/ 
1
ln
1 ln
e
x
dx
x
 
2) a/ 
/ 4
1
(ln )
2
e
tg x
x

 b/ 
/ 4
2
1
cos (ln )
e
x
x

 
3) a/ 
6
3 ln
e
e
dx
x x
 b/ 
2
1
1 ln
ln
e
x
x x

 
4) a/ 
2
1
1
x
x
e
dx
e 
 b/ 
1
0
1x
dx
e 
5) I = 
ln 2
0 1
x
dx
e 
 b/ J = 
1
0
xe dx 
6) I = 
1
2
0
x x
dx
e e
 b/ J = 
1
2
0
1 2
.ln
4 2
x
dx
x x

 
7) I = 
ln 2 2
2
0
3
3 3
x x
x x
e e
dx
e e

 
Phương pháp tích phân từng phần 
Bài 1. Tính các tích phân sau : 
a/ 
/3
0
cosx xdx

 b/ 
/ 2
2
0
cosx xdx

 
c/ I = 2
0
sinx xdx

 d/ I = 
/ 2
2
0
cosx xdx

 
e/ 
/3
2
/4
sin
xdx
x


 f/ I = 
/ 4
2
0
(2cos 1)x x dx

 
Bài 2. Tính các tích phân sau : 
a/ 
1
0
( 1) xx e dx b/ 
ln 2
0
. xx e dx 
c/ I = 
1
2
0
(2 1) xx x e dx  d/ I = 
1
2 2
0
( 1) xx e dx 
Bài 3. Tính các tích phân sau : 
a/ 
1
(2 1) ln
e
x xdx b/ 
2
0
(1 ) ln
e
x xdx 
c/ 
5
2
0
ln( 1)x x dx d/ 
2
1
ln
e
xdx 
e/ I = 2
1
( .ln )
e
x x dx f/ I = 
1
2
0
ln( 1)x x dx 
g/ I = 
2
1/
ln
( 1)
e
e
x
dx
x 
 h/ I = 
1
(2 2) ln
e
x xdx 
Bài 4. Tính các tích phân sau : 
a/ 
/ 2
0
cos3xe xdx


 b/ 
2 2
0
sinxe xdx

 
c/ 
0
cos(ln )
e
x dx

 d/ I = 
/ 2
0
cos .ln(1 cos )x x dx

 
e/ I = 
/ 2
2
0
sin 3xe xdx

 f/ I = 
/ 2
2
0
.cosx xdx

 
g/ I = 
/ 2
2
0
cosxe xdx

 h/ I = 
1
2
1
sin ( )xe x dx

 
Bài 5. Tính các tích phân sau : 
a/ I = 
1 2
1
1
1 2x
x
dx



 b/ I = 
/ 2
2
/2
cos
4 sin
x x
dx
x




c/ I = 3
0
sinx xdx

 d/ I = 
2sin
3 1x
x
dx

 
 
e/ I = 
2/ 2
/ 2
. sin
1 2x
x x
dx

 
 f/ I = 
1 4
2
1
sin
1
x x
x



g/ I = 
/ 2 2005
2005 2005
0
cos
cos sin
x
dx
x x


ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 
Tính diện tích hình phẳng : 
Bài 6. Tính các tích phân sau : 
1/ I = 
/ 2
2 3
0
sin 2 (1 sin )x x dx

 
2/ I = 
/ 2
4 4
0
cos 2 (cos sin )x x x dx

 
3/ I = 
/ 3
4
/6
sin cos
dx
x x


 4/ I = 
2
0
1 sin xdx

 
Bài 7. Tính các tích phân sau : 
1/ I = 
1
0
1
x
x
e
dx
e

 
 2/ I = 
3 2
1
ln . 2 ln
e
x x
dx
x

 
3/ I = 
2
2
0
(1 )
1
e x
x
e
dx
e


 4/ I = 
ln 2
0
5
5 x
dx
e
Bài 8. Cho In = 
/ 4
2
0
ntg xdx

 
1/ CMR : In > In + 1 
2/ Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In -1 
3/ CMR : 
1 1
2(2 1) 2(2 1)
nI
n n
 
 
Bài 9. Cho In = 
1
(ln )
e
nx dx 
1/ Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In -1 . Tính I1, I2 
2/ CMR : In + 1  In  
1
e
n
Bài 10. Cho In = 
1
2
0
(1 )nx dx với n  Z
+ 
1/ Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In -1 
2/ Tính In 
Bài 11. Cho In = 
1
0
n xx e dx 
1/ CMR : In > In + 1 
2/ Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In -1 và tính 
In 
Bài 12. Cho In = 
1
0
1nx xdx 
1/ Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In -1 
2/ Tính In 
Bài 13. Cho In = 
0
cos .cosn x nxdx

 
1/ Thiết lập hệ thức liên hệ giữa In và In -1 
2/ Tính In 
Bài 19 (HVQY 97) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
Bài 1. (ĐHTM : 99) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : x = - 1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2 – 2x 
Bài 2. (ĐH Huế 99) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : x = 1 ; x = e ; y = 0 ; y = 
ln
2
x
x
Bài 3. (HVKTQS 2000) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : y = 
2 2
1 1
; ; ;
sin cos 6 3
y x x
x x
 
