Lý thuyết về Cực trị của hàm số

a tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng .
 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là trung điểm của đoạn AB 
Do là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:
, 
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 
Đường thẳng và AB có hệ số góc lần lượt là:
.
Với :
Đồ thị hàm số có hai cực trị là 
Trung điểm của AB là: 	
T a có: 
Vậy: thoả yêu cầu bài toán.
Ví dụ 15. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
Khi đó :
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là và hai điểm cực tiểu là 
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều 
 (do )	
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 16. Cho hàm số . Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số chỉ có một cực trị có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 17. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 	
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 18. Cho hàm số .Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên parabol .
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	 (*)
Khi đó:
Bảng biến thiên
 x 	1	 	
 y’ + 0	-	 - 0	+
 y
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
 Điểm cực tiểu là 
 (thỏa (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 19. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số đã cho có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Ta có:
, đạt được khi .
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 20. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.
 (Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000)
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 
	 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Hai giá trị cực trị cùng dấu 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Cách khác
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác 1 và đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó
 (*)
Hai giá trị cực trị cùng dấu Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt hay có hai nghiệm phân biệt khác 1
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 21. Xác định p sao cho hàm số có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m với .
Giải
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác 4 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
 Khi đó:
Bảng biến thiên
 x 	4	 	
 y’ - 0	+	 + 0	-
 y
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
Do đó:
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 22. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Bảng biến thiên
 x 0 2m 
 y’ + 0 - - 0 +	
 CĐ 
 y
 CT
Hàm số đạt cực tiểu tại hay có hai nghiệm phân biệt thoả: 
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 23. 1) Cho hàm số . Chứng minh rằng nếu và thì ta có: .
2) Chứng tỏ rằng nếu hàm số: đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại thì ta có :
Giải
Ta có:
Do đó: 
 (đpcm)
Theo kết quả ở câu 1) nên ta có:
, 
 (đpcm)
Ví dụ 24. Cho hàm số .
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng bằng nhau.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác -1 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có: 
Mặt khác: , 
Đặt 
Yêu cầu bài toán 
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 25. Cho hàm số .
1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu là . Chứng minh: . 
Giải
1) Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác -1 
Vậy giá trị cần tìm là: . 
2) Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có 
Mặt khác: , 
Do đó: 
Xét hàm số: 
Bảng biến thiên
 x	 	 
 	+
Từ bảng biến thiên, ta thấy .
Vậy: (đpcm)
Ví dụ 26. Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ của mặt phẳng toạ độ.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001)
Giải
Ta có: 
 Tiệm cận xiên: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (*)
Giả sử là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán 
 (a)
 Đồ thị hàm số không cắt trục Ox 
 hay vô nghiệm 
 (b)
 (c)
Từ (a), (b) và (c) ta có giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 27. Cho hàm số . 
1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn có các điểm cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của m. Xác định toạ độ các điểm cực trị đó.
2) Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ độ của A.
 (Trích ĐTTS vào TTĐT Cán bộ Y tế TPHCM, 2000)
Giải
1) Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Ta có: 
Do đó:
Vậy đồ thịhàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 
Toạ độ các điểm cực trị là: .
2) Đặt 
Giả sử ứng với giá trị thì A là điểm cực đại và ứng với giá trị thì A là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Ta có:
; 
Do đó:
Vậy chỉ có một điểm A duy nhất thoả yêu cầu bài toán là: .
Ví dụ 28. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực trị, khi đó viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát Nhân dân, 2000)
Giải
Cách 1
Ta có: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay (1) có hai nghiệm phân biệt khác m 
 (*)
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Khi đó: 
Toạ độ điểm A thoả hệ:
Tương tự ta cũng có toạ độ của B:
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 
Cách2
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 
Toạ độ các điểm cực trị thoả hệ:
 là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu.
Cách 3
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: 
 Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Đặt 
Ta có:
Tương tự ta cũng có: 
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: .
Ví dụ 29. Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại:
 . 	
Giải
Tập xác định: 
Hàm số đạt cực đại 
Với nên từ (1) suy ra 
Xét hàm số: , với 
Bảng biến thiên
 	-
Yêu cầu bài toán phương trình (1) có nghiệm .
BÀI TẬP
Bài 1. Xác định tham số m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
1) . 	 
 Đáp số: .
2) . 	 
 Đáp số: .
3) . 	 
 Đáp số: .
Bài 2. 1) Tìm m để hàm số 
đạt cực tiểu tại .	 
 Đáp số: .
2) Cho hàm số . 
Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại .	 
 Đáp số: .
3) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại .	 
 Đáp số: .
Bài 3. 1) Cho hàm số . Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi và đạt cực trị tại và giá trị cực trị là – 3.
 Đáp số: .
Cho hàm số . Tìm a và b để hàm số đạt cực trị tại và có tiệm cận xiên là . 	 
 Đáp số: .
3) Cho hàm số . Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 1 tại và đường tiệm cận xiên của dồ thị vuông góc với đường thẳng .	 
Đáp số: .
Bài 4. 1) Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu. 	 
 Đáp số: . 
 Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định