Lý thuyết và bài tập chủ đề Thể tích khối đa diện - Trần Thanh Vân

Ngày soạn	: 28/09/2009
Tiết	:1, 2, 3, 4.
Chủ đề 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. LÝ THUYẾT.
Kiến thức cần nắm
1. Thể tích của khối đa diện
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là .
2. Khối đa diện đều và thể tích khối đa diện đều
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu:
Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Có năm loại khối đa diện đều: loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}. Chúng lần lượt được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt các yếu tố của khối tứ diện đều, khối lập phương và khối bát diện đều (quy ước cạnh của khối đa diện đều có độ dài là a).
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
Thể tích
{3; 3}
Tứ diện đều
4
6
4
{4; 3}
Lập phương
8
12
6
{3; 4}
Bát diện đều
6
12
8
3. Các tính chất.
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm thuộc tia SA, SB, SC của hình chóp S.ABC, khi đó: .
Từ công thức tính thể tích ta suy ra cách tìm khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng trong không gian, khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian: .
B. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, . Tính thể tích hình chóp.
HD: 
Đáy ABCD là hình vuông nên B = a2.
nên SA chính là đường cao của hình chóp, suy ra h = SA = a.
Vậy thể tích hình chóp là .
 	S
A
B
C
D
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, , SA = a, AB = 2a, AD = DC = a.
Tính thể tích khối chóp.
Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Tính thể tích khối chóp S.ADC.
HD: 
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a.
Tính thể tích khối chóp.
Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).
HD:
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng .
Tính thể tích khối chóp.
Tính khoảng cách từ B đến mp(SCD).
HD:
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A. AB//CD, AB=AD=a, CD=2a. , SA = .
Tính thể tích khối chóp.
Gọi E là trung điểm của CD. Tính thể tích khối chóp SBCE.
HD:
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
 a) Tính thể tích của khối lăng trụ
 b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C 
HD: a) * Đáy A’B’C’ là đều cạnh a . AA’ là đường cao
 * Tất cả các cạnh đều bằng a
 * = Bh = .AA’ 
 * Tính: = (A’B’C’ là đều cạnh a) và AA’ = a
 ĐS: = b) = ĐS: 
( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)
60
°
30
°
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, = 600, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300.
a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’)
 + CM: BA ( ACC’A’)
BA AC (vì ABC vuông tại A)
BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)
 + = = 300 
* Tính AC’: Trong BAC’ tại A (vì BA AC’)
 tan300 = AC’ = = AB
* Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: tan600 = 
 AB = AC. tan600 = a (vì AC = a). ĐS: AC’ = 3a
 b) = Bh = .CC’ * Tính: = AB.AC = .a.a = 
 * Tính CC’: Trong ACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 
 ĐS: = a3
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ.
HD: 
* Kẻ A’H (ABC)
 * A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ABC đều cạnh a
a
60
°
N
H
C'
B'
A'
C
B
A
 * Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là = = 600
 * Tính: = Bh = .A’H 
 * Tính: = (Vì ABC đều cạnh a) 
 * Tính A’H: Trong AA’H tại H, ta có:
tan600 = A’H = AH. tan600 = AN. = a
ĐS: = 
 Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a. 
2a
3a
a
C'
B'
A'
C
B
A
Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a
 * Tính: = Bh = .AA’	
 * Tính: = AB.AC (biết AC = a) 
 * Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: 
 AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
 ĐS: = 
C. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy , cạnh bên SB bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 6: Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V.
Bài 7: Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM. Tính tỉ số thể tích của hai tứ diện ABMD và ABMC.
Bài 8: Cho h×nh chãp SABC. SA AB, AB AC, AC SA. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm SB vµ SC.
TÝnh tØ sè hai thÓ tÝch cña h×nh chãp do mÆt ph¼ng AMN chia ra.
Cho SA=a, AB=2a, AC=3a. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (SBC).
Bài 9: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, t©m O. SA = a, SA vu«ng gãc víi ®¸y.
TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ASBC.
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mp(SBC).