Một số bài toán tổng hợp về đồ thị hàm số

, nếu một trong hai đường cong đó (giả sử là ) suy biến thành đường thẳng d có phương trình thì khi đó d trở thành tiếp tuyến của đường cong còn lại (đường cong ) (ta còn nói d tiếp xúc với đường cong ). Do đó ta có Điều kiện để đường thẳng d có phương trình tiếp xúc với đường cong là:
	Đường thẳng d có phương trình tiếp xúc với đường cong khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm. Nghiệm của hệ trên lần lượt sẽ là hệ số góc k của tiếp tuyến d và hoành độ của tiếp điểm.
3. Một số dạng bài tập về tiếp tuyến.
a) Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ của tiếp điểm.
	Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong khi biết hoành độ x0 hoặc tung độ y0 của tiếp điểm ta tìm tọa độ còn lại và , sau đó sử dụng phương trình (1) để viết phương trình tiếp tuyến tại .
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm 
M(1; 1).
Giải.
Ta có M(1; 1) thuộc đường cong và , suy ra .
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(1; 1) là 
.
Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ làm cho y” = 0.
Giải.
 ; 
 là hai điểm có hoành độ làm cho y” = 0.
PTTT của (C) tại là 
PTTT của (C) tại là 
Ví dụ 3. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục hoành. 
ĐS. .
b) Viết phương trình tiếp tuyến cho trước hệ số góc.
	Để viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết trước tiếp tuyến đó có hệ số góc k ta làm theo các bước sau: 
Böôùc 1: Goïi laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) 
	Böôùc 2: Tìm x0 baèng caùch giaûi phöông trình : , töø ñoù suy ra =?
	Böôùc 3: Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta seõ ñöôïc PTTT caàn tìm.
Ví dụ 4. Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số , biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng -5.
Giải.
Gọi là tiếp điểm giữa tiếp tuyến d cần tìm và (C). Khi đó 
Với thì PT của tiếp tuyến d là 
Với thì PT của tiếp tuyến d là 
.
Vậy đồ thị (C) có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng -5 lần lượt có PT là và .
Ví dụ 5. Viết PTTT d của đồ thị (C) của hàm số , biết d song song với đường thẳng D có phương trình .
HD giải.
Vì nên d có hệ số góc k = -1. Khi đó bài toán trở về bài toán viết PTTT khi biết trước hệ số góc (giải như vd4). 
PTTT d là .
Ví dụ 6. Viết PTTT d của đồ thị (C) của hàm số , biết d vuông góc với đường thẳng D có phương trình .
HD giải.
Vì nên d có hệ số góc k = 3. Khi đó bài toán trở về bài toán viết PTTT khi biết trước hệ số góc (giải như vd4). 
PTTT d là hoặc .
Ví dụ 7. Cho haøm soá (Cm). Goïi M laø ñieåm thuoäc (Cm) coù hoaønh ñoä baèng -1. Tìm m ñeå tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song song vôùi ñöôøng thaúng .
Giải.
Ta có . Khi đó PTTT d của (Cm) tại M là: 
Suy ra, d có hệ số góc k = 5 m = -4. Vậy với m = -4 tieáp tuyeán cuûa (Cm) taïi ñieåm M song song vôùi ñöôøng thaúng .
Ví dụ 8. Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
HD giải.
Do tiếp tuyến d của (C) cắt hai trục lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại gốc O nên d vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất hoặc thứ 2 có phương trình là hoặc . Do đó, d có hệ số góc là k = 1 hoặc k = -1.
Khi đó, bài toán trở thành viết PTTT khi biết hệ số góc.
ĐS: và .
c) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
	Để viết PTTT d của đường cong , biết d đi qua điểm (bất kỳ) ta biện luận như sau:
Đường thẳng d đi qua điểm và có hệ số góc k có phương trình là:
d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Hoặc đường thẳng d: tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đồ thị hàm số khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép.
Ví dụ 9. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C), biết TT đó đi qua điểm .
Giải.
Đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k có phương trình: . Khi đó d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chi khi hệ phương trình sau có nghiệm
Thay k từ pt (2) vào pt (1) ta được: . Suy ra .
Vậy PT của tiếp tuyến d của (C) đi qua là .
Ví dụ 10. Cho ñöôøng cong (C): . Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm M(2;-7).
ĐS: d : .
Ví dụ 11. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết nó đi qua điểm A(0; 2).
ĐS. d1 : ; d2: ; d3: .
Ví dụ 12. Cho hàm số . Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Giải.
Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Giải hệ trên ta được m = 0. Vậy với m = 0 đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số.
Ví dụ 13. Viết PTTT từ A(6; 4) đến đồ thị (C) của hàm số .
Phân tích bài toán: Ta có đường thẳng d đi qua A(6; 4) và có hệ số góc k có phương trình là: . 
Khi đó nếu sử dụng điều kiện: d là tiếp tuyến của (C) khi và chi khi hệ pt sau có nghiệm
Ta sẽ gặp khó khăn trong việc giải hệ này. Vì vậy ta tìm tiếp tuyến d nhờ điều kiện sau: Đường thẳng d: tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đồ thị hàm số khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép.
Giải.