   
Bài 4. (HVBCVT 99) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : y = 2x ; y = 3 – x ; x = 0 
Bài 5. (ĐHHH HCM 99) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : y = x2 – 2x ; y = - x2 + 4x 
Bài 6. (ĐHXD HN 95) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0 
Bài 7. (ĐHTL 99) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
bởi : 2
3 3
;
2 2
y x x y x    
Bài 8. (ĐHĐịa chất 98) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : 
2
2 27; ;
27
x
y x y y
x
   
Bài 9. (ĐHBK HN 2000) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : y = sin2x.cos2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
/2 
Bài 10. (ĐHTCKT 2000) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : y = ex ; y = e-x ; x = 1 
Bài 11. (HVBCVT 2000) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : 
 y = 2
3 12
1 2sin ; 1 ; 0;
2 2
x x
y x x


     
Bài 12. (HVBCVT 97) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : y = -x2 + 2x ; y = -3x 
Bài 13. (ĐHTM 96) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
bởi : y = x2 ; x = -y2 
Bài 14. (ĐHKT 94) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
bởi : 2 4 3 ; 3y x x y x     
Bài 15. (ĐHCĐ 99) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
bởi : 
2
2 8; ;
8
x
y x y y
x
   
Bài 16. (ĐHSP HN 2000) Tính diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi : 2 1 ; 5y x y x    
Bài 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 
Parabol y = -x2 + 4x – 3 và hai tiếp tuyến tại các 
điểm A(0;-3) và B(3;0) 
Bài 18. (ĐH Huế 99) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = 1 
bởi : y = 0 ; (C) : y = x3 – 2x2 + 4x - 3 và tiếp 
tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2 
Bài 20 (ĐHKT 2000) Tính diện tích hình phẳng giới 
hạn bởi : y = 
4
4
1
x
x 
 ; trục hoành ; và hai đường 
thẳng x = 1 ; x = -1 
Tính thể tích vật thể tròm xoay 
Bài 1 (ĐHNN I 97) Tính thể tích vật thể tròn xoay 
sinh bởi miền (D) giới hạn bởi : 
1) (D) : y = tgx ; x = 0 ; x = 
3

 ; y = 0 
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D xoay 
quanh Ox 
Bài 2 (ĐHXD 97) Tính thể tích vật thể tròn xoay 
sinh bởi miền (D) giới hạn bởi : y = xlnx ; y = 0 ; 
 x = 1 ; x = e quay quanh Ox 
Bài 3 (ĐHY 99) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh 
bởi miền (D) giới hạn bởi (E) : 
2 2
2 2
1
x y
a b
  quay 
quanh Ox 
Bài 4 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền 
(D) giới hạn bởi : y = 
2
2
x
 ; y = 2 ; y = 4 trục Oy 
quay quanh Oy 
Bài 5 (ĐHQG HN 99) Tính thể tích vật thể tròn xoay 
sinh bởi miền (D) giới hạn bởi : y = x2 – 4x + 6 , 
y = - x2 – 2x + 6 xoay quanh Ox 
Bài 6 (ĐHXD 94) Tính thể tích vật thể tròn xoay 
sinh bởi miền (D) giới hạn bởi : x2 + (y – 2)2 = 1 
quay quanh Ox 
Bài 7 (ĐHTS HCM 2000) Tính thể tích vật thể tròn 
xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi : y = 4 – x2 ; 
y = x2 + 2 quay quanh Ox 
Bài 8 (HVQY 97) Tính thể tích vật thể tròn xoay 
sinh bởi miền (D) giới hạn bởi :y= x2 ; y = x 
Bài 9 (HVKTQS 99) Tính thể tích vật thể tròn xoay 
sinh bởi miền (D) giới hạn bởi : y= 0 ; 
y = 4 41 cos sinx x  ; x = 
2

 ; x=  quay quanh 
Ox 
Bài 10 (Đề 42) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh 
bởi miền (D) giới hạn bởi : y = xex ; x = 1 ; y = 0 ( 
0  x  1) quay quanh Ox 
Bài 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền 
(E) : 
2 2( 4)
1
4 16
x y
  quay quanh trục Oy 
MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP, CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC 
Tính các tích phân sau 
1) I = 
2
2
0
sin 2
4 cos
x
dx
x


 
2) I = 
2
2
0
cos .sin .x x dx

 
3) I =  
2
2
0
sin cos .x x x dx

 
4) I =  
6
0
sin 6 .sin 2 6x x dx

 
5) I = 
1
ln
(1 ln )
e
x
dx
x x 
6) I = 
2
1
1
( 1)
dx
x x  
7) I = 
4
5
0
.tg x dx

 
8) I = 
1
3
0
. 2 1x x dx 
9) I = 
4 2
0
1 sin 2
1 sin 2
x
dx
x


 
10) I = 
2
2
0
x x dx 
11) I = 
2 3
2
5 4
dx
x x 
 
12) I = 
2
1
1 1
x
dx
x 
13) I = 
1
1 3ln .ln
e
x x
dx
x

 
14) I =  
3
2
2
ln x x dx 
15) I = 
4
1
2
5 4
dx
x

 
16) I =  
1
2 2
0
4 2 1 . xx x e dx  
17) I = 
3
2
0 1
xdx
x 
 
18) I = 
5
2
3
1
3 2
x
dx
x x

 
 
19) I = 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x



20) I = 
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
dx
x

 
21) I =  
2
sin
0
cos cos .xe x x dx

 
22) I = 
2