Một số cách giải các bài toán trong Hình học không gian - Nguyễn Thanh Trung

  
 đồng phẳng  , . 0AB AC AD   
  
 Ba vectơ , ,AB AC AD
  
 không đồng phẳng  ,AC . 0AB AD   
  
Cách giải 2: Nếu ta đã có phương trình mp qua ba điểm (ví dụ (ABC) thì ta thay toạ độ D 
vào pt mp(ABC) ,nếu D mp(ABC) thì 4 điểm không đồng phẳng. 
e) Chứng minh A,B,C là 3 đỉnh của tam giác ABC  [

AC,AB ] ≠ 0

f)Tìm toạ độ đỉnh D của hbh ABCD 
ABCD laø hbh  DCAB  
Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD 
Một số cách giải các bài toán trong HHGT 
GV: Nguyễn Thanh Trung Page 2 2/2/2010 
 1V S .AHBCD3
  3VAH
SBCD
 
g)Tính diện tích tam giác , diện tích hình bình hành, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp 
Cách giải: Dùng công thức 1 ,
2ABC
S AB AC    
 
 ; bhhS  [AB,AC]   
 
 1 , .
6ABCD
V AB AC AD   
  
; . ' ' ' ' , .   
  
ABCD A B C DV AB AC AD ; 
II.Toán liên quan mặt cầu 
a) Xác định tâm, tính bán kính của mặt cầu,phương trình mặt cầu. 
Cách giải: 
 + Nếu mặt cầu (S) có dạng : (x – a )2 + (y – b )2 +( z – c )2 = R2 (1) 
 Thì tâm là I( a , b , c ) ; bán kính là R 
 + Nếu mặt cầu (S)có dạng: x2 + y2 +z2- 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2) 
 Thì tâm I(a , b , c ); Bán kính 2 2 2 0    R a b c d 
 + Đôi khi ta viết dạng: x2 + y2 +z2+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2) 
 Thì tâm là I(-A , -B ,-C); Bán kính 2 2 2 0    R A B C D 
b)Lập phương trình mặt cầu 
Cách giải1 
 + Tìm tâm I(a,b.c) và tính bán kính R 
 + Phương trình mặt cầu là (S):(x – a )2 + (y – b )2 +( z – c )2 = R2 
Cách giải 2 
 + Gọi (S) có dạng x2 + y2 +z2+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (*) 
 + Từ giả thiết lập một hê gồm 4 phương trình 4 ẩn A ,B , C , D 
 + Giải hệ tìm A ,B ,C ,D . Thay vào (*) ta được kết quả. 
c) Viết pt mp tiếp diện, vị trí tương đối mp và mặt cầu. 
Lập phương trình mp tiếp diện của mặt cầu (S). 
Cách giải 
 + Tìm toạ độ tâm I (a,b,c) và tính bán kinh R của (S) 
 + Viết phương trình tiếp diện (P) dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (*) 
 + Dùng điều kiện :(P) tiếp xúc (S) ( , ) d I P R 
 + Giải tìm các hệ số chưa có . Thay vào (*). 
Xác định vị trí tưong đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) 
Cách giải: 
 + Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của (S) 
 + Tính d(I, (P) ) 
 Nếu d > R : (P) không cắt (S) 
 + Nếu d = R : (P) tiếp xúc (S) .Mp (P) gọi là mp tiếp diện tại hình chiếu của 
tâm xuống mp(P). 
 + Nếu d < R : (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn có pt 
PTMC(S)
PTMP(P)



d) Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu 
Cách giải 
 + Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của mặt cầu (S) 
 + Tâm H của đường tròn là hình chiếu của I trên (P). 
Một số cách giải các bài toán trong HHGT 
GV: Nguyễn Thanh Trung Page 3 2/2/2010 
 + Bán kính đường tròn là r = 2 2R IH 
 Lúc đó phương trình đường tròn là : 
2 2 2
2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
(P) : Ax By Cz D 0 (A B C 0)
       

      
III.Toán tìm tọa độ vectơ,cùng phương,đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích tứ diện 
a)Tìm tọa độ vectơ thỏa diều kiện cho trước 
Cách giải: Dùng công thức tính tọa độ :u ma nb pc  
   
