Lý thuyết và bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Tìm GTLN,GTNN của hàm số
A. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.
Phương pháp:
Tìm tập xác định
Tính 
Giải phương trình (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên GTLN,GTNN.
Bài toán 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn ?
Phương pháp:
Tính 
Giải phương trình , để tìm các nghiệm 
Tính các giá trị và 
GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.
Ví dụ:
a) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số:  
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn 
Hướng dẩn giải:
a)
Tập xác định : D=[0;2]
Bảng biến thiên:( các em tự lập)
Kết luận:
b)
Ta có , , 
Kết luận:
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số 
a) trên đoạn .
b) trên đoạn .
c) trên đoạn .
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số 
a) trên đoạn .
b) trên đoạn .
c) 
d) trên đoạn .
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số 
a) 
b) 
c) 
B. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước
Phương pháp giải:
Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số để hàm số có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn là (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.
Chú ý: Hàm số liên tục trên 
Cách 1:
Tính đạo hàm 
Gải phương trình để tìm các nghiệm 
Tính các giá trị và 
Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là 
Giải phương trình để tìm nghiệm 
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Cách 2:
Xác định điều kiện để bất phương trình : được thỏa mãn 
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện vừa nêu
Xác định điều kiện để phương trình: có nghiệm 
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện 
So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Cách 3:
Tính đạo hàm 
Giải phương trình  để tìm các nghiệm 
Tính các giá trị và 
Lần lượt giải các phương trình: để tìm các nghiệm  của chúng
Thay vào hàm số và kiểm  tra trực tiếp xem giá trị  thực sự thỏa bài toán để nhận  hoặc loại giá trị 
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.
Bài tập 1:
Xét hàm số: . Xác định giá trị của tham số $latex m$ sao cho hàm số giá trịlớn nhất trên là 
Hướng dẩn giải:
Ta có đạo hàm : , vậy   x=m
Nhận xét rằng : , 
Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên  hoặc tại hoặc tại , suy ra
     (1)
    (2)
Do , nên từ (1) suy ra 
Do , nên từ (2) suy ra 
Với , thay vào hàm số ta được: .
Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên là , suy ra không thỏa bài toán
Suy ra loại
Với , thay vào hàm số ta được : 
Bảng biến thiên: (các em tự lập)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên là 
Suy ra giá trị thỏa mãn bài toán .
Kết luận: Giá trị cần tìm :