Đường thẳng d đi qua A(6; 4) và có hệ số góc k có phương trình tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình: 
có nghiệm kép
	 có nghiệm kép khác 2
	 có nghiệm kép khác 2
Với , suy ra .
Với, suy ra .
Ví dụ 14. Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng y = m + 4 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
HD giải. Sử dụng điều kiện có nghiệm kép để tìm m.
ĐS: .
d) Tiếp tuyến chung của hai đường cong.
Để viết PTTT chung của hai đường cong, ta sử dụng điều kiện tiếp xúc của chúng đã trình bày ở trên.
Ví dụ 15. Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình tiếp xúc với đồ thị (C) cuả hàm số . Viết PTTT chung của parabol (P) và đường cong (C) tại tiếp điểm của chúng.
Giải.
Ta có 
Hoành độ tiếp điểm của (P) và (C) là nghiệm của hệ phương trình 
Ta có .
 cũng là nghiệm của PT (1), do đó hệ có nghiệm ! .
Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tai A(2; -3), và tiếp tuyến chung của chúng tại A là .
Ví dụ 16. Chứng minh rằng parabol tiếp xúc với đường cong (H) , xác định tiếp điểm và viết PTTT chung của (H) và (P) tại điểm đó.
HD: Làm tương tự như ví dụ 15.
ĐS: Tiếp điểm A(-1; 3), phương trình tiếp tuyến .
Ví dụ 17. Tìm m để hai đường cong (C) và (C’) tiếp xúc nhau.
Giải. 
(C) và (C’) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
Ta có 
	 .
Thay vào (1) ta được: 
Thay vào (1) ta được: 
Thay vào (1) ta được: 
Vậy với thì (C) và (C’) tiếp xúc với nhau.
II. Điểm đặc biệt của đường cong.
	Trong một số bài toán ta thường gặp một số yêu cầu về tìm điểm đặc biệt của đường cong như: tìm điểm có tọa độ nguyên, điểm cố định của họ đường cong, điểm tiếp xúc chung của họ đường cong Sau đây chúng ta sẽ xét một số ví dụ về dạng toán này.
Ví dụ 18. Tìm các điểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên.
Giải.
Ta có . Giả sử là điểm có tọa độ nguyên, khi đó và . 
 hoặc .
Với .
Với .
Với .
Với .
Vậy, có bốn điểm trên (C) có tọa độ nguyên là ,,, .
Ví dụ 19. Tìm các điểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên.
HD: Giải tương tự như ví dụ 18.
ĐS: , .
Ví dụ 20. Cho hàm số .
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị (Cm) của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh rằng mọi đường cong (Cm) tiếp xúc với nhau tại một điểm. Viết PTTT chung của các đường cong (Cm) tại điểm đó.
Giải.
Giả sử là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua với mọi m. Khi đó 
Vậy, với mọi m đồ thị (Cm) luôn đi qua điểm cố định .
b) Ta có 
Theo ý (a), với mọi m đồ thị (Cm) luôn đi qua điểm cố định . Hơn nữa , suy ra mọi tiếp tuyến của (Cm) tại đều có hệ số góc bằng -1. Do đó, mọi đường cong (Cm) tiếp xúc nhau tại và tiếp tuyến chung của (Cm) tại là .
Ví dụ 21. Cho hàm số .
Tìm điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua với mọi m.
 Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà với mọi m (Cm) không đi qua.
ĐS: a) 
	b) với và .
III. Sự tương giao của hai đường cong.
	*) Mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của hai đồ thị: Cho hai đường cong (C1): và (C2): , khi đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C1) và (C2) và ngược lại.
1. Biện luận số nghiệm của phương trình nhờ đồ thị.
	Bài toán tổng quát: Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình : 	 f(x) = g(m) (*)
Phương pháp: : Ñaët k=g(m)
	Böôùc 1: Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò:
	Böôùc 2: Veõ (C) vaø () leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä
	Böôùc 3: Bieän luaän theo k soá giao ñieåm cuûa () vaø (C) . Döï a vaøo heä thöùc 
k=g(m) ñeå suy ra m
 Töø ñoù keát luaän veà soá nghieäm cuûa phöông trình (*).
Minh hoïa:
Ví dụ 22. Cho hàm số ; gọi đồ thị hàm số là (C).
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0 (1).
Giải.
b) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm giữa đồ thị (C) và đường thẳng
 . Do đó, dựa vào đồ thị (C) ta có:
 +) Với thì PT (1) có một nghiệm.
+) Với thì PT (1) có hai nghiệm.
+) Với thì PT (1) có ba nghiệm.
Ví dụ 23. Cho hàm số (1).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
Tìm k để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Giải.
b) Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của (C) và đường thẳng . Do đó, dựa vào đồ thị (C) PT (2) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
Vậy PT (2) có 3 nghiệm phân biệt khi và .
Ví dụ 24. Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
	 x4 - 2x2 - 3 = m . 
ĐS: 
2. Biện luận số giao điểm của hai đường.
Ví dụ 25. Cho haøm soá (1). Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.
Giải
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt sau có 3 nghiệm phân biệt	
	 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Vậy với đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Ví dụ 26. Cho haøm soá . (1)
	a) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät.
	b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi moät ñieåm
	c) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi moät ñieåm vaø tieáp xuùc ta