 Gọi ( , )u x y

. Từ giả thiết suy ra 2 phương trình 2 ẩn số x, y . Giải tìm x, y. 
b) Chứng minh 2 vectơ cùng phương,4 điểm không đồng phẳng 
Chứng minh ba điểm A , B, C thẳng hàng 
Cách giải: Chứng minh hai vectơ ,AB AC
 
 cùng phương. 
Chứng minh 4 điểm A, B ,C , D không đồng phẳng. 
Cách giải 1: 
 Ba vectơ , ,AB AC AD
  
 đồng phẳng  , . 0AB AC AD   
  
 Ba vectơ , ,AB AC AD
  
 không đồng phẳng  ,AC . 0AB AD   
  
Cách giải 2: Nếu ta đã có phương trình mp qua ba điểm (ví dụ (ABC) thì ta thay toạ độ D 
vào pt mp(ABC) ,nếu D mp(ABC) thì 4 điểm không đồng phẳng. 
c) Tính diện tích tam giác , thể tích tứ diện, thể tích hình hộp 
Cách giải: Dùng công thức 1 ,
2ABC
S AB AC    
 
 ; 1 , .
6ABCD
V AB AC AD   
  
 . ' ' ' ' , .   
  
ABCD A B C DV AB AC AD 
VI.Toán tìm phương trình mặt phẳng ,vị trí tương đối hai mp 
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) 
Cách giải: 
Tìm một điểm M(x0 , y0 , z0 ) và một VTPT  , ,n A B C

của (P)hoặc 
 Tìm một điểm M(x0 , y0 , z0 ) và một cặp VTCP AB,AC
 
 n [AB,AC] (A;B;C) 
 
+ Phương trình của (P) là A(x – x0) + B( y – y0) + C( z – z0) = 0 
 Hay Ax +By + Cz + D = 0 thay toạ độ M(x0 , y0 , z0 ) vào pt ta có D . 
Để tìm VTPT của (P) ta có thể dùng một trong các trường hợp sau: 
+ Mặt phẳng (P) có cặp VTCP là ,a b
 
thì VTPT của (P) là ,P    
  
n a b 
+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì có VTPT bằng nhau : P

n = Q

n 
+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau thì các VTPT của mp này là VTCP 
của mp kia : P

n = Q

a 
+ Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) thì VTPT của (P) là VTCP của 
đường thẳng (d) : P

n = D

a 
Mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C. 
Một số cách giải các bài toán trong HHGT 
GV: Nguyễn Thanh Trung Page 4 2/2/2010 
 
P
quaA(hayB,C)
(P)
VTPT n [AB,AC]



   
Mặt phẳng (P) trung trực đoạn AB : M là trung điểm AB 
 
P
qua M
(P)
VTPT n AB



 
Mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C và  d 
 
P d
qua M
(P)
VTPT n a ((P) d)


 
  
Mặt phẳng (P) qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0 
 
P Q
qua M
(P)
VTPT n n ((P) / /(Q)

 
  
Mặt phẳng (P) chứa d và // d’ 
 
  
 
  /
/
d P
/
Pd
P d d
Ñieåm M choïn ñieåm M treân d
Mp(P)chöùa d neân a a            
Mp(P)song song d neân a a
Vtpt n a ,a   


 




    

 
 
  
Mặt phẳng (P) qua 3 điểm M;N và  (Q) 
 
P
Q P
P [ MN, ]Q
 Mp(P)qua M,N neân MN a  
Mp(P) mp (Q) neân n a      
qua
(P)
VTPT n







 

  
 

 
 

 M (hay N)
 n
Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M 
Một số cách giải các bài toán trong HHGT 
GV: Nguyễn Thanh Trung Page 5 2/2/2010 
 
d P
P
P P[ , ]
Mp(P)chöùa d neân a a
Mp(P)ñi quaMvaø A neân AM a
qua
(P)
VTPT n a



 
 
 
 
 
 
 A
 AM
b) Phương trình đoạn chắn 
+ Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) có pt là : 1x y z
a b c
   
