Một số dạng bài tập về số chính phương

uả: A = ; B = ; C = 
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
 a. A = 22499910009
	n-2 chữ số 9 n chữ số 0
 b. B = 1115556
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5
A = 224.102n + 999.10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
 = 225.102n – 90.10n + 9
 = ( 15.10n – 3 ) 2
 A là số chính phương
b. B = 11115555 + 1 = 111.10n + 5.111 + 1 
 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
 = . 10n + 5. + 1 = 
2
 = = là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nN và n>1 không phải là số chính phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] 
 = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
	= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với nN, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương.
 Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
 Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương 
 Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 a2 a2 4 
 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.
a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
 a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N)
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2 + b2 không thể là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không chia hết cho 4 (1)
a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ m2 lẻ m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 p+1 = 4k2 + 4k + 1
 p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) 4 mâu thuẫn với (1)
 p+1 là số chính phương
p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 p-1 có dạng 3k+2.
Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 p-1 không là số chính phương .
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.72007.
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.
2N-1 = 2.1.3.5.72007 – 1
Có 2N 3 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k N)
 2N-1 không là số chính phương.
2N = 2.1.3.5.72007
Vì N lẻ N không chia hết cho 2 và 2N 2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 2N không là số chính phương.
2N+1 = 2.1.3.5.72007 + 1
 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
 2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
 2N+1 không là số chính phương.
Bài 13: Cho a = 111 ; b = 10005
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
 Chứng minh là số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 111 = ; b = 10005 = 1000 + 5 = 102008 + 5
2
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0
 ab+1 = + 1 = = 
2
 = = 
Ta thấy 102008 + 2 = 10002 3 nên N hay là số tự nhiên.
 2007 chữ số 0 
Cách 2: b = 10005 = 1000 – 1 + 6 = 999 + 6 = 9a +6
 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9
 ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2
 = = 3a + 1 N
DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) 
c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589
Giải
a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6
 k – n - 1 = 1 n = 4
b. Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3)- 4a2 = 9
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
 2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
 (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
 y = 13k 4 (Với k N)
 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8)
 n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thì 13n + 3 là số chính phương.
Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a2 + a + 43 
a2 + 81
a2 + 31a + 1984 
Kết quả: a. 2; 42; 13
 b. 0; 12; 40
 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính phương .
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương .
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương 
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! +  + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương .
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương: 
n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
(23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
n2 + 4n + 97 
2n + 15
Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. 
Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)
Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
 (m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
2
Bài 6: Biết x N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương .
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24.
Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N)
Ta có m là số lẻ m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 1
 n = = = 2a(a+1)
 n chẵn n+1 lẻ k lẻ Đặt k = 2b+1 (Với b N) k2 = 4b(b+1) +1
 n = 4b(b+1) n 8 (1)
Ta có k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3)
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1. 
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
 m2 1 (mod3)
 m2 – k2 3 hay (2n+1) – (n+1) 3 n 3 (2)
 Mà (8; 3) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) n 24.
Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì 
 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n và p > q
 a+48 = 2p 2p – 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 
48 = 2q 
 q = 5 và p-q = 2 p = 7
 n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số 
 B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N và 32 < k < m < 100
 a, b, c, d N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
 Ta có A = abcd = k2
 B = abcd + 1111 = m2 
 m2 – k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do đó m – k == 11 m = 56 A = 2025
 m + k = 101 n = 45 B = 3136 
Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị.
Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k N, 32 ≤ k < 100 
Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 hoặc k-10 101
Mà (k-10; 101) = 1 k +10 101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91
 abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb 11 a + b 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .
Bằng phép