+ Trục 0x có VTCP là i

, i

cũng là VTPT của mp(yoz) 
+ Pt (Oxy) là z = 0 ; Pt (Oxz) là y = 0 ; pt(Oyz) là x = 0. 
+ Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của hai mặt phẳng cắt nhau :Chùm mp 
 
 
     
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
P : A x B y C z D 0,A +B +C 0
Q : A x B y C z D 0,A +B +C 0
m Ax By Cz D n A’x B’y C’z D’ 0 , m n 0
     


    

         
c) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 
 (P) : Ax +By +Cz +D = 0 , (Q) : A’x + B’y +C’z +D’= 0 
Cách giải: 
+ (P) cắt (Q) 
' ' ' ' ' '
A B A C B C
A B A C B C
      (VTPT (P), (Q) không cùng 
phương) 
( ) //( )
' ' ' '
( ) ( )
' ' ' '
A B C DP Q
A B C D
A B C DP Q
A B C D
    
     
V Tìm phương trình đường thẳng : 
a) Viết phương trình đường thẳng 
Cách giải 1 
 + Tìm một điểm M(x0 , y0 , x0 ) và một VTCP  , ,u a b c

 + Phương trình tham số là : 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 

 
  
 + Phương trình chính tắc là : 0 0 0x x y y z z
a b c
  
  
Một số cách giải các bài toán trong HHGT 
GV: Nguyễn Thanh Trung Page 6 2/2/2010 
 + Phương trình tổng quát là : 
0 0
0 0
  

  

x x y y
a b
x x z z
a c
Cách giải 2: 
+ Tìm giao của hai mặt phẳng phân biệt 
(P) : 1 1 1 1A x B y C z D 0    
2 2 2
1 1 1A B C 0   
 (Q): 2 2 2 2A x B y C z D 0    
2 2 2
2 2 2A B C 0   
+ Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0 
A x B y C z D 0
   

   
b) Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mp(P) 
Cách giải: 
 + Lập phương trình mp(Q) chứa (d) và vuông góc (P). 
 + Phương trình của (d’) là 
PTMP(P)
PTMP(Q)



c) Tìm toạ độ M’ hình chiếu của M trên mp(P) 
Cách giải 
 + Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc mp(P) 
 + Giải hệ phương trình 
pt(d)
pt(P)



 ta được toạ độ điểm M’ 
d) Tìm toạ độ M’ hình chiếu của M trên đường thẳng ( d ). 
Cách giải 
 + Lập phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với (P) 
 + Toạ độ của M’ là nghiệm của hệ 
pt(d)
pt(P)



 e) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng M qua mp(P) 
Ccáh giải 
 + Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (P) 
+ M’ đối xứng với M qua (P)  H là trung điểm của MM’  M' H M
M' H M
x =2x -x
y =2y -y



 + M’(xm,ym) là điểm phải tìm 
f) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đ/ thẳng (d). 
Cách giải 
 + Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (d 
 + M’ đối xứng M qua (d)  H là trung điểm MM’  '
'
2
2
M H M
M H M
x x x
y y y
 

 
Một số cách giải các bài toán trong HHGT 
GV: Nguyễn Thanh Trung Page 7 2/2/2010 
g) Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm M và vuông góc với 2 đường 
thẳng( 1d ) và ( 2d ) 
Cách giải: 
+ Tìm VTCP 
1 2d d
,
 
a a của ( 1d ) và ( 2d ) 
+ (d ) là đường thẳng đi qua M và có VTCP là :
1 2d d d
,   
  
a a a 
h) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả 2 đường thẳng (d’), (d”) 
Cách giải 
 + Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và chứa (d’) 
 + Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d’’) 
 + (d) có phương trình tổng quát là (d) : 
PTMP(P)
PTMP(Q)



i) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1) cắt 2 đường 
thẳng(d2) và (d3) 
Cách giải: 
 + Lập phương trình mp(P) song song (d1) và chứa (d2) 
 + Lập phương trình mp(Q) song song (d1) và chứa (d3) 
 + Đường thẳng (d) có pt tổng quát là 
PTMP(P)
PTMP(Q)



k) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau.(d) và (d’) 
C